空间解析几何(上篇)概况

1、空解精要（简单部分）序空间解析几何，是数学专业基础课中最容易的一个板块。 无需像 高代一样必须参透一切，也不需像数分一样必须无限刷题。一般说来， 只需要上课听讲，完成作业，然后稍微复习一下，便可以得到 9090 分 以上的成绩。那接下来就来了解一下空解的精要部分。一. .向量的三积（注：在这里联系一下高代里面的“线性相关性”部分）1.1.内积定义：内积也成为向量的数量积，任取向量a,a, b,b,内积的值为a b cos a,b，它是一个数量。用符号表示。若 a=a=ai,a2,a3,b=,b=bi, b2,b3, ,贝S ab = aib azb asd2.2.射影和射影向量射影向量：一个向

2、量在另一个向量上的正投影向量叫做射影向量。射影：射影向量的模就叫做射影。记为：Prjba= a cos_a,b。表示a在b上的射影。命题：1.1.prjb（aa2prjbaiprjba2a a2prjbprjb.aa *b PrJbb- 12(2)3a 2b. .2.2.外积定义：向量的外积也叫叉积或者向量积，它的积是一个向量。a a 与 b b 的外积记为a b，它的模是：*b=absinz（a,b）, ,它的方向与 a a 和 b b 都垂直，并且按a a， b b，a b这一顺序成右手系。外积不符合交换律。由定义可知：两个向量共线的充要条件是外积为零向量。如果 a a 和 b b 不共线

3、，则a b的模表示以 a,a, b b 为邻边的平行四边形的面积。3.3.例题1已知向量a与b的夹角为孑,W = 3, b =4，计算若 a=a=81,82,83,b=,b=bib,则 i j kWxb= =ai8283，其中 i i . . j j , , k k 是单位向量。bib2bs外积的运算律：1.1.反交换律：8 b=_b 82.2.数乘结合律：，a b= =（8 b）= =8 （ b）3.3.左右分配律：8 b c=8 c b c；8 b c=8b 8c. .于是，与 8 8 和 b b 都垂直的向量可设为8 b；与 8 8 和 b b 都垂直的单位向量可设为 辔 B.B.a汇b

4、二重外积公式：8 b C =（8c）b - （bC）8例题 2 2:在直角坐标系中，已知8= 2,-3,1 ,b= 1,-2,3，求与 8 8, b b都垂直，且满足下列条件之一的向量c c：（1 1）c c 为单位向量；（2 2）cd =10，其中d =（2,1厂7）. .=-(=-(a,c,ba,c,b ) )3.3. 混合积定义：两个向量的外积向量再与第三个向量的内积，叫做三个向量的混合积。若 a=a=ai,a2,a3,b=,b=bibb, c=c=GGC，则a b *c的值为aia2a3bib2b3C1C2C3命题 1 1 ：三个向量共面的充要条件是混合积为0.0.命题 2 2：若 a

5、 a，b b，c c 不共面，那么 a a，b b，c c 的混合积表示以a a，b b，c c 为邻棱的平行六面体的体积。命题 3 3:轮换混合积的 3 3 个因子，不改变它的值，而对调任何 2 2 个因子，都要改变符号。如: (a,b,c(a,b,c )=()=( b,c,ab,c,a )=()=( c,b,ac,b,a )=-()=-( b,a,cb,a,c )=-()=-( c,b,ac,b,a ) )例题 3 3:证明：如果a b b c c a，那么 a a, b b, c c 共面二. .平面和直线的渊源注意：在这之后的平面与直线方程都是在直角坐标系中表 示的，不考虑仿射标架中的

6、。（一）. .平面的方程1.1.点位式方程我们知道，由于直线和直线外一点可以确定一个平面，设一条直线的方向向量为v=（X X，Y Y，Z Z），直线上一点为MoXo, yo,Zo，直线外一点为MiXi,yi,Zi，于是可以用一组混合积来表示平面：v,MMi,MMo=0=0，其中M x,y,z用行列式表示为：xX。yyozzoX1 -xoy-yoz-%=0X Y Z由于结果是 0 0,所以根据行列式的性质，里面的行列 顺序可以随便写。2.2.一般式方程我们明显可以发现，把点位式的方程行列式按照未知量所在的行展开可以得到一个关于 x,y,zx,y,z 的三元一 次方程，记为 Ax+By+Cz+D=

7、0Ax+By+Cz+D=0 这样的方程叫做平面的 一般方程，也是解题所需要的最终结果形式。在这个方程里面，注意到 A,A, B B，C,C,而向量（A A， B,B, C C）就是这个平面的法向量。3.3.截距式方程相信大家都明白截距是什么意思，它指的是平面与 坐标轴相交的对应的坐标，如果题目给出平面在三个坐 标轴上的截距a,b,ca,b,c，联想到中学的直线的截距式方程， 可想而知，方程可写为 $ $ Z Z 才a b c如果已知平面的法向量为(AB B, C C),平面上一点 为Xo,yo,Zo,那么方程可写为A(x-xo) B(y -y) C(z-zo) =0其中的原理是垂直于同一直线的

8、直线刚好构成一个平面，如果n =：A, B,C，MoXo，y，z，MiXyi,z，则n *M0M1=0=05.5.一般方程的法式化如果已知方程的一般方程为Ax By Cz 0，作为法式方程，必须将n二A,B,C单位化，于是，只有在方 程左边乘以法式化因子即可，其中丄一十丄匸土一1n旗心弋2正负号的选取与 D D 有关，如果 D D 为负，那么取正号，如果 D D 为正，取负号。化完之后的平面如果记为A!X B,y Ciz D0，此时的法向量很明显是个单位向量，而这个单位向量T=(A,Bi,G )的几何意义是：从原点指向平面的单位法向量。这里的Di的几何意义是：4.4.点法式方程原点到平面的距离

9、定理：平面的充要条件是关于 x,y,zx,y,z 的方程是一个三元一次的方程。（二）直线的方程1.1. 标准方程我们知道，空间中的两点可以确定一条直线。如果我 们知道直线上确定的两点Mo=：X,yo,Zo，MiXi,yi,Zi，那 么，直线的方程可以写为：x -Xoy - yz-ZoXi- Xoyi- yoZi- Zo这样的方程称为两点式方程。很明显，分母组就是该直线的方向向量，于是，如果给出直线的方向向量（X,X,Y,ZY,Z），那么就可以写成：x-Xo_ y -y _z-ZoX一Y一Z这就是直线的标准方程。2.2.射影式方程在标准方程中，我们可以看到有两个等号，表示的是两 个等式，如果将两

10、个等式联立起来，用一个未知数表示另外 两个未知数，就可以把标准方程化为一下形式：x = az + b.y = bz + d这个方程称为直线的射影式方程3.3.一般方程我们知道，两个相交的平面，它们的交线就是一条直线， 于是，就可以把两个平面用花括号联立，就变成了一般方程 一般方程的形式为：Ax + By +Gz+ Di =0Ax + B2y+C2z + D2=0需要注意的是：标准方程和一般方程都不唯一，射影式方程 是一般方程的特殊结构。4.4.标准形式和一般形式的互化1标准般直接化成射影式即可2一般标准首先令其中一个未知量为一个确定值，再解出另外两 个未知数，这样便确定了直线上的一点。般方程的

11、方向向量就是iBiCiACiABiB2C2，A C2,A B2然后写成标准形式即可例 4.4.求过点(3,3, -5,1-5,1 )和点(4,1,24,1,2),垂直于平面 x-8y+3z-1=0 x-8y+3z-1=0的平面方程。例 5 5 将下列平面化成法式方程(1)x-2y+5z-3=0 x-2y+5z-3=0(2)x-y+1=0 x-y+1=0三 线性图形的位置和度量关系（一）平面与平面的位置关系在仿射坐标系下，设两个平面为二1A,x B|y C1z= 0二2：A2x B2y C2z D2= 01.1.相交=A：B1：G = A:B2: C22.2.平行=A_B1 _C1 _D1AB2

12、C2D23.3.重合=AB1C1D1A2B2C2D2（二）平面与直线的位置关系直线 I I 和平面二的方程分别为I:x _ Xo_ y _ yo_ z _ ZoX一Y一Z:Ax By Cz D = 0于是，1.1.相交=AX BY CZ =02.2.平行=AX BY CZ=0且A/By0CZ）D = 03.3.直线在平面上=AX BY C 0且Ax0By0CZ）D = 0（三）两条直线的位置关系设两条直线的方向向量分别为Vi,V2，两条直线上分别有两点MI,M2。1.1.异面=MJMZMM=o=o2.2.相交二M1M2,V2= = 0 0 且V2不共线3.3.平行二VIM共线但和M1M2不共线

13、4.4.重合二Vi,V2,M1M2为共线向量。（四）距离公式1.1.点到直线直线上一点为Mo，直线外一点为 M M 直线的方向向 量为 V V,于是，M M到直线的距离公式为M0M XVd =- =-V意义是：平行四边形的面积除以底边长，即为高。2.2.点到平面设平面方程为Ax By Cz 0，平面外一点为M xo,yo,zo，于是联想到中学的点到直线的距离公式可得：d _|AXo+Byo+Czo+ DvA2B2C23.3.直线与直线的距离设两条异面直线分别过MI,M2，方向向量分别为Vi，则两条直线的距离为：(MIM2,V1,V2jd=_-:W汇V2几何意义为：体积除以底面积，即为高注意：其他类型的距离都可以通过以上三种变换而来, 比如平行平面的距离，可以转换为点到平面的距离来求 解。例 6 6:求二平面订：2x - 2y z - 3 = 0二2：4x -4y 2z 5 = 0之间的距离四. .平面束定义：我们把空间中所有通过同一条直线的平面的集合称 为共轴平面束，这条直线叫做轴；把所有平行于同 一条直线的平面的集合称为平行平面束。1.1.共轴平面束设两个平面比：Ax + B+Gz + Dj =