线性方程组习题参考答案

1、第三章线性方程组习题参考答案P154,1.用消元法解下来线性方程组x * 3x? + 5 X3 4 X4 1X1 3x2 2x3 - 2X4 X5 -1x 2x? + X3 X4 X5 = 3x 4x? + x + X4 X5 = 3 2 X? X3 - X4 X5 二-1解:135-401、2 -1535-40-T132-21-100-321-23 1T1-21-1-130-5-43-124 -11-411-130-7-45-125 -1<121-11-b<0-1-431一2135-401、r135-401、0-1-431-24 一 530-1-431-24 一16300-321

2、-2Tr -4- Q r001-2-120016-12-612583丄00021-2卫02416-816>10 '4e0000°(1-4-2-2-2<012120<0方程组的解是XL皆0X4 一 1-2k2kXs二kXi +2x2 3x4 + 2x5 =1Xi - x2 - 3x3 ' X4 - 3 X5 = 2 2xt 3x2 +4x3 5x4 +2x5 =79xi - 9x2 6x3 - 16x4 2x5 = 25解：112<90-3-31-5-16-325403_22>-1-31-3-3-34-5-110-78033-2529(12

3、01030广1-1-31-32、1-1-31-32、0-110-783T0-110-78300-3325-29-800-3325-29-8<0033-252970000-b最后一列为(0,0,0,0,0,-1),所以方程组无解X 2x2 +冷4x4 =4X33捲 +3x2 +x4 =1_ 7x2 3X3 X4 二 _3123-4 4""1-23-431011 1301-11T130 1 105-35Li<073 1-300-4810 0-2-8 ”100 0-801 0 13010 03TT00 1 06001 06<00 0 10<000 10&g

4、t;3x<| +4x2 _5x3 +7x4 =0J2xt 3x2 + 3x3 -2x4 =04Xt +iix2 - 13x3 + 16x4=07Xi _2X2 +X3 +3x40解:4、1-23-44、-33 - 5d01_ 11-3T-37r1002012 24<00126有唯一解:X1= -8, X2=3, X3=6, X4=0.解:324J4-311-2-53-137-216r4 - 2r3r1 -r2r3-2r2s7-89-33-2r2-2r1r4+r117-1920-2427-29 广120<_1570-17017I。-17-819-19199、广17-89、03-

5、7713、17-200-119120170119-77201720T0000T0000201°0001°00°得解:X2171917xk20I2禺 +x2 -x3 +x4 =13% 2x2 +2x3 _3x4 =2 1 2 3 4 5x1 + X2 _ X3 + 2X4 = -1J 2x1 - X2 X3 - 3X4 = 4解：21 -111n -rAA21-111'21-1113-22-32413-22-32r +r141 33-22-3231 2 T51 -12-102-240T02-240-11-34><0-22-43丿1<0000

6、3最后一列为(0,0,0,0,3),所以方程组无解% +2x2 +3x3 _x4 =13为 一 2x2 + X3 x4 = 1(6)2% +3x2 +怡 +x4 =12為 + 2x2 + 2x3 _ x4 = 15为 5x2 2x3 二 2 解:100010T001000I000f般解为51 1_66716651 ._66000015,备=二+k66:17.x?=k2 66-15.+-k3 66J,k为任意数.2.把向量B表成向量a, a,a, a的线性组合.(123-11n23-1r<10-100r5-r2 丁3r2 r4321-110-4-82-20-11-20323111T0-1巧

7、3-1006巧13-2T222-110-11-2000000r3r1&5202丿11°0000丿1°0000丿(1)解解设 B = a+ X2 a+ X3 a+ X4a,则X1x2x3x4 = 1x1x2 - Xq - x4 = 2X1-x2x3 - x4 = 1X1IZ z+ zX2X3X4二 1f5X1 =41X2 =J4I1X3 =-1411|X4 =-141 =5-141:41-I-1-I-(2)解：设 B=1 a+ X2 a+ x3 a+ x4 a,则X3X4 = 03.证明：如果向量组oa, a,a线性无关，而向量组a , a,a,性相关，贝U B可由向

8、量组ai, 证明：因为向量组aa, 02,，a,02 ,ar线性表出.B线性相关，所以存在ki, k2,kr, l不全为0,xa2x2 x3 = 0xa + x2 + x3 + X4 = 00 3x2- x4 = 0xa x2- x4 = a使 4 k2： 2 Hk ： r I ： = 0 若I=0,贝U kl,kr不全为0，于是存在不全为零的数ka,kr使得oi, a,a线性无关矛盾.所以I0,则=(一¥)a (_¥): 2 (-牛)r.即B可由向量组a, a,a线性表出.证法2.由于向量组a , a,，a, B线性相关，所以存在ka, k2, ,kr, I不全为0, 使

9、 ka k22 * Hlkrr I ： =0 .若 l=0,则得 k仁a k2> 2 r =0.因为向量组a, a,，a线性无关，所以K=k2八=kr = 0.与ka, k2, ,kr, I不全为0矛 盾.所以I 0,这样2 =(-：八* (-：2)2* (-,)=即B可由向量组aa,a, ,a线性表出.4. 设a=(a ia,ai2,ain), i=a,2，,n,证明如果|aj| 0,贝贝a, a,a线性无关. 证明：设 Xa a+x2 a+Xn an=0，贝UanaXn 二 0a.% 二 0aaaxa a2ax2111aa2Xa + a22X2+111lllHHIiniHIIIIII

10、IIIIHIIIIIaanXa a2nX2 川=0因为系数行列式(aj =aj式0，由Cramer法则，上面的方程组有唯一解，即只有零解，得xa = x2二二xn=0,于是a, a,1-1 a线性无关.5. 设ta,t2,tr是互不相同的数(r n)，证明a=(a, ti,矿)，i=a,2，,r线性无关证法1 ：添加tr+1,tn,使tl, t2,tr , tr+1,tn两两不同,得向量组2n-1a=(1, tt, tt ,tt ) i=1,2,.,n.由于a, a,，a的分量作成一个 Van dermo nde行列式且不等于0,由上一题,卷2,，伪，n线性无关，于是它的任一部分组线性无关证法

11、2:因为rn,所以令广 111.1A =t1t2trm*ann_J n<1t2tr则A的前r行作成一个r阶范德蒙行列式B,从而非零.于是B的列向量线性无 关，增加分量后为A的列向量，所以A的列向量也线性无关.证法 3.设 X1 d+X2 02+Xr cr=0,贝q +x2 +幷=0+t2x2 十八 +trxr = 0(1)It；X1 t；X2 -Xr =0考虑(1)的前r个方程作成的齐次线性方程组："% +x2 + xr =0t1x1 +t2x2 + +trxr = 01122 r r (2)It； Jx1 - t2x2xr =0因为t1, t2,tr两两不同，所以的系数行列式

12、为r阶Vandermonde行列式1tr-0.1 1 t1 t2 r -1 r -1t1t2于是线性方程组(2)有唯一的零解.又由于(1)的解都是(2)的解，而只有零解，所以(1)只有零解.即 =X2二二Xr =0,于是a1, 2,'-' a线性无关.6. 假设a1, 02 , 03线性无关，证明p1= 02+ 03,血=03+ O1 ,隔=0d+ 02线性无关.证法 1：设 X1 ®+X2 臣+X3 直=0,贝U(X2+X3)1+(X3+X1) (S+(X1+X2)3=0由于01, 2, O线性无关得：x2 X3 乂x1 x3卫，该齐次线性方程组只有零解.x1 x2

13、 =0X1 = X2=X3=0，因而 0,吊他线性无关.ri o r证法 2：由于( +02,2 +。3,+旳)二©"!,0,0) 110 ,I0 1J广101、矩阵A= 1 10可逆，所以两个向量组等价.又已知向量组 a, a, a的秩为<0 1 b3, 所以后一个向量组的秩也是3,从而后一个向量组也线性无关.注：无论向量组 a, a a, 4线性无关或相关，a + a , 2c+ a , a+a, 4+ a线性相关.7. 设向量组A: oa, 2,，cs的秩为r,证明向量组A的任意r个线性无关的向量组 都构成它的一个极大线性无关组.证明：设向量组A: ai, 2,

14、，as任一线性无关向量组B:羽，j%，jr,任取A中 的一个向量0由于R(A)=r,所以A中任意r+1个向量线性相关，有如,，, 0线性相关，由条件知向量组B线性无关，由临界定理，0可以由向量组B线性表示，故向量组B是极大无关组.证法2.设A： aj1, aj2,，a jr是d, 2,，as中的任一个线性无关的向量组，0是A 中的一个向量，由于R(A)=r,所以A中任意r+1个向量线性相关，有朗,，ajr, 0线性相关，满足极大无关组定义的条件，所以aj1, j2,，员是向量组A的极大无 关组.8. 设向量组(I)： a1, 2,，as的秩为r, 01, j2,，jro是(I)中的r个向量，使

15、得(I)中每个向量都可以被它们线性表出，证明j, j%，jr是(I)的极大无关组.证明：设向量组(I) OI, 2,，s，R(A)=r; (II): 01, j%，jr是已给向量组，取(I)的 极大无关组(III) ak1, k2,，熄由条件，(III)可由(II)线性表出，于是r=R(III) R(II)r.于是R(II)=r,即雷，,jr线性无关,所以是(I)的极大无关组.9. 证明一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成为一个极大无关组证明：设A是一个n维向量组，A1是它的一个线性无关组，1 °逐个检查A中的向量二2 a若二可以由向量组Ai线性表示，则去掉 二，检查下一个ab

16、、若:.不可以由向量组Ai线性表示，则添加到Ai中将Ai扩充为A2, 回到检查第1个向量，重复1° 2°若干步后(有限步后，任意n+1个n维向量也相关，必含停止)，得到Ai,A2, -Ak, 而Ak不能再扩大，于是Ak是一个极大无关组，且 AiAk.10. 设 a=(i,-i,2,4), a=(0,3,i,2), a=(3,0,7,i4), a=(i,2,2,0), a=(2,i,5,6).证明a, a线性无关.(2)把a, 2扩充成一个极大无关组解(i)：v ai与a的分量不成比例，故 a与a线性无关(2):解法 i.考虑 a, a, 3a t 3 ai+ a2 = a3

17、 , 去掉a.考虑aa a,取它们的后三个分量3i 2=28式0,二增加一个分量后仍然线性无关。即oa, 2,4线性无关.再考虑oi ,2, 4, 5因为分量行列式i-i2403i2=0,即05= ai+ a2+ %,所以匕的极大线性无关组是ai, 2,i-i202i56解法2.由-下式103121031210312(°1,。2,°3,°4,口5)=-130-11T03303T01101217250110100011<421406丿<知：d , 2, 4为极大无关组.ii. 用消元法求下列向量组的极大无关组和秩ai=(6,4,i

18、,-i,2),宓=(i,0,2,3,-4), a3=(i,4,-9,-i6,22), a4=(7,i,0,-i,3).解:/6117、4041(°1,口2,G3,°4)=12-90-1316-12 -4223丿q 2-90广12-90 -157/110-150 -151/8>0000 1-5 1/5000e -153/8J400 R( a, 2a a a 5)=3, 且 52,n 6r30-11557、r24r3m+r308401r52r3j129005-25-1<08403丿0、卩2-9 07/110-15 01>000 11000 01丿400 03,

19、 5为一个极大无关组. R(A)=3(2) d=(1，-1,2,4), c2=(0,3,1,2), c3=(3,0,7,14), o4=(1, -1,2,0).1-1240312307141-120r3 2r2、700<0031033101002100<0010031001010>010031000010R( a,2,4)=3, al, 2, 4是极大无关组.12. 如果向量组(I)可由向量组(II)线性表出，则R(I) R(ll).证：设(I)为(II ) ”分别为、(II )的极大无关组，则有(I八(1),(11八(II)(表示两个向量组等价),所以(I)可由(II)线性

20、表出.设(I)含r个向量，(II)含t个向量，因为(I)线性无关，且 可由(II )线性表 出，所以r <,t即秩(I)胡秩(II)13已知 加，2,，n是一组n维向量，、，；211,冷可被它们线性表出，证明 01, 2,，n线性无关.证明：由于 2JII,咕可由oil, i2,，浪线性表出，因为单位向量组',；2川，；n 线性无关，由(定理2推论)12题的结论，n.n=R( 1, ；2, ；n) R( 01, 2,- , on)所以得a , a'-：n,线性无关14. 设al, 2,，n是一组n维向量，证明ai, 2,，n线性无关的充要条件是任意 n维向量可以被它们线性

21、表出.证明：必要性.设 卷2,，n线性无关，对任意一个n维向量a,由于n维空间 的n+1个向量线性相关，所以ai,爲，n, a线性相关，所以a可由娥2,，n 线性表出充分性由13题可得.”aiixi+ai2X2 + +amxn = b15. 证明方程组 T a22X2a2nXn二b2对任何应,.,bn都有解的充要条anlXi an2X2*nn Xn = bn件是系数行列式|aj |0.证明：“ ”若系数行列式|aij|工,则由Cramer法则，对任何常数bi,b2,b有唯 一解。Z ”令旳=2： , i =1,2,., n. B =b2，则原方程组为®i Ja jXi ： 1 屜：2

22、 川 X n 二：.(*)fb 1b1由于原方程组对任意的b1,b2,b都有解，所以由(*)知，Pn中任何向量b= $4都可由d , 2,，n线性表出.依次让二；1,；2,1山;n，则得1,；2，；n可由a1,2,，n线性表出，由13题知也，2,，n线性无关，即R (A)=n,由定理5，Al工016.已知d,冯,a (I)与刃，cc, r+1,s(II)有相同的秩，证明这两个向量组 等价证明：对向量组d,c2,，ar(I)及a1,ar,ar+1,，s(II)，有 R(l)=R(ll)=t，设ai1,62,，it创II)为(I)的极大无关组；则由于ai1,:终，it线性无关，且为(II)部分组,

23、由R(ll)=t得，(III)也是(II)的极大无关组.所以(III) (II),而(III) (I),由等价 的传递性得(I)与(II)等价17 .证明，若仪=a+ + a,血=ai+oa+ ar,®=ai+ar-1,则or,1,2,r与1,2,r有相同的秩.证明:妆=a2+ ar,血=a+a+ &, r=ai+ a-i,即向量组1, 2, -r可由向量组 1,2,r线性表出.又=1 +2+ r=(r-1)(1 +2 + r),:i 1i ,r -1a可以仪,伦,B线性表示，这两个向量组等价,秩必相同18.计算下列矩阵的秩101-r广1101-1、0-1-111T0-1-1

24、110000300-402<00-402<00003>A > R(A)=4.A00°显然B中有2阶子式不等于且所有3阶子式等于0.秩(B)=2秩(A) =2广1-1210广1-1210、广1-1210'000-40T03001T03001030-41000-40000-40<03001<000-40<00000'610421917 R(A)=3.A >q0014、10014、10014、01025010250102500136T00136T00136023132800391800000<05628612061836

25、丿000°A > R(A)=3.10100、q0100、10100、q0100、01-10001_10001-10001-10001100T00-200T00-200T00-20000110001100001000010<01011<00111J<00011<00001JA > R(A)=5.19.讨论当 , a, b取什么值时下列方程组有解并求解| /.X1 X2 X3 = 1 (1) X<| - ,；“X2 X3 二2X1X2 - X3 :Z 112解 1& 1 =(九 +2® -1 )；T2 - 211九当工1时，有唯

26、一解。x1,x2二 ，x3九+ 2人+ 2-2 1 1当九=2时，A=1-211 1 -213 +(1 卄2)-2111-2：1-21-2T40003R(A)=2<R( A)=3,所以方程组无解当-=1时，元方程组变为一个方程X1+X2+X3=1. 令 X2X3为自由未知量取(X2 , X3) = (1,0),得 1=( -1,1,0).取(X2 , X3) = (0,1),得 2 = (-1,0,1).取X2 = X3=0,得特解0=(1,0,0).于是方程组去全部解为=o+k1什k2 2, k1, k2为任意数.(3)X1X2 2X3 二+ (扎一 1) x2 + x3 = 2 丸+

27、1)X1 +X2 +(九 +3)X3 =3九 + 312解：系数解列式D=入人一1 1=几3 k2 = k2(九一1 ).3(扎+1)扎 X+3当丰0且丰1时，有唯一解：(用Cramer法则)3 12 -92, X3 二 -14'23212 -93 3-159x12,x21a2 123x-| x2 2x3当1 =0时为-X2 X3 = 03x1 3X3 =33120、3120)A =0-110>0-110<3033丿003丿R(A)=2<R( A)=3,所以方程组无解4x1 x2 2x3 =1当九=1时为* Xt + x3 = 26x<i + x2 + 4x3

28、= 3<4121、012、广1012、A =1012>01-2-7、01-2-7e143丿<01-2一9丿<000一2丿R(A)=2<R( A)=3,方程组无解.axt x2 x3 =4 xt + bx2 + x3 =3+2bx2 + x3 =4a11解：系数行列式1b1=b(1a).12b1当0且1时,4b2ab -1b1-a、1 -2b1有唯一解：捲，x2 = ,x3b(1a) b若b=0,无解.”X1 十 X2 十 X3 = 4若a=1,方程组为x1+bx2+x3=3N +2bx2 +x3 = 41114、1 114、1114、A =1b13>0 b-

29、10-102b-20212b14丿2 2b 100丿<02b 100丿卩114、11 14 、卩01 2 '0_ 102r3+(2b-1)r20-1 0-2>0-10 -2T102b100丿<00 02-4b 丿1000 2 4b 丿若b=1/2, R(A)=2<R( A)=3,则方程组无解若b=1/2, R(A)=2<R( A)=2,方程组有无穷多解令X3为自由未知量，取X3 =0,得到特解° =(2,2,0).取X3 =1,得到导出组的基础解系为=(-1,0,1).于是线性方程组的全部解为=0 k , k为任意数.(1,0,0)取 X3.X4

30、.X5 = (0,1,0),(0,0,1)得基础解系为:12 3P卩卜=(1,一2,1,0,0) =(1,-2,0,1,0).=(1,一2,0,0,1)20.求下列齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解11111 、1 11110-1-1-5、解：3211-3T0-1-2-6T01226012260 12-600000433-b<0-1-2_6><00000 >X3.X4.X5为自由未知量.于是方程组的全部解为=k! ! k2 2 k3 3, k1,k2,k3为任意数1 珂-1,1,1,0,0)(2)广110-3-1、110-3-r广110-3-T1-12-10

31、0-2221T0-22214-263-40-661500009-3<24-24一7e2-210一51°0012一4710 121 0 1 0 26150 111 0 1-1026110 0 0 1 -0 0 0 1 -332 0 0 0 0 ?2 0 0 0 0即X1,X2,X5为基本，X3,X4为自由未知量取(x3,x4) =(1,0), (0,1)，得基础解系为即基础解系为(-1,11,0, -2)和(7,5,0,2,6),于是方程组的全部解为(X3,X4.X5)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，得到导出组的基础解系为巾-21-11 、1-21-11 、10

32、3-11、21-12-3T05-34-5011003-2-11-20444-500-84-5<2-51-22-1-100 >0-84一50100001012 -58 -% 5801x1x421令 X4M578 X5X2 = _X47xc 87X52 821X3X40,1得基础解系为：；雹方程组的全部解为：ki i k? 2, ki,k?为任意数.21.用基础解系表示出第一题(1),(4),(6)题中线性方程组的全部解.解：(1)其导出组的基础解系为=(1,1,0,1,-2),特解为 。=(1,0,0,0,-2).其全部解为:=0 k , k为任意数.(4)基础解系为1=(3,0,1

33、9,0,17,0),2=(0,-130-20,0,17),其全部解为：X=k11+k22,K,k2为任意数.其导出组的基础解系为=(5/6,-7/6,5/6,1),特解为0=(1/6,1/6,1/6,0).其全部解为:X=(X1,X2,X3,X4)=0 +k, k 为任意数22. a, b取什么值时，线性方程组有解，在有解的情形，求出一般解解：(11 1111、n11111 、in0-1_1-5-2'3211-3a0_1-2_2-6a -3012263A =01 2263012263T00000a433-1b<0_1-2_2-6b -5丿<00000b_2j由于方程组有解

34、=R(A)=R( A ),故有解=a=0, b=2.此时，X1,X2为基础未知量，X3,X4,X5为自由未知量.特解为0=(-2,3,0,0,0).依次取n=(1,-2,1,0,0), n=(1,-2,0,1,0), n=(5,-6,0,0,1).方程组的全部解为x=0+kin+k2rp+k3 n , ki,k2,k3为任意常数23.解：1-1000印、n-1000a1'01-100a201-100a2A =001-10a3001-10a30001-1a40001-1a4<-10001a5 000081+82+83 + 84 + 85 j_5_5因为 R(A) =4, R( A

35、)=5=、4=0. R( A )=4=、a 0 .i 4i 4_5故由有解判别定理，方程组有解二R(A)=R( A) = '、 a0.i 45有解时，即ai =0,矩阵化为最简阶梯 ti 110000100000100a-ia2a3a4a2a3a4a3 a4a4025.设n元齐次线性方程组系数矩阵的秩为r,证明方程组的任意 nr个线性无关的解都是特解为0=(a1+a2+a3+a4, a2+ a3+ a4, a3+a4,0),导出组基础系(只有一个自由求知数 X5)为n=(1, 1, 1, 1, 1 )。所以方程组的通解为 x=0+k n k为任意的数。2IH t是一个向量组且24.证明

36、：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系证明：设1,2,IH s是某齐次方程组的基础解系，而1,2, s 与 1,Jill等价.首先，由等价性，每一个 i都可由“2,1 s线性表出，从而每一个 i都是方程组的解.再者，由于两个向量组等价，所以方程组的任意解均可由向量组 1,'1 t线性表出又由条件知1,t线性无关，所以必有 S = t.从而1,t也是基础解系.一个基础解系证明：设系数矩阵为A,由于R(A)=r,故基础解系含有n-r个向量n, n,，n-r (r <n ). 设Z, Z,Z-r是任意n-r个线性无关的解向量，对于任意一个解，则向量组Z, ZZ-r可由基础解系n

37、, n,，n-r线性表出，由定理 2知，Z, Z,Z-r,线性相关，而Z,Z,Z-r线性无关，所以 可由Z1, Z，Z-r线性表出，所以Z, Z，,Z-r是基础解系 26.证明：如果1, 2,，t是一线性方程组的解，那么U1 1 U2Ut t也是解，其中U1+U2+ +Ut=1.证明：(1)若1, 2,., t是一个齐次线性方程组的解，则它们任意的线性组合仍是原方程组 的解,从而 5 n+U2 n Utn也是解，其中 U1+U2+ut=1.(2)若1, 2,., t是一个非齐次线性方程组Ax=b的解，则A厂b, i =1,2,.,t.所以A(Ui 1U2 2 丨IIUtt)二U1A1U2A2

38、川Ut At=(U氏-_Ut) b = b.所以U1 1 U2Ut t也是解.27.多项式f (x) =2x-3x2 X 3与g(x)=x3xT在，取什么值 时有公共根?R(f,g)二2-33000-3-&10 002-33000-3-&1 0002-3扎3000-3110九10010k10 0010&10010&1 00010Z100132扎0解：f(x)和g(x)有公共根等价于f(x)和g(x)有非常数的公因式，即结式 R(f,g)=O.珂 2)(2 214 -13) =(2)(-7 -5 3)-75 3-7 - 5 3一2或'时，f(x)和g(x)

39、有公共根.28.解下列联立方程解: (1)=(-1)3+15-6x25x -1600x + 5005-6x5x2 _1600-5x2+ 5x + 41-x-12x2 x401-x 101x12x2 x 4012x2 -x 4R. f.g 二直接展开方程相加2-6x2 9x 9 (2x 一 x 4)-x 5-x -12-5x + 5x + 42x2 x44=32 X -96 X3+96 X-64=3243222(X -3 X + X +3 X-2)=32( X -1)( X -3 X+ 2)2=32( X-1)( X+1)( X-2)有4个解是Xi = X2=1,用X=1代入在方程组得X 3=2

40、， X 4=-1。2 -工5y 6y -11 = 0x 二12，有公共解y=_1，即y _2y _3二0y 一1用y=2代入在方程组得用X =-1代入在方程组得5y2-12y 0有公共解“2,即2y2_3y_3=oy=T2 -5y 6y T1 = 0x = _1有公共解y =1,即y2-1=0y = 1x =1rJ =2$ = 1y = -1JX = -1即得到三组解y =1补充题1. 设向量 可由1,2，,r线性表示，证明，表示法唯一的充要条件是1,2,r线性无关。证明：由条件，设 上kl ：v+k2：2+kr：r必要性：首先若 可由1,2,r唯一线性表示，贝U 1,2,r中没有零向量否则不

41、妨设1=0,则 还有另一个表达式=(k1 + 1) ： 1 + k2 ： 2+kr： r.表达式唯一矛盾.所以1,2，,r中没有零向量.若1,2，儿线性相关，存在不全为零的数l1,l2,.,lr使得1仁 412： 2 亠 Tr ： r =0.不妨假设110，则:'二口22川川mj r代入(1)式，得存在另一个表达式=化2m2)： 2 血 k) r与表示法唯一矛盾.所以必有 1, 2,r线性无关. 充分性：设 1,2,r线性无关，若-=kr1 k2： 2kr ： r 二 l< 22 r： r则(k1-11)1+( k2-12)2+(kr-1r)r=0,由(k2-12)=(kr-|r)=0,即 ki=1 i, i = 1,2,., r.2.设1,2,r线性无关可得(k1-11)=1,2，'r是一组线性无关的向量,rajj'Xj,i =1,2，r.证i =1明,1,2,r线性无关的充要条件是aiia21ai2a22a1ra2rar1a r2a