2019年高考数学(理科_重点生)高考专题辅导专题跟踪检测(十二)直线与圆

1、专题跟踪检测(十二)直线与圆、全练保分考法一一保大分1.过点( (3,1)作圆( (x 1)2+ y2= r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( () )A. 2x+ y 5= 0B. 2x + y 7= 0C. x 2y 5= 0D. x 2y 7= 0解析：选 B 过点(3,1)作圆(x 1)2+ y2= r2的切线有且只有一条，点 3,1)在圆(x 1)2+ y2= r2上,1 一 0 1圆心与切点连线的斜率 k=1,3 12切线的斜率为一 2,则圆的切线方程为y 1 = 2(x 3),即 2x+ y 7= 0.2.圆心在直线 x+ 2y= 0 上的圆 C 与 y 轴的负半轴相切，圆

2、 C 截 x 轴所得的弦长为 2 6, 则圆 C 的标准方程为( () )A.(x 2 2)2+ (y+ 2)2= 8B.(x 2)2+ (y+ 2 2)2= 8C . (x 2)2+ (y+ 2)2= 8D . (x 2)2+ (y+ 2)2= 8解析：选 A 法一：设圆心为 r, 2 (r0),半径为 r.由勾股定理(.6)2+ f2= r2,解得 r= 22,A圆心为(2 2, 2)，圆 C 的标准方程为(x 2 2)2+ (y+ 2)2= 8.法二：四个圆的圆心分别为( (22，. 2), ( 2, 2 2), (2,2), ( 2, 2)，将它们逐一代入 x+ 2y= 0,只有 A

3、选项满足.3.已知圆 M : x2+ y2 2ay= 0(a0)截直线 x+ y= 0所得线段的长度是 2 2.则圆 M 与 圆 N: (x 1)2+ (y 1)2= 1 的位置关系是( () )A内切B 相交C .外切D .相离解析：选 B由题意知圆 M 的圆心为(0, a),半径 R = a,因为圆 M 截直线 x + y= 0 所得线段的长度为 2 迈，所以圆心 M 到直线 x+ y= 0 的距离 d= r|=a2 2(a0)，解得 a =所以圆心（1,0）到直线 AB 的距离 d= =衍.又圆 C 的半径为 1,所以圆 C 上的2,即圆M 的圆心为（0,2） ,又知圆N 的圆心为（1,

4、1） ,半径 r=1,所以|MN |=2,则 R r0)，则 r=TX6 = 4,3所以圆 C 的方程为(x 4)2+ y2= 16.法二：设 A, B 两点的坐标分别为( (X1, y,( (X2, y2)(X10, X20)，由题设知 x2+ y2= .2+ y2.又 y1= 2X1, y2= 2x2,故 x2+ 2X1= x2+ 2x2,即(X1 X2) (X1+ X2+ 2) = 0,由 X10, X20，可知 X1= X2,故 A, B 两点关于 x 轴对称，所以圆心 C 在 x 轴上.设点 C 的坐标为(r,0)(r0),则点 A 的坐标为 号，乌3r j,于是r j2= 2X孑，

5、解得 r= 4, 所以圆 C的方程为(x 4)2+ y2= 16.7._ 设 M , N 分别为圆 O1： x2+ y2 12y+ 34= 0 和圆。2： (x 2)2+ y2= 4 上的动点，贝 V M , N 两点间的距离的取值范围是解析：圆 01的方程可化为 x2+ (y 6)2= 2,其圆心为 01(0,6)，半径 r1= . 2.圆 02的圆心 02(2,0)，半径 r2= 2,则 |01。2|=36+ 4= 2 10,则 |MN |max= 210+ 2+ .2, |MN |min=2 10 2 .2,故 M , N 两点间的距离的取值范围是 2 10 2 2, 2 10+ 2+

6、. 2 答案：2 ,10 2 2, 2 10+ 2+ 28._过点 P( 3,1),Q(a,0)的光线经 x 轴反射后与圆 x2+ y2= 1 相切，则 a 的值为_解析：点 P( 3,1)关于 x 轴对称的点为 P ( 3, 1),点到直线 AB 的最大距离为-3+ 1,故ABP 面积的最大值为Smax=1X(.3+1)X3=所以直线 P Q 的方程为 x (a+ 3)y a= 0,由题意得直线 P Q 与圆 x2+ y2= 1 相切，所以_;-= 1,12+ a + 32解得 a= 3.答案：39.已知圆 C 过点( (1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线l: y= x 1 被圆 C

7、 所截得的弦长为 2 寸 2，则过圆心且与直线I 垂直的直线的方程为 _ .解析：由题意，设所求的直线方程为x+ y+ m= 0,圆心坐标为( (a,0)(a0),则由题意知 也卫2+ 2= (a 1)2,I 丿解得 a= 3 或1(舍去),故圆心坐标为( (3,0),因为圆心( (3,0)在所求的直线上，所以 3+ 0+ m= 0,解得 m= 3, 故所求的直线方程为 x + y 3= 0.答案：x+ y 3 = 010. (2018 全国卷n)设抛物线 C： y2= 4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 I 与 C 交于A, B 两点，|AB|= 8.(1) 求 I 的方

8、程；(2) 求过点 A, B 且与 C 的准线相切的圆的方程.解：由题意得 F(1,0), I 的方程为 y= k(x 1)(k0).设 A(X1, y1), B(X2, y2),y=kx1,2 222由得 k2x2 (2k2+ 4)x + k2= 0.y2= 4x2 ,22k + 4= 16k + 160，故 * + X2=L.所以 |AB|= |AF|+ |BF|Ia|24k + 4 =( (X1+ 1) + (X2+ 1) = _.24k + 4由题设知2= 8,k ，解得 k= 1 或 k= 1(舍去).因此 I 的方程为 y= x 1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),

9、所以 AB 的垂直平分线方程为 y 2 = (x 3),即 y= x+ 5.设所求圆的圆心坐标为(xo, yo),|xo=3,|xo=11,解得或yo= 2yo= 6.因此所求圆的方程为 (x 3)2+ (y 2)2= 16 或(x 11)2+ (y+ 6)2= 144.11. (2018 成都模拟) )在平面直角坐标系xOy 中，曲线r：y= x2 mx+ 2m(m R)与轴交于不同的两点 A, B,曲线r与 y 轴交于点 C.(1) 是否存在以 AB 为直径的圆过点 C?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明 理由.(2) 求证：过 A, B, C 三点的圆过定点.解：由曲线r：y= x

10、2 mx+ 2m(mR),令 y= 0,得 x mx+ 2m = 0.设 A(X1,0), B(X2,0),则可得= m2 8m0,解得 m8 或 m0,又圆 C 与 y 轴相切，所以圆 C 的半径 r= a,I x=或y=25,45所以圆 C 的方程为( (X a)2+ y2= a2.因为点 M(1,3)在圆 C 上，所以(1 a)2+ (,3)2= a2,解得 a= 2.所以圆 C 的方程为(x 2)2+ y2= 4.证明：记直线 OA 的斜率为 k(kz0)，则其方程为 y= kx.2 2x 2) )+ y = 4,消去 y,得(k2+ l)x2 4x = 0,2由 k koB= 2，得

11、 koB= k,直线 OB 的方程为 y= fx,4k24k2+1，得k=2，此时直线1的方程为宀孑2 24 + 8k k + 1 3k k + 23k.2 k故直线 I 的方程为 y今丄一他k + 12 k I2在点 A 的坐标中用-下下代换k，得4k28k当直线的斜率存在时,则直线8k2 2k + 1 k + 4的斜率为4k24 4k22k + 1 k + 4联立y= kx解得 xi= 0,4x2=茁所以 A4k卞2+ 1 k2+ 1 丿当直线的斜率不存在时,24k k +一44 k + 4 4k k + 14 kx*k2+1，所以直线 l 过定点4, 0 .综上，直线 I 恒过定点，定点

12、坐标为 3，0.、强化压轴考法拉开分1 已知圆 C: X2+ y2= 1,点 P（Xo, yo）在直线 1: 3x + 2y 4= 0 上，若在圆 C 上总存在两个不同的点A,B,使6A +OB=6?，贝 y x0的取值范围是（）-? -? -?选 C 如图， OA + OB = OP ,0P 与 AB 互相垂直平分,圆心到直线 AB 的距离x()()+yV1,2 2X0+ y04.又 3x0+ 2y0 4= 0,y0= 2 3x0,代入得 x0+ 2 2X0232.已知直线 y= x+ m 和圆 x + y = 1 交于 A, B 两点，O 为坐标原点，若 AO -AB = ,则实数 m 的

13、值为（)A. B 3B. 2.2C. 22D. sA. 0,2413B.-14,0C. 0,1324(13、 D.0, 1i解析:解析：选 C 设 A(Xi, yi), B( (X2, y2) ),贝 U AO = ( Xi， yi), AB =( (X2 xi,yi),消去 y,整理得，2x2+ 2mx+ m2 i = 0,故= 4m2 8(m2 i)= 8 4m20,m2i2xi+X2= m,XiX2=-2，yiy2=(xi+m)(x2+m)=XiX2+m(xi+X2)+m,223i2i又 AO -AB = XiX2 yiy2+ Xi+ yi=，故 xix?+ yiy2= 2，故 2xix

14、?+ m(xi+ X2) + m =-, 即 m2i m2+ m2= , 得 m2= , m= 22.3. (20i8 荆州模拟) )过点 A(i ,2)的直线 I 将圆 C: (x 2)2+ y2= 4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线I 的斜率为解析：易知点 A(i ,2)在圆(x 2)2+ y2= 4 的内部，圆心 C 的坐标为(2,0)，要使劣弧所i对的圆心角最小，只能是直线5 所以说 2答案：壬4.已知圆 O: X2+ y2= i 与 X 轴负半轴的交点为 A, P 为直线 3x+ 4y a = 0 上一点,过 P 作圆 O 的切线，切点为 T,若|PA| = 2|PT|，

15、则实数 a 的最大值为 _ .解析：由题意知 A( i,0)，设 P(x, y),由 |PA| = 2|PT|可得(x + i)2+ y2= 4(x2+ y2 i),化简得(x 3；+ y2=乎.由 3x + 4y a= 0 与圆x 寸)+ y2=晋有公共点 P，所以圆心 g, 0到|i a| 4i72323直线 3x + 4y a = 0 的距离 d=；,解得一 a石，所以实数 a 的最大值为 27.53333答案：235.已知圆 O: X2+ y2= 1，圆 M ： (x a)2+ (y a+ 4)2= 1若圆 M 上存在点 P，过点 P作圆 O 的两条切线，切点分别为 A, B，使得/ APB = 60则实数 a 的取值范围为 _ .解析：圆 O 的半径为 1，圆 M 上存在