第二章2.4.2抛物线的简单几何性质

1、242抛物线的简单几何性质【学习目标】1了解抛物线的范除 对称性、顶点、焦点.准线等几何性质2会利用抛物线的 性质解决一些简单的抛物线问题.问题导学知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题:(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程尸=2卩.心0)如何确定横坐标x的范用？答案(1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两 个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心: 抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.y轴的右侧，当x的值增大时，lyl也增大

2、，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 知识点二抛物线的对称性、准线方程抛物线四种形式的性质如下表所示:标准方程图形顶点坐标对称轴焦点坐标准线方程离心率y2=2p.x(p0)(0,0)X轴伶0)x=-eTkzyGR21y2=-(0,0)X轴(一2(29x=pe由抛物线尸=2刃(“0)有L0,所以兀$0所以抛物线x的范国为xMO抛物线在2p.Y(p0)才yWR0)x21x2= 2py(p0)1AGR,yMO(0,0)y轴(O.f)e1工=2py(p0)7AGR,yWO(0,0)y轴(0,_2)e1知识点三直线与抛物线的位置关系y=kx+b.直线y=kx+b与抛物线W=2K(P0)的交点个数决疋

3、于关于x的方程组丫 ,小解的个j,- = 2/zv数，即二次方程QF + 2(肋一”)x+，=o解的个数.当RHO时，若0,则直线与抛物线有西个不同的公共点；若=0时，直线与抛物线有二 个公共点：若2=4的交点A(xi, yi),Bg yi).*.*抛物线y2=ax(aO)与圆护+护=4都关于x轴对称，.点A与B关于x轴对称，艸=快1且韧1+加1=29,：韧1=匕21=羽,代入圆“+)2=4,得卫+3=4, .x=l,AA(1,萌)或川1,萌)，代入抛物线方程，得：(y3)2t/=3.所求抛物线方程是：)2=3x或h= 3儿类型二抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线)2=8X的焦点，

4、倾斜角为45。的直线被抛物线截得的弦长为_.(2)直线/过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A, B两点，若L4BI = 8,则直线/的方程为1 :所求直线/的方程为y+x 1 =0或xy1 =0.(3)抛物线的焦点为F(L0),准线方程为x=-.由抛物线定义知L4BI = L4/H+BF=xi即xi+xz+2=7,得R+X2=5,于是弦AB的中点M的横坐标为彩 又准线方程为尸一1,57因此点M到拋物线准线的距离为5+1=2-反思与感悟(1)拋物线上任一点P(xo, yo)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径, 对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：1抛物线y2=2p.v(/?0

5、), IPFI = Lxo+l = + :2拋物线y2=-2/?x(p0), IPFI = lxo-l = xo：已知AB是过抛物线尸=2丹S0)的焦点的弦，尸为抛物线的焦点，A(xi, yi),Bg yi)9则：2IABI=M+.Y2+“=话岛(0为直线AB的倾斜角)：3SAB()=。爲 d&为直线A B的倾斜角)；4為+禽=器5以为直径的圆与抛物线的准线相切.(3)当直线经过抛物线的焦点，且与拋物线的对称轴垂直时，直线被拋物线截得的线段称为抛 物线的通径，显然通径长等于2”跟踪训练2已知直线/经过抛物线y2=6.v的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.若直线/的倾斜角为60。，求L

6、4BI的值：(2)若L4BI=9,求线段AB的中点M到准线的距离.解(1)因为直线/的倾斜角为60。，所以其斜率k=tan 60。=萌.又彳|,0),所以直线/的方程为尸羽卜一|).9联立M3、 消去y得5+二=0若设A(xi9yi) Eg,)吩则XI+X2=5,而L4BI=L4FI + IBFI =xi+$+卫 +$=M+X2+，所以SBI=5 + 3 = &设A(XHyi),Bg y2).由抛物线定义知IABI = L4FI + IBFI=M+$+Q+$=Q+X2+P=Q+兀2 + 3,3所以XI+X2=6.于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=夕3 9所以M到准线的距

7、离等于3+2=2-类型三抛物线中的最值问题 例3如图，已知抛物线C的顶点为O(00),焦点为F(0A).(1)求抛物线(？的方程：(2)过点F作直线交抛物线C于儿B两点.若直线AO.BO分别交直线/：y=x-2于M.N 两点,求bWM的最小值.解(1)由题意可设抛物线C的方程为=2/?(/?0),则马=1，所以抛物线C的方程为疋=4$(2)设A(X9yi)tB(X29yi).直线AB的方程为y=kx+1.y=M+l,由丫 ,4消去儿 整理得工一4恋一4=0,所以x+xi=4k.X1X2=4从而Ln X2l=42+l解得点M的横坐标妒畠;=七=总.-4Q同理，点N的横坐标x.v=.-VIX2令4

8、k3=t9fHO,则884Xi4X2所IIVI=V2LVA/-A；VI=V2=8迈A1-V24(X+也)+1614k引当t0时，IMN1I a254综上所述，当r=-y,即代=一彳时,8IMM的最小值是押反思与感悟(1)利用抛物线的定狡进行转化，然后利用图形的几何特征进行处理.(2)建立目标函数，然后利用函数的相关性质求就值.如已知M(“,0)为抛物线y2=2px(p0)的对称轴上的一个定点， 在抛物线上求一点N使得bWNI最小.其解法为： 设尸=2 .丫(“0)上一 点为M-vo,yo),贝96=2砂0, itMN2=(xoa)2+)=A*62p时，X=ap使IMNI最小，则N(ap9J2心

9、一 p2当aWp时,x0=a使IMNl 最小，则N(OO)(3)除了上述几何法、二次函数法解决此类问題外，还要注重不等式方法的应用及利用函数的 单调性求解最值问题.跟踪训练3抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x, y)为该抛物线上的动点，若点A(1.0),则IPF1打的最小值是()1ny/2A2B2C迪D池J 2u3答案B解析 抛物线b=4x的准线方程为x=-l,如图，过P作PN垂直兀=一1于N,由抛物线的定义可知PF=PN.IP.VI连接用，在RI用N 中,sinZ用N=南,JPNI IPFI最小时,当/vO时，IMNI=2边sinZBAN最小, 即Z用N最小，即ZPAF最大，此时，PA为抛

10、物线的切线,设刊的方程为=心+1).得心二+(2股一4尢+股=0,所以=(2一4)24疋=0,解得R=l,所以ZPAF=ZArB4=45,当堂训练.直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线f=2px的内部，.当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；当RH0时，直线与抛物线有两个公共点.4.已知抛物线C：y2=4.r的焦点为F,准线为P是/上一点，0是直线PF与C的一个交点，若祁=3 巨,则101等于()84A.g B.了C2 D1答案B解析 焦点为F(l,0),准线/：x=-lt设点P(l, m)t设点yo),FP=(2, /),FQ=(x()-tyo)根据祎=3祝，4求解得到QR=y故选B.

11、5.抛物线C：y2=2p.x(p0)的焦点为F,点0是坐标原点，M是抛物线C的一点，且IMFI=4IOF, ZXMFO的而积为4羽，则抛物线的方程为_ 答案*=8x解析 由题意，得尸(纟0),准线方程为纟|MFI=4IOFI,：.MF)=2ptM的横坐标为2“一护乎，联立y=k(x+l),J1 2 3=4X,PFIMIPN=COSZNB4=故选BM的纵坐标为y=V3p,V ZXMFO的面积为4萌，.：0）的焦点为F,其上的三个点A,B,C的横坐标之比为3：4：5,则以IMI,FB, FC为边长的三角形（）A.不存在B.必是锐角三角形C.必是钝角三角形D.必是直角三角形答案B解析 设A,B,C三

12、点的横坐标分别为X2,“ = 3匕X2=4匕罚=5锹0）,由抛物线,IFCI=$+5h易知三者能构成三角形，IFCI所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形.5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2p.Y（p0）,O为抛物线的顶点，OA丄OB,则AAOB的而积是（）A. 8p2 B.4*C2p2D 尸答案B解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接AAOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与拋物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45。x=09x=2p,得或b，=0b=2“，所以易得A, B两点的坐标分别为（2卩2刃和（2p, 2“）.所以L

13、4BI=4“，所以Sg0B=*X4pX2p=4p2.6.已知点（x,刃在抛物线y2=4x上，则+ 的最小值是（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 0答案B定义得FA=+3k, FB由方程组y=2px影为Bi，则ZAiF5=解析 因为点(ASy)在抛物线y2=4x上，所以xMO,因为z=x2+$2+3=x2+2x+3=a+1)2+2,所以当x=O时，z最小.其值为3.7.设尸为抛物线Gy2=2px的焦点，过F且倾斜角为60啲直线交曲线C于久B 两点（B点在第一象限，A点在第四象限），0为坐标原点，过A作C的准线的垂线，垂足为M,则IOBI与IOMI的比值为（）A羽B. 2 C3 D. 4答案c

14、解析如图所示：y=2px消去y并整理，得3*5严+前2=o,解得吨或尸S将A-=或*=纟代入抛物线的标准方程得,A（纟,一当）B 賈,羽“），故加二、填空题8.过抛物线护=2pg0）的焦点F的直线与抛物线交于仏B两点，若人B在准线上的射联立方程组Sy=y3(x-)9抛物线的焦点坐标为（纟0）,故选C答案90。解析 如图，由抛物线定义知IAAil = L4FLBB = BF.所以ZAAiF=ZAMu又ZA4iF= ZAiFO,所以ZAM = ZAiFO,同理ZBFB = ZBFO,于是ZAFA + ZBFBi = ZA1FO+ ZBFO= ZAFB.故/川皿=909._已知直线/过抛物线=2px

15、(p0)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2p2p),贝IJ其焦 点弦的长度为 .口宋8解析由题意知直线/过&0)和(2卩2小 所以/：y=|(x).y=2/?x,联立 4p$=尹_整理得8x2-17p.v+2p 0.由根与系数的关系， 得A |+x2=-,所以焦点弦的长度为+垃+卩=響.10._已知抛物线C的顶点为坐标原点， 焦点在X轴上，直线y=A-与抛物线C交于A, B两点, 若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为.答案尸=傲解析 设抛物线方程为尸=匕，与y=A联立方程组，消去y,得x2-H=0.设A3,冲)，B(x2,W)，*.1 +X2 = &又P(22)为

16、AB的中点，:.k=4.：.y2=4x 三 解答题11.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A, B两点，点C在抛 物线的准线上，且BC/X轴.证明：直线AC经过原点O.证明 因为抛物线y2=2PA(P0)的焦点为昭，0),所以经过点F的直线的方程可设为x=”？+号，代入抛物线方程得y22/w0.若记A(xi, yi),B(X2,j2)则yiyi是该方程的两个根，所以yiy2=p2-因为BC/x轴，且点C在准线尤=一号上，所以点C的坐标为(一纟户)，故直线co的斜率为=弋=字=岂_p1_2即代也是直线04的斜率，所以A,O,C三点共线，所以直线AC经过原点O.12.

17、已知过点A(4.0)的动直线/与抛物线G：F=2py (0)相交于B、C两点.当直线/的 斜率是*时，AC=4AB.(1)求抛物线6的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范圉.解(1)设B(xu yi) C(d)2),由题意知直线/的方程为x=2y-4.x2=2/?y,由、小 *得2)(8+p)y+8=0,lx=2y-4,yij2=4,I .8+p /儿+2= 2f又9：AC=4AB.“2=4”由，及得：yi = L y2=4,p=2,则抛物线G的方程为F=4y.(2)设/：y*+4), BC的中点坐标为(皿，yo),W=4y,由1卜=心+4),得”_4匕一16=0,小

18、=-=2人yo=kU)+4)=2股+4上线段BC的中垂线方程为y2Jr4k=-扣-2k),.线段BC的中垂线在y轴上的截距为=2Q+4k+2 = 2(+l)2,对于方程，由=16后+64k0得：k0或k0)的焦点F的直线交抛物线于A、B 两点,设Ag, V.),Bg2),则称AB为抛物线的焦点弦.求证：(l)yiy2=尸；XlX2=：FAFBTp(3)以AB为宜径的圆与抛物线的准线相切.证明如图所示.(1)抛物线y=2px(/?0)的焦点0),准线方程：x=2-设直线AB的方程为x=&y+纟 把它代入)2=2px,化简，得y22pkypr=0./.yiy2=P2 _yr_(yiV2)2

19、_(-p2)2_p2-XIX2=4=47=T(2)根据拋物线定义知IMI = L4A|l=.vi+FB = BB=X2+爲+爲=丄+丄_22_2(2乜+“)+2(2“+)2xi+p 2x2+p(2x+p)(2x2+p)4(M+兀2)+4p4(M+.Y2+p)2AxX2+ 2p(X +x2)+p22p(xJt-x2+p) p(3)设AB中点为C(x(, yo),过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为儿，B,Cb则ICGI=*L4Ail+IBBl)=*L4FI+IBFI)= AB.以线段AB为宜径的圆与抛物线的准线相切.类型一抛物线的性质应用例1 (1)已知抛物线屮=甌，求出该抛物线的顶点、焦点

20、、准线、对称轴、变量X的范圉.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9F+4y2=36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶 点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.解(1)抛物线尸=&丫，p=4,所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0), (2,0),x=2,x轴，x0.(2)椭圆的方程可化为弓+=1，其短轴在* *轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y2=2px或y2= 2p.r(p0).抛物线的焦点到顶点的距离为3,即马=3. =6抛物线的标准方程为尸=12x或y2=-12x,其准线方程分别为尤=一3或x=3.反思与感悟 把握三个要点确定拋物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y,次项的系数是正 还是负.(3)过抛物线尸=铁的焦点作直线交抛物线于点A(A-,yi), 5(X2,yi)，若L4BU7,则AB的中 点M到抛物线准线的距离为_ 答案(1)16(2)x+y-1 =0或x-y1=0 (3#解析(1)由抛物线=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为-=A-2,代入戏=弘得(x2尸=8x即一12x+4=0.所以XI+X2=12,弦长为M+Q+=12+4=16.抛物线护=4x的焦点坐标为(1.0),若/与x轴垂直，则IABI=4,不符合题