2015年全国高中数学联合竞赛辽宁省初赛试卷

1、2015年全国高中数学联合竞赛辽宁省初赛试卷(7月5日上午8:30-11:00)一.选择题(本题满分30分,每小题5分)本题共有6道小题,每小题给出(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后答后面的圆括号内.每小题选对得5分,不选,选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分.1.设a=,其中x表示不超过x的最大整数,集合A=x|xN*且x|a,则A中元素的个数是A.4 B.6 C.8 D.122.若ABC的三边a,b,c成等比数列,边a,b,c的所对的角依次为A,B,C,且sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1

2、,则角B为A. B. C. D. 3.已知函数f(x)=x2-53x+196+|x2-53x+196|,则f(1)+f(2)+f(50)=A.660 B.664 C.668 D.6724.已知数列an是由正整数组成的递增数列,且an+2=an+1+2an(nN*),若a5=52,则a7=A.102 B.152 C.212 D.2725.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,AD=2,则异面直线A1D与B1D1间的距离为A.1 B. C. D. 6.如图,M,N分别为正六边形ABCDEF的对角线AC,CE的内分点,且=l,若B,M,N三点共线,则l=MBACDEFNA. B. C

3、. D. 二.填空题(本题满分30分,每小题5分)7.已知复数z=a+i(aR)在复平面内对应的点在第二象限,且|z(1+i)|>2,则实数a的取值范围是_.8.若实数a,b满足a+lga=10,b+10b=10,则lg(a+b)= _.9.设数列an的前n项和为Sn,a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=aman,若Sn<a对任意nN*恒成立,则实数a的最小值为_.10.立方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB,BB1上(不包括线段的端点),并且AM=B1N,则A1M与C1N所成角的取值范围是_.11.一道数学竞赛题,甲,乙,丙单独解出此题的概率分别为,其

4、中a,b,c都是小于10的正整数.现甲乙丙同时独立解答此题,若三人中恰有一人解出此题的概率为,则甲乙丙三人都未解出此题的概率为_.12.设F1,F2为椭圆C的两个焦点,若AB为椭圆一条过点F2的弦,且在F1AB中,|F1A|=3,|AB|=4,|BF1|=5,则tanÐF2F1B=_.三.解答题(本题共4道小题,满分90分)13.(本小题满分20分)设实数a,b,l满足0<a<b,0l1.(1)证明:lna+1<<lnb+1.(2)证明: la+(1-l)bln la+(1-l)blalna+(1- l)blnb.14.(本小题满分20分)如图,直角三角形AB

5、C外接圆圆心为O,ÐC=90o,过C作AB的垂线,垂足为D,作圆O1分别切弧,边CD,DB于E,F,G,同样作圆O2与弧,边CD,DA相切,设圆O1半径为r1,圆O2半径为r2,ABC内切圆半径为r,证明:r=(r1+r2).CBAODEFGO2O115. (本小题满分25分)已知数列an中a1=1,关于x的方程x2-an+1cosx+2an+1=0有唯一解.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=1+n,求证:bn<3.(3)设cn=n2an,求数列cn的前n项和Sn.16. (本小题满分25分)双曲线C:-=1的左右两个焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一动点,且在第一象限内,已知PF1F2的重心为G,内心为I.(1)问是否存在点P,使得IGF1F2?若存在,求出点P