向量法解决空间立体几何---点存在性问题--教师版

1、向量法解决空间立体几何-点存在性问题-教师版1、如图所示，在直三棱柱ABC­A1B 1C1中，ACB90°，AA1BC2AC2.(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1­CD­C1的大小为60°？解：(1)证明：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，即(0,2,0)，(1,0,1)，(1,0,1)由·(0,2,0)·(1

2、,0,1)0000，得，即C1B1CD.由·(1,0,1)·(1,0,1)1010，得，即DC1CD.又DC1C1B1C1，CD平面B1C1D.又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D.(2)存在当ADAA1时，二面角B1­CD­C1的大小为60°.理由如下：设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面B1CD的法向量为m(x，y，z)，则令z1，得m(a,1，1)又(0,2,0)为平面C1CD的一个法向量，则cos 60°，解得a(负值舍去)，故ADAA1.在AA1上存在一点D满足题意2如图，在

3、三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1­BC1­B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB. 由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系A­xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4

4、)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，(0,3，4)，(4,0,0)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以cos n，m.由题知二面角A1­BC1­B1为锐角，所以二面角A1­BC1­B1的余弦值为.(3)证明：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且.所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由·0，即9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.3、如图，在

5、四棱锥P­ABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q­AC­D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)在PAD中，PAPD，O为AD中点，所以POAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OCAD，所以以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别

6、为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，(1，1，1)，易证OA平面POC，(0，1,0)是平面POC的法向量，cos，. 直线PB与平面POC所成角的余弦值为.(2) (0,1，1)，(1,0,1)设平面PDC的一个法向量为u(x，y，z)，则取z1，得u(1,1,1)B点到平面PCD的距离为d.(3)假设存在一点Q，则设 (0<<1)(0,1，1)，(0，)，(0，1)，Q(0，1)设平面CAQ的一个法向量为m(x，y，z)，又(1,1,0)，AQ(0，1,1)，则取z1，得m(1，1，1)，

7、又平面CAD的一个法向量为n(0,0,1)，二面角Q­AC­D的余弦值为，所以|cosm，n|，得321030，解得或3(舍)，所以存在点Q，且.4、如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB2AA12AD2，DC2DD1，把四边形A1ADD1沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A1B，D1C得几何体ABA1­DCD1.(1)当点E在棱AB上移动时，证明：D1EA1D；(2)在棱AB上是否存在点E，使二面角D1­EC­D的平面角为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由解：(1)证明，如图，以点D为坐标原点，DA，DC

8、，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D­xyz，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)设E(1，t,0)，则(1，t，1)，(1,0，1)，·1×(1)t×0(1)×(1)0，D1EA1D.(2)假设存在符合条件的点E.设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，由(1)知(1,2t,0)，则得令y，则x1t，z1，n是平面D1EC的一个法向量，显然平面ECD的一个法向量为(0,0,1)，则cosn，cos，解得t2(0t2)故存在点E，当AE2时，二面角D1­EC

9、­D的平面角为.5、如图是多面体ABC­A1B1C1和它的三视图 (1)线段CC1上是否存在一点E，使BE平面A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值解：(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，C1(1，1,2)，则(1,1,2)，(1，1,0)，(0，2，2)设E(x，y，z)，则(x，y2，z)，(1x，1y,2z)设 (>0)，则则E，.由得解得2，所以线段CC1上存在一点E，2，使BE平面A

10、1CC1.(2)设平面C1A1C的法向量为m(x，y，z)，则由得取x1，则y1，z1.故m(1，1,1)，而平面A1CA的一个法向量为n(1,0,0)，则cosm，n，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为.6、如图1，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角A­DC­B(如图2)(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E­DF­C的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由解(1)在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)平面CDF的法向量为(0,0,2)设