《基本不等式》参考课件

1、3.4 基本不等式： 上图是在北京召开的第上图是在北京召开的第2424届国际数学家大会的会标，届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗时它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能暗时它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ “ “风车风车”中有哪些相等关系中有哪些相等关系和不等关系？和不等关系？abS21直角三角形22Sab正方形ABCD4SS正方形ABCD直角三角形abba222 不等式：不等式： 一般地，对于任意实数

2、一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDababba222如果如果aa0,b0,b0 0 ，用，用 分别代替分别代替a,ba,b. .我我们将得到什么结果？们将得到什么结果？ba,abba2)0, 0(baabba2证明基本不等式：证明基本不等式：)0, 0(ba要证要证：只要证只要证：要证，只要证要证，只要证要证，只要证要证，只要证abba2abba202abba0)(2ba式显然成立式显然成立.当且仅当当且仅当a=b时，时， 中的等号成立中的等号成立. 在圆中，在圆中，ABAB是圆的直径，点是圆的直径，

3、点C C是是ABAB上一点，上一点，AC=aAC=a，BC=b.BC=b.过点过点C C作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦DEDE，连接，连接ADAD、BD.BD.你能利用这个图形，得出不等式你能利用这个图形，得出不等式 的几何解释吗？的几何解释吗？abba2abEDBOACab2ab例例 用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100100m m2 2的矩形菜园，问这个的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？笆是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x xm m，宽为，宽为y ym m，则，则xyxy=100=10

4、0，篱笆的长为篱笆的长为2(2(x+yx+y)m. )m. 等号当且仅当等号当且仅当x=y时成立，此时时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短，最短的篱笆是40m. 例例 一段长为一段长为36m36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x xm m, ,宽为宽为y ym m, , 则则2x+2y2x+2y=36, =36, 即即x

5、+yx+y=18=18，矩形菜园的面积为，矩形菜园的面积为xyxy m m2 2 当且仅当当且仅当x=y,即即x=9，y=9时等号成立。时等号成立。 因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为9m、宽为、宽为9m时，菜园的面时，菜园的面积最大，最大面积是积最大，最大面积是81 m2 。例例. .某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为积为4800m4800m3 3, ,深为深为3m,3m,如果池底每如果池底每1m1m2 2的造价为的造价为150150元，池壁每元，池壁每1m1m2 2的造价为的造价为120120元，问怎样设元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？3xy（1 1）两个正数积为定值，和有最小值。）两个正数积为定值，和有最小值。（2 2）两个正数和为定值，积有最大值。）两个正数和