习题反常积分的收敛判别法

1、习题反常积分的收敛判别法1.证明比较判别法(定理)； 举例说明，当比较判别法的极限形式中10或 时，a(X)dx 和 f (x)dx 的敛散性可以产生各种不同的的情况正常数.则于是于是解(1)定理(比较判别法)设在a,)上恒有0 f(x) K(x)，其中 K 是(x)dx 收敛时f (x)dx 也收敛;f (x)dx 发散时(x)dx 也发散.(x)dx收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理,0 ，AoA, AAo:A(x)d所以aAAf(x)dxAAK (x)dxf (x) dx 也收敛;f (x)dx 发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理,00，A0A, AAo:AAf(x)

2、dx发散.AA1A(x) dxAK f(x)dxo ,所以(x)dx也发散.(2)设在a,)上有f (x)0, (x)0，且limf (x)(x)0.则当af (x)dx发散时,(x)dx也发散;但当af (x)dx收敛时,(x)dx可能收敛，也可能发1例如f (x)2，x(x)P 2)，则limx詈0.显然有f (x)dx收敛，(x)dx，则当1 p 2时收敛，当0 p 1时设在a,)上有f (x)0, (x)0，且lim -xf (x)(x).则当af(x)dx收a敛时，a(x)dx也收敛；但当af (x)dx发散时，a(x)dx可能发散，也可能收敛.1例如f (x)，(x)l(P丄)，则

3、limf(x).显然有Jxxp2x(x)1f(x)dx发散，而对于1(x)dx，则当-p 1时发散，当p 1时收敛2.证明 Cauchy 判别法及其极限形式(定理).证定理(Cauchy 判别法)设在a,)(0,)上恒有f(x) 0,K 是正常数.K若f(x)-，且p 1，贝 uf(x)dx 收敛；xpaK若f(x) -y，且p 1，则af (x)dx 发散.x推论(Cauchy 判别法的极限形式)设在a,)(0,)上恒有f (x)0，且lim xpf (x) I，若0 I，且P1，则 f (x)dx 收敛;a若0 I，且P1，证直接应用定理(比较判别法)则f (x)dx 发散.a及其推论(比

4、较判别法的极限形式)，将函数1、x1 * 3e2xln x-dx;111 x |sinx|dX;xq/、(p,qR).解(1)当 x时,1、x3e2xIn x13，1 2x2所以积分1 ,e mx 严收敛.由于(cpv) f (x)dx收敛，可知极限AlimF (A)limAf (x)dxAA存在而且有限，由 Cauchy 收敛原理，0，A00，A, AA0: |F(A) F(A)，于是A, AA与B,B A，成立:f(x)dx |F(A) F(A)|与B，f(x)dx |F(B) F(B)这说明积分0f (x)dx与。f (x)dx都收敛，所以积分f(x)dx收敛5.讨论下列反常积分的敛散性

5、(包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同)In ln x(2)当 x时,arcta n x_ _c 3，1x 2x所以积分1(3)因为当arctadx收敛.x0 时有11 xsin x而积分dx发散， 所1- dx发散.1 x |sin x |(4)当 x时,xq所以在p1时，积分xq收敛，在其余情况下积分4.xqRdx发散.证明: 对非负函数f(x),(cpv)f (x)dx收敛与f (x)dx收敛显然,由f (x)dx收敛可推出(cpv) f (x)dx收敛，现证明当是等价的f(x)0时可由(cpv)f (x)dx收敛推出f (x)dx收敛.sin x二Tdx(p2sin xdx;2ln x1

6、sinxarctanxdx(p R);0sin(x2)dx;xpBsin xdx(Pm(x)和(x)分别是m和n次多项式,qn(x)qn(x)在x a,)范围无零点.)(1)因为F(A)Dirichlet判别法,由于ln ln xln x即积分2(2)当plimxln ln x .-sin xln xdx发散,:sin xdx有界，lnln x在2,)单调，且 lim ln xxln ln xln xInlnx小0,ln x积分2ln ln xln x.2sin xsin xdx收敛;1 ln ln x2ln x(1 cos2x)，而积分ln ln xln xcos 2xdx收敛，所以积分ln

7、 ln xsin xdx条件收敛.ln xsin x-dxxpln ln x .-sinln xdx发散,1时,sin xxp*dx收敛，所以当xpp 1时积分积分绝对收敛;p 1时，因为F(A):sin xdx有界，xp在1,)单调，且(3)0,由 Dirichlet判别法,Lndx发散，所以当0 xpp 1时,sin x arctanx|pxsinxarctanxdx绝对收敛;xp1时，因为F(A)limxarctan xxp0，由 Dirichlet积分1沁1xp1时积分1dx收敛；但因为当0 p 1时沁dx条件收敛.xp2xp1sin xdx有界判别法，积分1dx收敛，所以当p 1时积

8、分竺讐在1,)单调，且xpsinxarctanxdx收敛；但因为xp10sin(x2)dx条件收敛.a吒紳沁绝对收敛.Pm(x)sin xdx 条件收敛.qn(x)Pm(x)sin xdx 发散.qn(x)设f(x)在a, b只有一个奇点 x b，证明定理.3和定理.5.定理.3 (Cauchy 判别法) 设在a, b)上恒有f(x) 0，若当x属于 b 的某个左当0 p 1时积分1竺聖sin1xpin xdx发散，所以当0 p 1时积分1SinxarCtanxdx条件收敛.xp(4)令 t x2，0sin(x2)dxsi nt02、严，由于0sin tdt条件收敛，可知积分0(5)当 n m

9、 1 且x充分大时,也凶 sinxqn(x)K二，可知当 n m 1 时积分x当 n m 1 时，因为F(A)：sin xdx有界,且当x充分大时，需单调且lim -Pmx)0，由 Dirichletxqn(x)判别法可知Pm (x)sinxdx 收敛； 但由于当qn(x)时，Prn(x)a，易知qn(x)xPm(x).-sin xqn(x)dx发散，所以当 n m 1 时，积当n m1 时，Pm(X)A，A 为非零常数、qn(x)或，易知积分6.邻域b0,b)时，存在正常数 K,使得Kbf (x)-，且p 1，贝U f (x)dx收敛;(b x)paKbf(X)而齐且p1则af(X)dX发散

10、.证 (1)当p 1时，积分:爲dx收敛,由反常积分的 Cauchy 收敛原理,(0,):1(b x)pdx(2)推论b b K,bf (x)dxb- dx(b x)p，所以：f(x)dx收敛.:占dx发散，由反常积分的Cauchy 收敛原理,0, (0,b b Kbf (x)dxbpdxb(b x)pdx(Cauchy 判别法的极限形式)设在a, b)上恒有f (x)0,且m(b x)pf (x) l ,若0 l，且p1，则af (x)dx收敛；若0 l，且p1，则af (x)dx发散.证(1)由 lim( bx bx)pf(x)l (p 1,0 l),可知0,x (b,b):f(x)l 1

11、(bx)p再应用定理.3的(1).(2)由 lim( b x)x bpf(x) l(p 1,011),可知0 ,x (b,b):f(x)lp ?2(bx)p再应用定理.3的(2).f (x)g(x)dx收敛:由于积分1时,当0由于0，所以f (x)dx发散.则定理.5若下列两个条件之一满足，则ba(1)( Abel 判别法)f(x)dx收敛，g(x)在a, b)上单调有界；b(2)(Dirichlet判别法)F() f(x)dx 在(0,b a上有界，g(x)在a,b)a上单调且lim g(x) 0.x b证(1)设| g(x)| G，因为：f(x)dx收敛，由 Cauchy 收敛原理,由积分

12、第二中值定理,中值定理,；xp1(1 x)q I11n x | dx.I.0，A, A (b,b):AAf(x)dx2G(2)设|F(AAf(x)g(x)dx g(A)Af (x)dx |g(A)Af (x)dxGaf (x)dx GAf (x)dx)| M，于是A,A a,b)，有AAf(x)dx2M .因为lim g(x) 0，x b0，x (b,b)，有g(x).由积分第4MAAf(x)g(x)dxg(A)Af(x)dxAg(A) f(x)dx2M|g(A)| 2M所以无论哪个判别法条件满足,|g(A)| -.2 2由 Cauchy 收敛原理，都有 f(x)g(x)dx 收a敛的结论.7

13、.讨论下列非负函数反常积分的敛散性:103x2(1 x)dx;1ln x0卩dx;02厂dx；0cos2xsin2x10|ln x |pdx;-1 cosx0 xp1xp1(1dx;x)q 1dx;积分0 3x2(1x)dx收敛.1-1 (x 1 )，所以(1 x)31解(D因为乔市3x2(1x)1 1(3)因为 一2-2(xcos xsin x x以积分022II2dx发散.0cos2xsin2xIIp0, q 0时积分0 xp 1(1 x)q 1dx收敛，在其余情况下积分因为j，且对任意01，肥占0,即当x 0 充分小时，有In xx21，所以积分x；Hdx收敛.10 )，22cos xs

14、in x当p 3时积分J1COsxdx发散.xp(5)首先对任意的 01 与任意的 p，有lim x |lnx|p 0,即当 x 0 充分x 01 10|lnx|pdx收敛，当p 1时，积分0|lnx|pdx发散.(6)xp1(1 x)q14?(x 0 )，xp1(1 x)q1一(xx(1 x)8.讨论下列反常积分的敛散性:1 cosx 1/(4)因为尹(x0 )，所以当p 3时积分J Ed*收敛,xp小时，有In xP;且 In x一诗1).所以当p1时，积分0 xp 1(1x)q1dx发散.(7)xp1(1x)q.1|InxHk(x 1)，且ixim0 xp2(xp1(1x)q 1|ln

15、x|)0，即当 x0 充分小时，有1飞，所以当p 0,q1x2敛，在其余情况下积分0 xp 1(1 x)q 111n x | dx发散.xp 1(1x)q 1In x11时积分0 xp 1(1 x)q1| I n x | dx收1 ),所以在11），xp1xq1dx(In xp,q);3x(x 1)2(xdx；2)叫卫dx；xparctan x .-dx；/2旦 dx；pxHxp 1exdx;幵耳dx.解 ( 1)xp1In x&dx1p 1x2dx0In x1 q 10Inxdx1xp1xq1In x1一dx0时积分dx显然收敛，且当 x 1In x时,xq1In x1 (x 1)p

16、 1In 1 (x 1)11 (x 1)q111(p q)(x 1)p qx 1In xdx不是反常积分，所以积分xq 1-dx收敛.(2)13x(x 1)2(x 2)dx11dx3x(x 1)2(x 2)21d13x(x 1)2(x 2)-dx.3x(x 1)2(x 2)因为3x(x 1)2(x 2)1 1(32 1(xx33x(x 1)2(x 2)(x(x 1)3所以积分0 .3x(x 1)2(x 2)dx 收敛;因为3x(x 1)2(x 2)(x(x 1)311），11 1013x(x 1)2(X 2)321(x 2 )， (x 2)32所以积分1,_3x(x 1)2(x 2)dx 收敛

17、;因为1Vx(x 1)2(x 2)V23x(x 1)2(x 2)(x2(xx3(x 2 ),2)3所以积分23x(x 1)2(x 2)dx 收敛.由此可知积分3x(x 1)2(x2)dx收敛.dx1ln (1 x)0 xPdxln(1 x)dx.xP由|n(1x)xP(x)，可知当p 2时，积分0叫凶dx收敛，当xP 2时,积分0晋1 dx发散;1时,3P1lim x2x叫卫 0，即当 x 0 充分大时，有xpln(1 x)xP13P1X丁其中竺_八211，可知当P 1时，积分.ln(1Px)dx收敛，当1xPp 1时,积分ln(1 x)dx发散;xP综上所述,P 2时，积分叫乂dx收敛，在其

18、余情况下积分xarctanx ,(4) 二dxzv1arctanx ,。丁血arc tanx ,11 101)，可知当p 1时积分1arctanxdx收敛.xpp2时积分于dx发散;2p0/3nx dx 发散. xp1dx0p1qdxxpxq0 xpxq1q 时，显然积分0-dx发散;0 xpxq丄arcta n x 1由(x宀pp 1 vxx),可知当p 2时积分0竺兽dx收敛;xp所以当1 p 2时积分arctan xpxdx收敛，在其余情况下积分/2tanx(0 /4tanxodxxp/2tanxdx./4 px由 tan x171(x 0 )，可知当p时积分xp21 20/4dx 收敛

19、,xp所以当p3时积分20/2a=dx 收敛，当pxp3时积分2-arctan x,由I厂药(x舟 tan x由丁/2tanx/4dx收敛-(6)0 xp 1exdxioxp 1exdxxpxdx.由于积分1xdx收敛，及xp 1e1尹(X0)，所以当p积分0 xp 1exdx收敛，当p 0时积分0 xp 1exdx发散.1Tdx.x x当 p q 时，由于11 11，x所以当-(x 0 )-qmin( p,q)p qx xx xmin( p,q) 1，且max(p,q) 1时积分-dx发散.xq(8)设p1,则对任意的 q,当x充分大时,可知积分1Edx收敛.1，则对任意的 q，当x充分大时

20、,可知积分p1qdx 发散.xpl nqx9.，令 Inx1, q 1时积分21xplnqx1(xmax( p ,q)( xx10收敛,xplnqxp 1x2111p 1x有xplnqx有11ddtxplnqx %ln2tqdx 收敛，在其余情况下积分讨论下列反常积分的敛散性:xp 12dx;1 x2(1)xqsin x-dx1 xp其余情况下积因为专由此可知当p 11一dx 发散.x In x0)；sin xe cosx pdx;x1pcos dx;pxxp 1Fx1xp 101x2dx1 x2(xxp11 x2sin xe sin2xdx;xpsin xp 0).p 1x丄2dx.1 x2

21、(x），可知当0 p 2时积xp 10Rdx收敛,在其余情况下积分xp101 x2dx发散.1(2)当qq -1时，由x |sinx|1 xp角，可知积分!半器dX绝对收调减少,但因为积分件收敛.q p时,因为F(A)：sinxdx有界，当x充分大时二单1 xplimxxq1 xpq0,由 Dirichlet 判别法，积分ddx 收敛;1 xp辛罟dx发散，所以当p 1 q p时积分1P 时，由于r2n时2nqxsin x皿dx条xppdx不趋于零，可知积分xpxq sin xdx发散AU入rt/v -11 xpsin xe cosx ,(3)0 pdxx1e0sin xcosx sin xe

22、 cosx ,1pdx.xsin x.e cosx由xp(x0 )，可知当p 1时积分sin x0dx收敛，在其余情况下积分sin x1e cosxdx发散.当p 1时，易知积分sin x .e |cosx|dx发散；xp当p 0时，易知积分sin xe cosx1dx发散.1时，因为Asinx1ecosxdx丄单调减少，且lim xpx由 Dirichlet判别法；可知积分sin xe1cosxdx收敛.xp综上所述，当0 p 1时，积分0sin xedx条件收敛，在其余情况下积xp1sin x0时，易知积分1-dx发散.1xpsin xe spn2xdx收敛.x1(5)令 t 右，则x1

23、1pcos2dx 绝对收敛；当1 p 3时积分x11 111 1sin xe cos xpdx发散.xp(4)sin xexpsin2xdxsin x1e0sin 2x ,LdxsinXe sin 2x ,pdx.xsinx山e sin 2x由x(x0 )，可知当sin x2时积分0 dx收敛,x在其余情况下积分sin x1e sin2x0Pxdx发散.当1 p 2时,显然积分sin x2|e sin x|dx收敛；当p 1时，易知积分xp1时, 因为(k 1)kesin xsin 2xdx 0，可知A sin x0esin 2xdx 有界，且单调减少,limx0，由 Dirichlet 判别

24、法，可知积分sin xe1xp|Sin2x|dx发散;综上所述，当1 psinx2时积分0 xdx绝对收敛, 当0 p 1时积分sin xe_xpsin 2xdx条件收敛，在其余情况下积分sin xe sin 2xx7dx发散.11 10严7dx1costdt.3 p于是可知当p 1时积分0pcosdx 条件收敛，当p 3时积分0pcosdx 发散.xpxxpx11(6)当p1时，因为sin x 一xx，可知积分sin x 亠dx绝对收敛.xpsinp 1时，因为nndx，而级数发散，所以积分1sin x 一xdx 发散；又因为si n(x 丄)Qdx1px.1 sin cosxxxp1 .

25、cos-s in xxdx，注意到当x充分大时,.1sinx与xp与1cos-一詐都是单调减少的，由 Dirichlet 判别法可知积分1xp1sin x xpxdx收敛，所以积分11sin x xpxdx条件收敛.10证明反常积分0 xsin x4sin xdx 收敛.证对任意A AA，由分部积分法,AAxsin x4sin xdxA(cosx4)4xsinxcosx44x2显然，当 AAAcosx4cosxAdx4.Acosx sin x ,Adx.2x3时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy 收敛原理，可知反常积分0 xsin x4sinxdx 收敛.A4x211 .设f (x)单调

26、，且当x 0时f (x)1，证明：0f(x)dx收敛的必要条件是 lim xf (x)0.x 0证 首先由f(x)的单调性，对于充分小的 0 x1，有11xX0丁(X)x由 Cauchy 收敛原理，limxf (t)dt 0,于是得到x 0_2lim xf (x)0.x 012设& f (x)dx 收敛，且xf (x)在a,)上单调减少，证明：lim x(ln x) f (x)0.x证 首先容易知道当 x 时，xf(x)单调减少趋于 0,于是有xf(x)0，且1x1x0 x(ln x) f (x)xtf (t) dtxf (t)dt.x然后由 Cauchy 收敛原理，limxf (t)

27、dt 0，于是得到lim x(ln x) f (x)0.x13设f(x)单调下降，且 lim f(x) 0，证明：若f (x)在0,)上连续，则反x常积分0f (x)sin2xdx收敛.证 首先由分部积分法，0f (x)sin2xdx0sin2xdf (x)0f (x)sin2xdx.A由于F(A)0si n2xdx有界，f(x)单调下降，且 lim f (x) 0，由xDirichlet判别法，可知积分0f(x)sin2xdx 收敛，从而积分0f (x)sin2xdx收敛.14.设f(x)dx 绝对收敛，且 lim f(x) 0，证明af2(x)dx收敛.axa证 首先由 lim f (x)0，可知 A a， x A，有 f(x) 1，即当 x A 时，x成立 f2(x) I f (x).因为积分af (x)dx 绝对收敛，于是由比较判别法，积分af2(x)dx收敛.xX15. 若af2(x)dx收敛，则称f (x)在a,)上平方可积(类似可定义无界函数