建筑结构力学6

1、建筑结构力学四川理工学院宜宾教区第六章 超静定结构力法力法第八章第八章6.1 超静定结构及其超静定次数超静定结构及其超静定次数 一、定义：超静定结构是仅用静力平衡条件不能确定全部未知力 的结构;二、特征：超静定结构是具有多余约束(联系)的几何不变体系。超静定结构去掉多余联系后，成为静定结构。超静定结构计算方法：力法、位移法(力矩分配法,矩阵位移法)X11XX2BACqq1XX2(b)BCpqAAqpCB(a)超静定结构超静定结构静力特征：几何特征： 要求出超静定结构的内力必须先求出多余约束的内力，一旦求出它们，就变成静定结构内力计算问题了。所以关键在于解决多余约束的内力。一个结构有多少个多余约

2、束呢？3二、超静定次数二、超静定次数 用力发计算超静定结构时，首先必须确定多余约束或多余未知力的数目。多余约束或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数。P1X1XPQA1X1X2X2X1次超静定2次超静定切断一根链杆等于去掉一个约束去掉一个单铰等于去掉两个约束4P1X1X2X2X3X3X3次超静定切断一根梁式杆等于去掉三个约束P1次超静定在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束1X1X5134次超静定6例例1 1判断图示结构的超静定次数。判断图示结构的超静定次数。x1x2x3x5x7x4x4x6x7x7x1x2x3x5x6 6.2 6.2 力法的基本原理与方法力法的基本原理与方法 BPAEI=

3、常数L/2L/2力法的基本结构：静定结构；力法的基本未知量：多余约束力；力法的基本方程：位移协调方程。 图示连续梁，有一个多余约束。若去掉多余约束铰支座B，代之以多余约束力X1，则得到一静定结构,该静定结构与原结构受力等效。 该静定结构还应满足与原结构变形协调的条件。 解方程求出X1，则原超静定问题转化为静定问题求解。0111111PPXAPB11AB1x1x11APB7力法的分析力法的分析1EIqq1XP11X11一、基本思路一、基本思路q（1）平衡条件（a）（b）（c）（d）如图（b）当 取任何值都满足平衡条件。1X（2）变形条件011p10X111p1力法基本未知量、基本体系、基本方程。

4、=2ql21X181X11P1q（b）（c）EIq1X（a）l2、力法基本体系悬臂梁1、力法基本未知量1X3、力法基本方程0Xp11111X11111111X0XP11114、系数与自由项11P1,PMl1MEI8qldxEIMM4P1P1EI3ldxEIMM311115、解方程0EI8qlXEI3l413ql83X1EIq1Xlql83X16、绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法）（1）8ql3EIql8ql216ql2M2ql21X1PM1Ml（2）P11MXMM1X8ql329基本体系有多种选择；1EIq（a）q1X（b）1Xq0XP1111qp11X111Xqq1X1Xp1)111X（

5、c）10二、多次超静定结构二、多次超静定结构PP1X2X（1）基本体系 悬臂刚架（2）基本未知力 21X,XPP1P21X11121（3）基本方程00210022221211212111PPXXXX1X22212（4）系数与自由项（5）解力法方程21XX（6）内力P2211MXMXMM11PP2X1X2X同一结构可以选取不同的基本体系P1X2XP1X00210022221211212111PPXXXX12n次超静定结构0X.XX.0X.XX0X.XXnPnnn22n11nP2nn2222121nPnn12121111）ij,iP的物理意义；2）由位移互等定理jiij；3） 表示柔度，只与结构本

6、身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；ij4）柔度系数及其性质nn2n1nn22221n11211.对称方阵系数行列式之值0主系数0ii副系数000ij5)最后内力Pnn2211MXM.XMXMMij位移的地点产生位移的原因13力法示例力法示例一、刚架一、刚架3m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I12341X2X1X2X1X2X1、基本体系与基本未知量：21X,X2、基本方程 00210022221211212111PPXXXX143m3m3m3mq=1kN/mP=3kNI2I2I12341X2X18279mkNMP1X11X2663 mM166 mM23、系数与 自由项EI20

7、7dxEIMM1111EI144dxEIMM2222EI135dxEIMM212112EI702dxEIMMP1P1EI520dxEIMMP2P2154、 解方程 2.0520X144X1351.0702X135X2072121kN11.1XkN67.2X215、内力P2211MXMXMM2.6721.333.564.335.66mkNM2.673.331.111.93.33kNQ1.113.331.9kNN16aaP123456P1X1XEA=c1X11X11212121211NPPPPP20（1）基本体系与未知量1X（2）力法方程0XP1111PN（3）系数与自由项aEAlNEAEAlN2

8、2211212111223211111PaEAlNNEAEAlNNPPP20二、超静定桁架二、超静定桁架aaP0.396P0.396P0.396P-0.604P-0.854P-0.56PNP1X1X思考：思考：若取上面的基本体系，力法方程有没有变化?21力法方程：?1111PXPX1111EAaX21（4）解方程PPX854.04222231（5）内力PNXNN11022231)222(11PaEAXaEA8.4 结构对称性的利用结构对称性的利用0.0.0.22112222212111212111nPnnnnnPnnPnnXXXXXXXXX0.0022221111nPnnnPPXXX一、对称性

9、的利用一、对称性的利用对称的含义：1、结构的几何形状和支座情况对某轴对称；2、杆件截面和材料（E I 、EA）也对称。1I1I2I2X2X3X3X1X1X42X1X21X1X11M2M3M000333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXX000333322221211212111PPPXXXXXP5 .0P5 .0P5 .0P5 .0PM PM 1X33XP5P5 .0P5 .0PM P5 .0P5 .0PM 60022221211212111PPXXXX03333PX正对称荷载正对称荷载作用下，对作用下，对称轴截面只称轴截面只产生轴力和产生轴力和弯矩。

10、弯矩。反对称荷载反对称荷载作用下，对作用下，对称轴截面只称轴截面只产生剪力。产生剪力。1I3I2I1I2I1 1）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下1I3I2I不考虑轴向变形不考虑轴向变形条件下，可简化条件下，可简化为：为：1I2I1I23I2I2 2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下1I23I2I1I23I2I1I2Il23I71I1I2IPP/2P/2P/2P/2=+P/21XP/21X1MPM8II2IPII2I P/2 P/2I P/2II2I P/2 P/2 P/2II没有弯矩没有弯矩2 2次超静定次超静定359M1图例1 作图示刚架的内力图。EI1=3EI，EI2=2EI。 解:

11、1. 取半结构： 40KN2 0 K N2 0 K N2 0 K N2 0 K N6m6mEIEI12EIEIEIEI2半结构20KN基 本 结 构20KNx11X =120KNpM图1203 M图(KN.m)663. 作内力图： Q图(KN) N图(KN)66542 018 2. 用力法求解:;01111PX;30)63(21)32321(312311EIEIEI;5403612021211EIEIP)(181111kNXP542 0181840二、广义未知力的利用二、广义未知力的利用用于原体系与基本体系都是对称的，但未知力并非对称或反对称。1Y2Y1X1X2X2X1X21X20022221

12、211212111PPXXXX同向位移之和反向位移之和1X11X11111 2222 212211XXYXXYPMXMXMM221110例例2 2、试确定图示刚架的弹性中心。、试确定图示刚架的弹性中心。2X2X3X1X1X2EIEIEI8m4mxymEIEIEIEI667.238)41(2821)241(24821adsEIdsEIya1118P=20KN6m6m3mI11I1II22I1= 6IEA=88EA= 例 某水电站厂房结构如图示，求结构受吊车水平制动荷载P=20KN作用时的弯矩图。0022221211212111PPXXXX用力法计算铰接排架用力法计算铰接排架 1、计算简图计算简图

13、：8m15m6m6m3m基本结构Px12x 原结构： 2、力法计算：66M 图22X =193 3、求系数、自由项：221115043266621132666211EIEIEI2212257621313932693193326321232333212EIEIEI212212126163139326211EIEI1X =11M 图93M图12013.88 5、作弯矩图：PMXMXMM221101P222252016313932120211EIEIP4、求基本未知量： 解方程得：X1=1.157KN X2=4.628KNpM 图P6.9434.7113.8878.388.5 8.5 支座移动和温度

14、改变时的内力计算支座移动和温度改变时的内力计算一、支座移动时的计算一、支座移动时的计算hlab1X2X1X11lhlh1Rhl1l11X212Rabc1c2baccXXXX222212112121110“c”1基本方程的物理意义？基本方程的物理意义？基本结构在支座位移和基本未知力共同作用下，在基本未知力作用方向上产生的位移与原结构的位移完全相等。1X11lhlh1Rhl1l11X212Rabc1c2ccXXXX222212112121110cRiclhbablha1c1lbblc122211XMXMM（1 1）等号右端可以不等于零）等号右端可以不等于零（2 2）自由项的意义）自由项的意义（3

15、3）内力仅由多余未知力产生）内力仅由多余未知力产生（4 4）内力与）内力与EI 的绝对值有关的绝对值有关讨论讨论: :2二、温度内力的计算二、温度内力的计算1t1t2t1t1t2t1X2X1t1t2tt1t20022221211212111ttXXXX画出 图计算2121N,N,M,Mt2t1, MNithtt2211XMXMM（1 1）自由项的意义）自由项的意义（2 2）内力仅由多余未知力产生）内力仅由多余未知力产生（3 3）内力与）内力与EI 的绝对值有关的绝对值有关讨论讨论: :3aa01t01t102t0t10t110t21X1X1a 例例. . 计算图示刚架在温度作用下的内力，各杆计

16、算图示刚架在温度作用下的内力，各杆EI 等于常数等于常数, ,矩形截面梁高矩形截面梁高为为h，材料温度胀缩系数为材料温度胀缩系数为 。1X11M11N01111taaaahatEIa343111341521111haaEIXt11XMM 4超静定结够的特性超静定结够的特性超静定结构与静定结构对比，具有以下一些重要特性。1、对于静定结构，除荷载外，其他任何因素如温度变化、支座位移等均不引起内力。 超静定结构的这一特性，在一定条件下会带来不利影响，例如连续梁可能由于地基不均匀沉陷而产生过大的附加内力。但是在另外的情况下又可能成为有利的方面。例如同样对于连续梁，可以通过改变

17、支座的高度来调整梁的内力，以得到更合理的内力分布。 4、超静定结构由于具有多余联系，一般地说，要比相应的静定结构刚度大些，内力分布也均匀些。3、超静定结构在多余联系被破坏后，仍能维持几何不变；而静定结构在任何一个联系被破坏后，便立即成为几何可变体系而丧失了承载能力。因此，从军事及抗震方面来看，超静定结构具有较强的防御能力。2、静定结构的内力只按平衡条件即可确定，其值与结构的材料性质和截面尺寸无关。而超静定结构的内力单由平衡条件则无法全部确定，还必须考虑变形条件下才能确定其解答，因此其内力数值与材料性质和截面尺寸有关。图11-37互等定理互等定理由功的互等定理有：由功的互等定理有：111221r

18、r1221rr6.3 位移法的基本概念位移法的基本概念 前面介绍的力法是以多余约束反力为基本未知量，通过变形条件建立力法方程，将这些未知量求出，然后通过平衡条件计算结构的其它反力、内力和位移。 位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，通过平衡条件建立位移法方程，将这些位移求出，然后，利用位移和内力之间的关系，进一步求出结构的内力和位移。 为了说明位移法基本概念，现在来研究图a所示刚架。 首先，附加一个约束使结点B不能转动（图b），此时结构变为两个单跨超静定梁。由于附加约束阻止结点B的转动，故在附加约束上会产生一个约束力矩 1631lFRBB 然后，为了使变形符合原来的实际情况，必须转动附加约束

19、以恢复此时在附加约束上产生约束力矩BhEIlEIR211143 经过上述两个步骤，附加约束上产生约束力矩应为R11和R1P之和。由于结构无论是变形，还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B处无附加约束，亦无约束力矩，故有01634321FlhEIlEIBB解方程可得出 将所得的结果再与图b叠加，即得原结构（图a）的解。由这个简单的例子可知，位移法是以结点位移作为基本未知量，通过增加约束的方法，将原结构拆成若干个单跨超静定梁来逐个分析，再组合成整体，利用力和力矩的平衡方程求解未知量的。9.1 9.1 位移法的基本原理位移法的基本原理ABCP荷载效应包括：荷载效应包括：内力效应：内力效应：M、Q

20、、N；位移效应：位移效应：AABCP附加附加刚臂刚臂附加刚臂限制结附加刚臂限制结点位移，荷载作点位移，荷载作用下附加刚臂上用下附加刚臂上产生附加力矩产生附加力矩施加力偶使结点产施加力偶使结点产生的角位移，以实生的角位移，以实现结点位移状态的现结点位移状态的一致性。一致性。ABCABCP实现位移状态可实现位移状态可分两步完成：分两步完成：分析：分析：1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上）结点位移计算方法

21、：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。，按此可列出基本方程。1）在可动结点上附加约束，）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；附加约束上产生附加约束力；2）在附加约束上施加外力，）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一致的结使结构发生与原结构一致的结点位移。点位移。P12345iBBBB iuiNiiil ,AABBiB iisinu选择选择基本基本未知未知量量 iiiiulEAN iisinuiiiisinlEANPsinNiiPsinlEAi2iii2iisinlEAP物理条件

22、几何条件平衡条件变形条件位移法基本作法小结位移法基本作法小结: :（1 1）基本未知量是结点位移；）基本未知量是结点位移；（2 2）基本方程的实质含义是静力平衡条件；）基本方程的实质含义是静力平衡条件；（3 3）建立基本方程分两步）建立基本方程分两步单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量; ;（4 4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。AAABABMABCqPAABMCPA关于刚架的结点未知量关于刚架的结点

23、未知量1MABMBA等截面杆件的单元分析等截面杆件的单元分析一、由杆端位移求杆端弯矩一、由杆端位移求杆端弯矩（1 1）由杆端弯矩）由杆端弯矩 BABAABMM和引起的和ABMABMBAlABMABMBA利用单位荷载法可求得利用单位荷载法可求得BAABBAABAMMEIllMlMEI61313132211设设ilEIBAABAMiMi6131同理可得同理可得BAABBMiMi31611 杆端力和杆端位移的正负规定杆端力和杆端位移的正负规定 杆端转角杆端转角A A、B B ，弦转角弦转角 / /l l都以顺时针为正。都以顺时针为正。 杆端弯矩对杆端以顺时针为正杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支

24、座以逆时针为正。对结点或支座以逆时针为正。E IABE IE IM MABABM MBABAl l ABM MABABM MBABABAABAMiMi6131BAABBMiMi3161 AB（2 2）由于相对线位移）由于相对线位移 引起的引起的 A A和和 B BlBA以上两过程的叠加以上两过程的叠加lMiMiBAABA6131lMiMiBAABB3161我们的任务是要由杆端位移求我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：杆端力，变换上面的式子可得：)2(12662lililiQQBABAAB)1 (642624liiiMliiiMBABABAABAB用力法求解单跨超静定梁用力法求

25、解单跨超静定梁X1X21/l1/lX2=112M1MX1=11BCACXXXX22221211212111221133221EIllEI211263121EIllEICCl21BAlXEIlXEIllXEIlXEIl21213663lEIi liiiXliiiXBABA64262421可以将上式写成矩阵形式可以将上式写成矩阵形式BAABBAABlilililiiiliiiQMM212666426241234AMAB几种不同远端支座的刚度方程几种不同远端支座的刚度方程（1 1）远端为固定支座）远端为固定支座AMABMBA因因 B = 0，代入代入(1)(1)式可得式可得liiMliiMABAAA

26、B6264（2 2）远端为固定铰支座）远端为固定铰支座因因MBA = 0，代入代入(1)(1)式可得式可得liiMAAB33) 1 (642624liiiMliiiMBABABAABAMABMBA（3 3）远端为定向支座）远端为定向支座因0,0BAABBQQ代入（代入（2 2）式可得）式可得Al21ABAAABiMiM)2(12662lililiQQBABAABlEIlEIlEI由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA4i2i=1ABAB1212lili6li6li6AB10li 3AB=13i02

27、3liAB=1ii0li 3二、由荷载求固端反力二、由荷载求固端反力mABEIqlABQBAQ82qlmABqlQqlQBAAB838582qlmBAqlQqlQBAAB8583EIqlABQBAQmBAABBAABQlililiQ21266BABABAABBAABmliiiMmliiiM642624 在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：位移方程）：位移法的一般分析步骤位移法的一般分析步骤一、超静定结构计算的总原则一、超静定结构计算的总原则: : 欲求超静定结构先取一个基本体系欲求超静定结构先取一个基本体系,

28、,然然后让基本体系在受力方面和变形方面与原后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。结构完全一样。 力法的特点：力法的特点：基本未知量基本未知量多余未知力；多余未知力；基本体系基本体系静定结构；静定结构；基本方程基本方程位移条件位移条件 （变形协调条件）（变形协调条件） 位移法的特点：位移法的特点：基本未知量基本未知量 基本体系基本体系 基本方程基本方程 独立结点位移独立结点位移平衡条件平衡条件？一组单跨超静定梁一组单跨超静定梁二、基本未知量的选取二、基本未知量的选取2 2、结构独立线位移：、结构独立线位移：（1 1）忽略轴向力产生的轴向变形）忽略轴向力产生的轴向变形-变形后的曲杆与原

29、直杆等长；变形后的曲杆与原直杆等长；（2 2）变形后的曲杆长度与其弦等长。）变形后的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。 CDABCD12每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设： 1 1、结点角位移数：、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。位移法的基本未知量位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。 1. 结点角位移 图示连续梁，取刚结点B和C的角

30、位移B和C作基本未知量，用Z1和Z2表示。 可见，刚结点的数目即为结点角位移数目。 2. 结点线位移 在几何组成分析中曾讨论过，平面杆系的一个结点在平面内有两个自由度，就是说，平面内一个结点有两个线位移。图示刚架，有三个结点D、E、F，共有六个结点线位移。 为了减少未知量，使计算得到简化，作如下假设（1）忽略各杆轴向变形 （2）弯曲变形后的曲线 长度与弦线长度相等。原有的六个结点线位移归结为一个独立的结点线位移。 可见独立的结点线位移的数目可以用直观的方法来判定. 独立的结点线位移的数目不易直观判定时可以用几何组成分析的方法来判定。将所有刚结点（包括固定端支座）都改为铰结点，此铰结体系若成为可

31、变体系，则原结构有结点线位移，使该铰接体系成为几何不变体系需添加的链杆数就等于原结构的独立结点线位移的数目。如图b所示。d c 图c结构有两个独立结点线位移,如图d所示。线位移数也可以用几何方法确定。线位移数也可以用几何方法确定。140 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。的几何不变体系，所需增加的链杆

32、数，即为原结构位移法计算时的线位移数。8m4mii2iABCD3kN/mF1PABCDF2PABCD1F11F21ABCD2F12F22221F11+F12+F1P=0(1a)F21+F22+F2P=0(2a)三、选择基本体系三、选择基本体系四、建立基本方程四、建立基本方程ili5 .161.5iili75.033(2i)2i4i2ABCDF12F22F11+F12+F1P=0(1a)F21+F22+F2P=0(2a)ABCD1F11F21ii2i=1k11k21=1k12k22=0.(1)=0.(2)k111+ k122+F1Pk211+ k222+F2Pk21ii5 . 14604i6ik

33、111.5ik12k2243i163ik11=10ik21= -1.5ik12= -1.5iik161522F1PABCDF2P4kNm4kNmMPF2P040F1P-6F1P=4kNmF2P=-6kN位移法方程：位移法方程：0616155 .1045 .1102121iiiiii1580.71737.021六、绘制弯矩图六、绘制弯矩图4.4213.625.691.4M(kNm)PMMMM2211ABCD五、计算结点位移五、计算结点位移k11 1+ k12 2+ + k1n n+F1P=0 k21 1+ k22 2 + + k2n n+F2P=0 kn1 1+ kn2 2+ + knn n+F

34、nP=0 nnnnnnkkkkkkkkk.212222111211121=1k11k21k12k222=1k110+k21 1 k21=k12= k12 1+k22 0ki j=kj i 具有具有n n个独立个独立结点位移的结点位移的超静定结构：超静定结构：例例1 1、试用位移法分析图示刚架。、试用位移法分析图示刚架。（1 1）基本未知量基本未知量（2 2）基本体系）基本体系计算杆件线性刚度计算杆件线性刚度i，设设EI0=1，则则1440IElEIiABABAB21,43,1,1CFBECDBCiiii4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4

35、m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0 1 23 1、 2、3 1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3 3）位移法方程）位移法方程k11 1+ k12 2+ k13 3+F1P=0 k21 1+ k22 2+ k23 3+F2P=0 k31 1+ k32 2+ k33 3+F3P=0 （4 4）计算系数：）计算系数：k11、k12、k13、k21、k22、k23、k31、k32、k333241.53k11=3+4+3=10k12=k21=2k13=k31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2 2=1k22=4+

36、3+2=9k23=k32=? 3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8k33=(1/6)+(9/16)=35/48k31=k13= 9/8k32=k23= 1/2（5 5）计算自由项：）计算自由项：F1P、F2P、F3P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8) 2042=40(1/12) 2052=41.7F1P=4041.7= 1.7F2P=41.7F3P=0（6 6）建立位移法基本方程：建立位移法基本方程：04835218907 .41219207 .189210321321

37、321（7 7）解方程求结点位移：解方程求结点位移：（8 8）绘制弯矩图绘制弯矩图PMMMM221194.194.494.0321ABCDFEM图图（kNm）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97（9 9）校核）校核结点及局部杆结点及局部杆件的静力平衡件的静力平衡条件的校核。条件的校核。无侧移刚架的计算无侧移刚架的计算 如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称 为无侧移刚架。为无侧移刚架。ABC3m3m6mEIEIP=20kNq=2kN/mBqBEIPBEIMBAMABMBC1、

38、基本未知量基本未知量B2、固端弯矩固端弯矩mkNPlmBA1586208mkNmAB15mkNqlmBC9823、列杆端转角位移方程列杆端转角位移方程152BABiM154BBAiM93BBCiM6EIi 设设4、位移法基本方程（平衡条件）位移法基本方程（平衡条件）BCBBCmliiM3316.72 15.8511.573.21M MBABAM MBCBCq q B BEIEIP P B BEIEIM MBABAM MABABM MBCBC3 3、列杆端转角位移方程、列杆端转角位移方程152BABiM154BBAiM93BBCiM4 4、位移法基本方程（平衡条件）、位移法基本方程（平衡条件）i

39、iiMMMBBBBCBAB7609315400mkNiiMAB72.1615762mkNiiMBA57.1115764mkNiiMBC57.1197635 5、各杆端弯矩及弯矩图、各杆端弯矩及弯矩图M图图mkN (1)(1)变形连续条件变形连续条件: :在确定基本未知量时得到满足；在确定基本未知量时得到满足；(2)(2)物理条件物理条件: : 即刚度方程；即刚度方程；(3)(3)平衡条件平衡条件: : 即位移法基本方程。即位移法基本方程。超静定结构必须满足的三个条件超静定结构必须满足的三个条件: :例例1 1、试用位移法分析图示刚架。、试用位移法分析图示刚架。4m4m5m4m2mq=20kN/

40、mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量基本未知量 B、 C（2）杆端弯矩杆端弯矩Mi j408420822qlmBA7 .41122qlmBC7 .41CBm计算线性刚度计算线性刚度i，设设EI0=1，则则1440IElEIiABABAB21,43, 1, 1CFBECDBCiiii4033BBABABBAmiM7 .4124CBBCM7 .4124BCCBMCCDM3BBBEM3434BBEBM5 .1432CCCFM2214CCFCM212(3)(3)位移法方程位移法方程0000CFCDCBCBEBCBABMMMMMMMM4033BBABABBAmiM7 .4124C

41、BBCM7 .4124BCCBMCCDM34m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。07 .419207 .1210CBCB.9 .467 .4189.4215.147 .41245 .434015.134033mkNMmkNmiMCBBCBBABABBA(4) 解方程解方程89.415.1CB( (相对值相对值) )(5)杆端弯矩及弯矩图杆端弯矩及弯矩图mkNMmkNMCCCFBBBE8 .9)89.4(2221445.315.133434AB CDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M图图)(mkN 单跨超静定梁的杆端力单跨超

42、静定梁的杆端力 一、杆端位移和杆端力的正负号规定 图示为一等截面直杆AB的隔离体，在位移法中杆端位移和杆端力 ，采用以下正负号规定。（1）杆端位移杆端角位移A、B以顺时针方向为正；杆两端相对线位移 使杆产生顺时针方向为正，相反为负。 （2）杆端力杆端弯矩MAB、MBA对杆端以顺时针方向为正；杆端剪力FQAB、FQBA的正向同前。在图中，杆端位移和杆端力均以正向标出。 二、荷载引起的杆端力 对于单跨超静定梁仅由荷载作用而产生的杆端力，称为固端力。MF表示固端弯矩； 表示固端剪力。对于各种超静定梁，当其上作用某种形式的荷载时，用力法可计算出固端力，由于固端力是只与荷载形式有关的常数，所以称为载常数

43、。表22-1列出了常见超静定梁的载常数。位移法计算时可直接查用。FQF2121ql2121qlql21ql21等截面单跨超静定梁的载常数 编号 简图及弯矩图 杆端弯矩 杆端剪力 MAB MBA FQAB FQBA FPlF81lF81F21F21FP22labF22lbaFlalbF2122lblaF2122281ql0 ql85ql831 2 3 4 编号 简图及弯矩图 杆端弯矩 杆端剪力 MAB MBA FQAB FQBA 5 6 7 8 FPlF163F1611F1650 FP2222lblbF32223lblbF3223lalaF0 M21M lM23lM23231ql261qlql

44、0 编号 简图及弯矩图 杆端弯矩 杆端剪力 MAB MBA FQAB FQBA 9 FPallaF22laF22FP 0 三、杆端位移引起的杆端力 图a为等截面两端固定梁，固定端A发生单位角位移，抗弯刚度EI，用力法求其杆端力为iMAB4liFAB6QiMBA2其中lEIi 称为线刚度。 由单位位移引起的杆端力是只与梁的几何尺寸和材料性质有关的常数，所以称为形常数。表22-2列出了常见超静定梁的形常数，位移法计算时也可直接查用 当单跨超静定梁受到各种荷载以及支座位移的共同作用时，可依表22-1、表22-2中结果，叠加各对应项杆端力即可（代数和）。例如，图为两端固定梁，其上作用有均布荷载q，梁两

45、端的角位移分别为A、B，相对线位移为，它们都是顺时针方向，其杆端弯矩为126421262422qlliiiMqlliiiMBABABAAB由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。4i2i=1ABAB1212lili6li6li6AB10li 3AB=13i023liAB=1ii0li 3位移法的典型方程和计算实例位移法的典型方程和计算实例一、位移法的典型方程以图a所示刚架说明在一般情况下如何建立位移法的方程。此刚架具有两个基本未知量，基本结构图b所示。位移法的基本体系如图c所示基本体系中各杆的受力和变形情况与原结构中对应杆件的受力和变形情况完全相同 单独作用

46、相应的约束反力为 0021RR根据叠加原理，把基本体系中的总约束反力R1和R2分解成几种情况分别计算： （1）单位位移 单独作用:相应的约束反力 11Z11r21r（图a） （2）单位位移 单独作用:相应的约束反力为 12Z12r22r（图b） （3）荷载单独作用:相应的约束反力为 1R2R（图c） 叠加以上结果，得2222121212121111RZrZrRRZrZrR即得位移法基本方程 0022221211212111RZrZrRZrZr对于具有n个基本未知量的结构，作同样的分析，可得位移法基本方程如下： 00022112222212111212111nnnnnnnnnnRZrZrZrRZ

47、rZrZrRZrZrZr式中，rii基本结构上，由于单位结点位移Zi1的作用，引起第i个约束上的约束反力，称为主系数。主系数恒为正。 rij基本结构上，由于单位结点位移Zj1的作用，引起第i约束上的约束反力，称为副系数。副系数可正，可负也可为零。根据反力互等定理有 jiijrrRip基本结构上，由于荷载作用时，在第i个约束上引起的约束反力，是方程中的常数项，称为自由项。可正，可负，也可为零。上述方程组是按一定规则写出，且具有副系数互等的关系，故通常称为位移法的典型方程 MZMZMZMMnn2211小小 结结1 1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程

48、；2 2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；、单元分析、建立单元刚度方程是基础；3 3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。外力矩。ABCDqqPMMMCBMCD 2.侧移刚架的计算 有侧移的刚架一般是指既有结点角位移，又有结点线位移的刚架。下面通过例题说明怎样用位移法计算这种刚架。例例 用位移法作图a所示刚架的内力图 解 （1）选取基本体系设刚结点C处的角位移为Z1，结点D的水平线位移为Z2。其基本体系如图b所示。（2）建立位移法典型方程0022221211212111RZrZrRZrZr（3）求系数和自由项分别作出 和

49、MP图，如图c 、d、e所示。求系数和自由项如下 1M2M在图c取刚结点C为隔离体，由力矩平衡条件 得 r11 4i +6 i 10 i 截开有侧移的柱AC、BD的柱顶，取出柱顶以上横梁CD为隔离体。 0CM0 xFr21 1.5i同理，由图d中的结点C和横梁CD的平衡条件，得 r12 1.5i iiir937.0475.04322由图e中的结点C和横梁CD的 平衡条件，得01RkN152R（4）求基本未知量Z1、Z20159375.05 .105 .1102121iZiZiZiZiZ158.31iZ05.212 （6）作M图MZMZMM2211利用叠加公式 计算杆端弯矩 mkN79.3520

50、05.2143mkN95.18158.36mkN94.1805.2123158.34mkN26.2505.2123158.32iiMiiMiiiiMiiiiMBDCDCAAC作M图，如图22-16f所示AEIlQABQBA复习角变位移方程中的杆端剪力：BAABAABAABQliliQQliliQ223333ABCD1iiiqqQBAQDC00DCBAQQx23liQDC08362qlliiql163qlliQBA8332其中其中绘制弯矩图的方法：绘制弯矩图的方法：（1 1）直接由外荷载及剪力计算；）直接由外荷载及剪力计算；（2 2）由角变位移方程计算。）由角变位移方程计算。1658163322

51、3qlqliqllimliMABAB16332qlliMCDABCD1652ql1632ql有侧移刚架的计算有侧移刚架的计算Ph1h2h3I1I2I3例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。解：解：1 1）基本未知量：）基本未知量：2 2）各柱的杆端剪力）各柱的杆端剪力侧移刚度侧移刚度J=3i/h2，则：则：Q1=J1， Q2=J2， Q3=J3Q1+Q2+Q3=PJ1+J2+J3=PiJPPQ1Q2Q3iihJPJM=QihiiiJPJQP柱顶剪力：柱顶剪力：柱底弯矩：柱底弯矩：JhPJ11JhPJ33JhPJ223 3）位移法方程位移法方程X=0

52、M结点集中力作为各柱总剪力，按各结点集中力作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度分配给各柱。再由反柱的侧移刚度分配给各柱。再由反弯点开始即可作出弯矩图。弯点开始即可作出弯矩图。ABE IlQABQBAABBABABAABBAABQlililiQQlililiQ221266126600DCBAQQx其中其中2122qlliQBA212liQDCiqlqlli48022432lABCDiii1=qq复习角变位移方程中的杆端剪力：绘制弯矩图绘制弯矩图22456qlmliMABAB22416qlmliMBABA.M（ql2）2412458181QDCQBABMABQABMBAQBABMBCQCDQDCMDC

53、例例1. 1. 用位移法分析图示刚架。用位移法分析图示刚架。 解解 （1 1）基本未知量）基本未知量B、（2 2）单元分析）单元分析12434622iiMBAB12434642iiMBBABBCiM)2(343iMDCBBC8m4mii2iABCD3kN/m675.05 .12412462iiqliiQBBBA243iQCDMABQABMBAQBABMBCQCDQDCMDCBBCMBCMBA（3 3）位移法方程）位移法方程0BM)1.(.0aMMBCBA)1.(.041510iiB0 xQBA + QCD =0.(2a)2.(02475.36iiBQBAQCD（4 4）解位移法方程）解位移法方程45 .12iiMBAB45 .14iiMBBABBCiM6iMDC75.0243iQCD675.05 .1iiQBBA)2.(02475.36iiB（4 4）解位移法方程）解位移法方程)1.(.045 .110iiBiiB58.7737.0（5 5）弯矩图）弯矩图MAB= -13.896 kNmMBA= -4.422kNmMBC= 4.422kNmMDC= -5.685kNmQBA= -1.42kNQCD= -1.42kNABCD13.8964