第18讲-幂函数图像与性质

1、第18讲-幂函数图像与性质 主 主 题 幂函数的图像与性质 教学内容 1. 了解幂函数的概念； 2. 掌握常见幂函数的图像与性质。 观察下列函数，它们的关系式有什么共同特点？ （1） y x = ；（2）2y x = ；（3）3y x = ；（4）12y x = ；（5）1y x - = . 幂函数的定义：一般地，形如ky x = 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，k 是常数，且 k q Î ； 判断：下列各式中表示幂函数的有（ ） a、123 y x = b、xy x = c、23y x = d、 2 x y = e、7 4y x = f、0.5y x = g、2y x = 思

2、考：研究函数的性质可以从哪些方面考虑？我们上一章讲了函数的哪些基本性质？ 例 1. 研究函数12y x-= 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出函数的图像 试一试：仿照例 1 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？ （1） y x 1 ； （2） y x 2 ； （3） y 14x 小结：研究函数图像的基本步骤（方法） 1、由定义域、值域判断函数在坐标系中的位置。 2、由单调性判断图像的变化趋势。 3、由奇偶性判断函数图像是否对称。 例 2. 指出23y x = 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的图像。 仿照例 2 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它

3、们在第一象限的图像看有什么共同点？ （1） y 21x ；（2） y 31x ；（3） y 25x ； 例 3. 指出函数73y x = 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出它的大致图像。 试一试：仿照例 3 研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们在第一象限的图像看有什么共同点？ （1）3y x = （2）43y x = （3）54y x = 幂函数总结： 例 4. 已知幂函数221m myx- -= 在区间 ( ) ,0 -¥ 上是减函数，求 m 的最大负整数值. 试一试：已知幂函数 ( ) ( )21 32 2p pz f x x p- + += Î 在 ( ) 0,

4、+¥ 上是增函数，且在定义域上是偶函数，求 p 的值，并写出相应的函数 （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 比较大小： 1. 已知函数（1） 2 x y = ；（2）14y x = ；（3）1yx= ；（4）43y x = ，写出分别具下列性质的函数 图像与 x 轴有交点的： ；图像关于原点对称的： ； 定义域内单调递减的： ；在定义域内有反函数的： . 2. 幂函数( )22 3 * m my x m n- -= Î 的图像与坐标轴无公共点且是偶函数，则 m 的是 3. 比较下列各组中两个数的大小： （1）535 . 1 ，537 . 1 ；（2）0.7

5、1.5 ，0.6 1.5 ；（3）32) 2 . 1 ( ，32) 25 . 1 ( 4. 已知 ( ) ( )22 k kx k z f x- + += Î 满足 ( ) ( ) 2 3 f f < （1）求 k 的值； （2）是否存在正数 m ，使 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 , 1,2 g x mf x m x x = - + - Î - 的值域为174,8é ù-ê úë û？为若存在，求出 m的范围；若不存在，说明理由. 提高练习： 1、 作函数ïïîï

6、;ïíì<+³ + -=) 1 ( ,11) 1 ( ,211) (xxx xx f 的图像，并根据函数图像讨论方程 a x f = ) ( ， ) ( r aÎ 的实根个数。 2、 讨论函数3 31 ) ( , 1 ) ( + = + = x x h x x g 的图像与幂函数3) ( x x f = 的图像的关系，并在同一直角坐标系中分别作出函数 ) ( ), ( ), ( x h x g x f 的图像。 3、 讨论函数xxy1 2 += 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作出此函数的大致图像。 本节课主要知识点：幂函数的概念，幂函数的图像和性质 【巩固练习】 1. 下列函数中不是幂函数的是（ ） a y x = b3y x = c 2 y x = d1y x - = 2. 已知幂函数22 3( ) ( )m mf x x m z- -= Î 为偶函数，且在 (0, ) +¥ 上是减函数，求 ( ) f x 的解析式. 【预习思考】 问题 1：某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的