第11讲阿氏圆最值模型原卷版

1、-16 -中考数学几何模型11 :阿氏圆最值模型名师点睛 拨开云雾开门见山在前面的 胡不归”问题中，我们见识了 “kPA+PB最值问题，其中P点轨迹是直线，而当 P点轨迹变为 圆时，即通常我们所说的阿氏圆”问题.【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA: PB=k ( kl),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”【模型建立】2如图1所示，O O的半径为R,点A、B都在O O夕卜，P为O O上一动点，已知R=-52 连接PA PB,则当“ PA+PB”的值最小时，P点的位置如何确定？5OB,2

2、2解决办法：如图2,在线段 0B上截取0C使0C= R，则可说明 BPO与厶PCO相似，则有PB=PC。552故本题求“ PA+PB ”的最小值可以转化为 “PA+PC ”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、5P、C三点共线时，“ PA+PC”值最小。【技巧总结】计算PA kgPB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点 P使得PA kgPB的值最小，解决步骤具体如下：1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即 OP，OBOP2. 计算出这两条线段的长度比kOB OCpc3. 在OB上取一点C,使得k ,即构造 POMBOP，贝yk , PC

3、 kgPBOPPB4. 则PA kgPB=PA PC AC，当A、P、C三点共线时可得最小值典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，在 RtAABC中，/ C=90 , AC=4 , BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆 C,分别交AC、BC 于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则 丄PA PB的最小值为2变式练习>>>APBP,1. 如图1,在RTA ABC中，/ ACB=90, CB=4, CA=6,圆C的半径为2,点P为圆上一动点，连接11求AP -BP，2AP BP，AP BP ,AP 3BP的最小值23AB5例题2.如图，点C坐标为（2,5），点A的坐标为（7,0）

4、,O C的半径为.10 ,点B在O C上一动点，OB的最小值为.变式练习>>>2. 如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1), M(4,4)，以M为圆心，2 2为半径画圆，O为原点,例题3.如图，半圆的半径为1,AB为直径，AC、BD为切线，AC= 1, BD = 2, P为上一动点，求PC+PD的最小值.变式练习>>>3. 如图，四边形 ABCD为边长为4的正方形，O B的半径为2, P是OB上一动点，则PDPC的最小值 为；: PD+4PC的最小值为 .AD1例题4.如图，已知正方 ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则 P

5、D - PC的2最大值为.变式练习>>>4. (1)如图1,已知正方形 ABCD的边长为9，圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那么PD的最小值为，PD -諛的最大值为.(2)如图2,已知菱形 ABCD的边长为4, / B = 60°圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么 丄二的最大值为 .1例题5.如图，抛物线 y=- x2+bx+c与直线AB交于A (- 4, - 4), B (0, 4)两点，直线 AC: y=- x- 62交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点 E作EF丄x轴交AC于点F,交抛物线于点 G.(1 )求抛物线y= - x2+bx+

6、c的表达式；(2)连接GB, E0,当四边形GEOB是平行四边形时，求点 G的坐标；(3)在y轴上存在一点H,连接EH, HF,当点E运动到什么位置时，以 A, E, F, H为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E, H的坐标；在的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点 M为O E上一动变式练习>>>5. 如图1,抛物线y= ax2+ (a+3) x+3 (a0与x轴交于点 A (4, 0)，与y轴交于点B,在x轴上有一 动点E (m, 0) (Ov mv 4),过点E作x轴的垂线交直线 AB于点N ,交抛物线于点 P,过点P作PM丄AB 于点M .(1) 求a的值和直线A

7、B的函数表达式；(2) 设厶PMN的周长为Ci, AEN的周长为C2，若，求m的值；(3) 如图2，在(2)条件下，将线段 0E绕点0逆时针旋转得到 0E',旋转角为a ( 0°< aV 90° ,连 接E A、EB，求EA+Ze'B的最小值.3领悟提升强化落实达标检测1.如图，在RTAABC中，/ B=90°, AB=CB=2,以点B为圆心作圆与 AC相切，圆C的半径为、2，点P为圆B上的一动点，贝U AP子PC的最小值OO, P是O O上一动点，则 2PA+PB的最小值为6,内切圆记为 O O, P是O O上一动点，则2PB+PC的最小值

8、为AP - PB24. 如图，在Rt ABC中，/ C=90° CA=3, CB=4, e C的半径为2，点P是e C上的一动点，则象限内的5.如图，在平面直角坐标系中，A 2,0，B 0,2 ，C 4,0 ，D 3,2，P是厶AOB外部第一动点，且/ BPA=135°，则2PD PC的最小值是多少？6. 如图，Rt ABC, / ACB = 90° AC= BC= 2，以C为顶点的正方形 CDEF (C、D、E、F四个顶点按逆 时针方向排列)可以绕点 C自由转动，且 CD =.-：,连接AF , BD(1)(2)当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出 BDAD的值;直接写出正方形 CDEF旋转过程中，BD+ ：(3)AD的最小值.求证： BDCAFC ;7. (1)如图1，在 ABC中，AB= AC, BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线 CE，并证明BD = CE :(2) 如图2