考点17立体几何中的计算问题解析版

1、【知识框图】考点17立体几何中的计算问题【自主热身，归纳总结】1、（2019扬州期末）【答案】【解析】圆锥的高为2、（2019镇江期末）【答案】【解析】思路分析考点17立体几何中的计算问题【问題探究变式训练】底面半径为1,母线长为3的圆锥的体积是1h =寸32 - 12 = 22，圆锥的体积 V= -X3已知一个圆锥的底面积为n，侧面积为先求出圆锥的底面半径和高.设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r , h,I，则2nV= ；Sh=3、(2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为【答案】【解析】圆锥的底面半径R= 1,4、(2019南通、泰州、扬州一调）四棱柱的体积为cm.【答案】54【解析

2、】由题意知，正四棱柱的高为5、（2019南京学情调研）如图,题型一柱.鲍面积与t*积6 题型二球的面积与輝题型三立体几何中澎合问题则该圆锥的体积为n rl = 2 n ,解得r 1l= 2，所以h3.圆锥的体积2 cm的正三角形，则该圆锥的体积为3cm.高 h = 22- 12= 3, 故圆锥的体积为V= ；X n X 12X 3= 33 n .已知正四棱柱的底面长是3 cm侧面的对角线长是(3 5) 2- 32= 6,所以它的体积 V= 32X 6 = 54,在正三棱柱 ABCABC中，AB= 2, AA = 3,则四棱锥3,5 cm则这个正故答案为54.ABCQB的体积是3【答案】2 3【

3、解析】如图，取BiC的中点E,连结A E,易证AE丄平面BBCC,所以A E为四棱锥ABC CB的高，所以V1 1四棱锥 AiBiCCB= -S矩形 BBCCX AiE= -X (2 X 3) X 3= 2典.336、(2018盐城三模)若一圆锥的底面半径为1,其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为【答案】【解析】设圆锥的高为h，母线为I，由S侧=rl,S底=r2得，1 l=3 12，即1=3,h 32 12 2、2 , 故该圆锥的体积为丄120。且面积为3n的扇形，则该圆锥的体积7、（2017无锡期末）已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为等于.【答案】学n2n【解析】设圆锥的底面半径为r,高

4、为h,母线长为I .则3n = ；X 2n r X I ,解得= 1， 故h=I = 3,I2- r2= 2 2,所以圆锥的体积V= -Xn r2X h= - XnX133X22=字解后反思 解决立体几何问题的基本思想是将空间问题转化为平面问题，在解题过程中要注意明确展开图中各个元素和几何体中元素的对应关系.8、（2016南京、盐城、连云港、徐州二模）如图，正三棱柱 ABCABC中，AB= 4, AA= 6.若E, F分别是棱BB, CC上的点，则三棱锥 AAEF的体积是 .【答案】8乖【解析】因为在正三棱柱 ABCA3C中，AA/ BB, AA?平面AACC, BB?平面AACi C,所以

5、BB/平面AACC从而点E到平面AACi C的距离就是点 B到平面AACi C的距离，作 BHL AC,垂足为点 H,由于 ABC_ 111是正三角形且边长为 4 ,所以 BH= 2勺空,从而三棱锥 AAEF的体积 VAAEF= VEAAF= -SAA AF- BH= - X33 2X 6X4X2 3 = 8 3.解题反思 一般地，三棱锥的体积求解都需要通过换底来求解，基本原则是换底以后的三棱锥的底面积和高均容易求解.9、（ 2016无锡期末） 如图，在圆锥 VO中，O为底面圆心，半径 OAL OB且OA= VO= 1，贝U O到平面 VAB的距离为【答案】33【解析】思路分析 在立体几何求点

6、到平面的距离问题中，往往有两种途径：（1）利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；（2）利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算.解法1因为VCL平面 AOB OA平面AOB所以VOL OA同理 VOL OB又因为 OAL OB OA= VO= OB=1,所以 VA= VB= AB=（2 ,所以 &vaq2vax ABsin60 ° =半.设 O到平面 VAB的距离为 h,由 Vao= Wvab得 OAK OBK VO=1 1得 SaobX VO= SvabX h,33解法2取AB中点M连结VM过点O作OHL VM于 H因为OA= OB M是AB中点，所以 OML AB因为V

7、OL平面 AOB AB?平面AOB所以VOL AB,又因为 OML AB V6 OM= O所以AB!平面 VOM又因为 AB?VOK OM_VM = 3 .平面VAB所以面 VABL平面VOM又因为 OHL VM OH平面VOM平面VABH平面VO= VH所以OHL平面VAB所以OH为点O到平面VAB的距离，且 OH=【问题探究，变式训练】题型一柱、锥的面积与体积（即找线面垂直），常见的空间几何体体积的求知识点拨：求空间几何体的体积的本质就是找几何体的高 法有：作高法、转换顶点法、割补法例 1、（2019 南京、盐城一模） 如图，PAL平面 ABC ACL BC, PA= 4 , AC=.3

8、, BC= 1 , E, F分别为 AB PC的中点，则三棱锥 BEFC的体积为 .21【答案】636【解析】11VBeFC= VFbEC= ,VPbEC= c221（3 SabecPA）= -X - X 坐X 4 =234【变式1】（2019泰州期末）如图，在直三棱柱ABCABC 中，点M为棱AA的中点，记三棱锥AMBC勺体积V,四棱锥 ABBGC的体积为V2,则占的值是 V21 【答案】/41111 【解析】解法1（割补法）设厶ABC的面积为S,三棱柱的高为 h，贝U V1 = VAABC- VMab= _Sh-3SX?h=?12V1 Sh 31Sh, V2= VABCA C - VAAB

9、C= Sh-Sh=Sh,所以一=-.33V2 6 2Sh 41 1V1 1解法 2（等积转换） V = VBAMC=：VBAAC=;VAABC V2= 2VABGB1= 2VBABC = 2VAABC 所以-=.2 2V2 4【变式2】（2018常州期末）已知圆锥的高为 6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7,则该圆台的高为.【答案】31 2【解析】设截得的小圆锥的咼为hi，底面半径为ri，体积为 V= 3 n r ihi;大圆锥的咼为h = 6,底面半径为hi3hii亠，得hi = h= 3，所以圆台的咼为h 82侧棱长为 6，则该正四棱锥的体积为i 2 r ihii

10、 2rihiVi3r，体积为 V= n r h = 8.依题意有一=,M = i,、/=3 r hv i 23n r hhi= 3.【变式3】（20i8镇江期末）已知正四棱锥的底面边长为8【答案】3【解析】正四棱锥的底面边长为2 ,可知底面正方形对角线长为2 2 ,所以正四棱锥的高为 7 （嗣 2-（羽）2 = 2,所以正四棱锥的体积 V= ix 4X 2 = 3.2 n【变式4】（20i8扬州期末）若圆锥的侧面展开图是面积为3 n且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为.【答案】警ni 2 n2 n【解析】设圆锥的底面半径为r ,高为h，母线为I，则由2 3 12= 3n,得I = 3,又由3 l

11、 = 2 nr,得 r = i,从而有 h = /l2 r2 = 2寸2，所以 V= 3 n r2 h = 3 n .【变式5】（20i8南京、盐城、连云港二模） 在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形 （如 图i中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥 SEFGH如图2），则正四棱锥SEFGH的体积为（图1）（图2）4【答案】3【解析】连结EGHF,交点为0,正方形EFGH的对角线EG= 2,EO= 1，则点E到线段AB的距离为1,EB_1_4=P 12+ 22=e5.S0 = SE2-0E = ,'57 = 2，故正四棱锥 SEFGH的体积为-X （贾）冬 2 =-

12、.3 3【变式6】（2018苏锡常镇调研（二）在棱长为2的正四面体P ABC中，M , N分别为PA , BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD 2DN，则三棱锥 D MBC的体积为.42【答案】9【解析】思路分析：解决空间几何体的体积计算问题常常有两个途径：一是直接利用体积公式求解，另一种是利用等体积转化的思想进行计算解题过程：连结MB , MC , MN，过点D作DH MN于H，因为BA BP , M为PA勺中点，所以PA BM，同理PA CM，又因为BM CM M，所以PA 面MBC，又因为MN 面MBC , 所以PA MN ,又因为DH MN ,所以DH /PA,从而DH 面MBC

13、,故DH为点D到平面MBC 的高在 MBC中，MB MC , N为BC勺中点，则MN MB2 NB22 , MBC的面积1 1 lLL 、i11S BC MN 2. 22，在 NPM 中，因为 DH / PM , PD 2DN 所以 DH PM -,2 2，33从而三棱锥D MBC的体积V1S DH 1212 vd MBCS MBC DHV 23 339【变式7】（2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在正三棱柱 ABC ARG中，已知AB AA, 3，点P在棱CC, 上，则三棱锥 P ABA的体积为 【答案】4【解析】 因为正三棱柱 ABC AB C1中，AA /CC1，因为AA 面AAB1

14、B , CC1 面AABB ,所以CG /面AA, BB，因为点P在棱CG上，所以点C到平面AAB1B的距离就是点 P到平面AAB1B的距离作CD AB，垂直为点 D，因为正三棱柱 ABC AB1C1中，AA 面ABC , CD 面ABC，所以CD AA1，而 AB 面AA1B1B , AA1 面AA1B1B , AB AA. A1，所以 CD 面AA1B1B 因为正'3319三棱柱ABC ABG中，AB AA1 3，所以CD , ABA的面积S 3 3 ,所以三棱锥22211 9 33 9虫P ABA的体积V S CD33 224【变式8】（2017南京三模）如图，在直三棱柱 ABC

15、-ABC中，AB= 1, BC= 2, BB= 3,Z ABC= 90°,点D为侧棱BB上的动点.当 AM DC最小时，三棱锥 D- ABC的体积为Ci【答案】3【解析】 将侧面展开如下图，所以由平面几何性质可得:AD DC, AC,，当且仅当A,DQ三点共线取到此时BD 1，所以Svabd11AB BD .在直三棱柱22ABC- A1BC1 中有BB, CB，又 ABCB ,易得CB 平面ABD ,所以CiBi平面ABD ,即CiBi是三棱锥Ci ABD亠iii i的咼，所以3 CiBiSvabd3 2 23【解后反思】对于求空间几何体中在两个侧面上两个有公共点距离之和最小值的问题

16、，一般都可以转化 为同一个平面上问题本题也是数学中最有名的“将军饮马”的问题，有兴趣的同科可以用网络搜索查 阅这个问题题型二球的面积与体积知识点拨：解决空间几何体的外接球问题的关键是确定球心的位置，求得球半径多数试题中几何体的外 接球通常可以考虑转化为相应长方体的外接球模型，这一类题在各类考题中常有出现，同学们一定要掌握 其方法.例i、（20i9苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为【答案】23【解析】正三棱锥的底面正三角形的边长为a= 2 3，面积S= 43a2= 3 3

17、,高h= 2.所以正三椎锥的体积 V1=3Sh= 2 3.【变式11（2019苏州三市、苏北四市二调）设P,A,B,C为球0表面上的四个点，PAPB,PC两两垂直，2且PA= 2 m PB= 3 m PC= 4 m 则球 O的表面积为 m.【答案】29 n【解析】根据题意，可知三棱锥 PABC是长方体的一个角，如图所示，该长方体的外接球就是经过P , A,B , C四点的球，因为 PA= 2, PB= 3, PC= 4,所以长方体的体对角线的长为 寸PA + PB+ PC =、/29 ,即外接球的直径2R=29 ,可得 R= ；9 ,因此外接球的表面积为2S= 4 n R = 4 n X29

18、2 = 29 n2【变式2】（2018无锡期末）直三棱柱 ABCABC中，已知 AB1 BQ AB= 3, BC= 4, AA= 5,若三棱柱的所有 顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .【答案】50 n【解析】根据条件可知该直三棱柱的外接球即三棱锥BiABC的外接球，也就是以 BA BC, BB为棱的长方体的外接球，设其半径为 R,则2只=怦+ BC + BEi= 3【变式1 （2017扬州期末）已知一个长方体的表面积为48（单位：cm） , 12条棱长度之和为 36（单位：cm），则这个长方体的体积的取值范围是 （单位：cm3）.【答案16,20【解析解法1设长方体的长、宽、高分别为x,

19、 y, z,体积为V,根据题意有2xy+ 2yz + 2zx = 48，4（ x + y + z） = 36，V= xyz，在的条件下，求多元函数V= xyz的取值范围，首先想到的是消元，由4（x + y + z） = 36 得 x + y = 9-z,由 2xy + 2yz + 2zx= 48 得 xy = 24- （x + y）z = 24- （9 z） z,因此 V= xyz+ 42+ 52，得R=，故该球的表面积为 S= 4nR = 50 n .【变式3】（2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）现有一个底面半径为 3 cm,母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后

20、铸造成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 cm.【答案】2=24 （9 z） z z，即 V= z 9z + 24z. 9【解析】思路分析 圆锥的体积等于球的体积.123433圆锥的高为 4 cm，体积为 V圆锥=3兀3 x4= 12n （cm ）.设球的半径为 r cm，则3 n r = 12n,即r = 9,所以r = 3 9.题型三、立体几何中的综合问题 知识点拨：立体几何中的综合问题往往涉及到求体积的最值问题或者涉及到复杂的几何体的问题，常用的方法是涉及复杂的几何体进行简化，最值问题运用不等式或者求导进行解决。例1、（2017南京、盐城一模）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一

21、个圆柱，AB= 3, BC= 2,圆柱上底面OEFG体积的最大值是圆心为O,A EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥【答案】4【解析】设Rt EFG勺两条直角边分别为2 2 1a, b,贝U a2 + b2 = 16,三棱锥 OEF高为 3,从而 Voef= 3&efg-332 21 a + b=_ab<= 4,2 4当且仅当a = b= 2 2时等号成立，故三棱锥OEFG勺体积的最大值为 4.即有z2- 6z+ 5W 0,解得2由 xy = 24- (x + y)z = 24- (9 z)z,得 z - 9z + 24= xy<1< zw5问题转化为求 V

22、= z3- 9z2+ 24z在1,5上的值域.令 V = 3z2- 18z+ 24= 3(z-2)( z-4) = 0,得 z = 2或z = 4.所以V(z)在1,2上单调递增，在2,4上单调递减，在4,5上单调递增，有VJ)= 16,V(2)=20, 乂4) = 16, U5) = 20,所以当 z = 1, x = y = 4 或 z = 4, x= 4, y = 1 或 z = 4, x= 1, y = 4 时，Vmin= 16;当 z = 2, x= 5, y = 2 或 z = 2, x= 2, y= 5 或 z= 5, x = y = 2 时，Vmax= 20.所以体积V的取值范

23、围为16,20.解法2设长方体长、宽、高分别为 a, b, c,贝U a, b, c>0, ab+ bc+ ca= 24, a+ b+ c = 9，得a+ b =9- c, ab= c - 9c+ 24,所以 a, b是方程 x - (9 - c)x + (c - 9c + 24) = 0 的两个正根，由 A >0,9 - c>3230, c - 9c+ 24 >0 解得 1W cw5, abc= c - 9c + 24c,设 f(c) = c - 9c + 24c, f' (c) = 3( c- 2)( c-4), f (1) = f(4) = 16, f(2

24、) = f(5) = 20,所以长方体的体积取值范围是16,20.解法3设长方体长、宽、高分别为a, b, c,贝U a, b, c>0, ab+ bc+ ca= 24, a+ b+ c= 9,得abc32=c - 9c + 24c.由24 = ab + bc + ca = ab + (a + b) cwa+ b22+ (a + b)c =2+ (9 - c)c，解得【解析】依题意有：ax bx 1 = 2,所以，ab= 2,设新长方体高为 九则（a+ 1） （b+ 2） h= 2,化简为:22a b4 2 2ab 4321W c w 5,设 f(c) = c - 9c + 24c, f

25、 '(c) = 3( c - 2)( c- 4) , f(1) = f(4) = 16, f(2) = f (5) = 20,所以长方体的体积取值范围是16,20.【变式2】（2019年南通一模） 有一个体积为2的长方体，它的长？宽?高依次为a, b, 1.现将它的长增加 1，宽增加2,且体积不变，则所得新长方体高的最大值为1【答案】，4当且仅当2a= b,即a 1,b 2时，h有最大值为：【变式3】（2019苏北四市、苏中三市三调）已知直角梯形 ABCD中, AB/ CD ABL BC AB=3 cm, BC=1 cm,Ct=2 cm.将此直角梯形绕 AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为cm 3.【答案】J3【解析】所求几何体的体积为V V圆锥+V圆柱=3 1【变式4】（2019苏州期初调查）将一张半径为护+ 1（cm）的圆形纸片按如图所示的实线裁剪，并按虚线折3叠为各棱长均相等的四棱锥，则折叠所成的四棱锥的体积为 cm.【答案】4323【解析】设四棱锥的棱长为x，则有争净=P3 +