浙江专用2018年版高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的不等式问题

1、（浙江专用）2018 版高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的不等式问题教师用书1若 a， b， c R，且 a>b，则下列不等式一定成立的是()A ac b cB ( ab) c20C ac>bcc2>0D. ab答案B解析A 项：当 c<0 时，不等式a c b c 不一定成立； C 项： c 0 时， ac bc； D 项： c 0 时， c2 0； B 项： a>b? a b>0，因为 c20，所以 ( a b) c20. 故选 B. a bx 1， x<0，2(2016 ·浙江金华十校联考) 已知函数 f ( x) 则不等式 x

2、( x 1) f ( x x 1， x0，1) 1的解集是 ()A x| 1 x 2 1B x| x1C x| x 2 1D x| 21 x 2 1答案C解析由题意不等式x( x 1) f ( x1) 1等价于x 1<0，xx或x1 1x10，xx1 1，x解不等式组得x< 1；解不等式组得 1 x 2 1.故原不等式的解集是 x| x2 1 ，选 C.x y0，3(2016 ·杭州质检 ) 若实数， 满足 x1，则 |x| |y| 的取值范围是 _x yx2y0，答案0,2解析| x| | y| 表示可行域内一点到x，y 轴的距离之和， 作出不等式组表示的可行域，由可1

3、行域可知在 (0,0)处取得最小值0，在 (1 ， 1) 处取得最大值2，所以 | x| | y| 0,2 4若关于x的方程x24 |a2| | 1| 0 有实根，则实数a的取值范围为 _xa3 5答案 2，2解析由方程2 4x | a 2| | a 1| 0 有实根，可得24×1×(|a 2| | ax 41|) 0，整理得 |2| |a1| 4.a| 2| |a1| 代表数轴上的点a到 2 和 1 两点的距离和， 易知 |a2| |1| 4 的取aa3 5值范围为 2， 2.题型一含参数不等式的解法例 1解关于 x 的不等式ax222x ax ( a R) 解原不等式可

4、化为ax2 ( a 2) x20? ( ax 2)( x1) 0.当 0 时，原不等式化为x10?x 1.a22当 a>0 时，原不等式化为x a ( x1) 0? x a或 x 1.当 <0 时，原不等式化为x2(1) 0.aax当 2>1，即< 2 时，解得 1x 2；aaa2当 a 1，即 a 2 时，解得 x 1；22当 a<1，即 a> 2，解得 a x 1.综上所述，当< 2 时，原不等式的解集为 1，2；aa当 a 2 时，原不等式的解集为1 ；当 2< <0 时，原不等式的解集为2；， 1aa当 a0 时，原不等式的解集为(

5、 ， 1 ；当 a>0 时，原不等式的解集为( ， 1 2， .a思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1) 若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将不等式转化为二次项系2数为正的形式(2) 判断方程的根的个数，讨论判别式与 0 的关系(3) 当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式1(1) 若 0<a<1，则不等式 ( a x)( xa)>0 的解集是 _(2) 若关于x的不等式 |1| |x |>3的解集为 R，则实数的取值范围是 _xmm1答案(1)(a，a) (2)( ， 4) (2 ，)解析(1)原不等式即为( x a

6、)(x1， )<0a1由 0<a<1 得 a<a，1 a<x<a.(2) 依题意得， | x 1| | x m| |( x 1) ( x m)| | m 1| ，即函数 y | x 1| | x m| 的最小值是 | m 1| ，于是有 | m 1|>3 ，m 1< 3 或 m 1>3，由此解得 m<4 或 m>2. 因此实数 m的取值范围是( ， 4) (2 ， ) 题型二线性规划问题x y20，例 2实数， 满足不等式组2x y50，则z | 2 4| 的最大值为 _xyx yx y40，答案21解析方法一作出不等式组表示的

7、平面区域如图中阴影部分所示z |x 2y 4| | x 2y 4| ·5，则几何含义为阴影区域内的点到直线 2 40 的距5x y离的5倍由x y2 0，得点 B 的坐标为 (7,9) ，显然，点 B到直线 x 2y 4 0 的2y50，x距离最大，此时zmax 21.方法二由图可知，阴影区域内的点都在直线x 2y 4 0 的上方，显然此时有x2y 4>0，3于是目标函数等价于zx 2y4，即转化为一般的线性规划问题显然，当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax 21.思维升华对线性规划问题的实际应用，关键是建立数学模型，要找准目标函数及两个变量，准确列出线性约束条件，然

8、后寻求最优解，最后回到实际问题(1) 已知 x，y 满足约束条件x y10，当目标函数 z ax by( a>0，b>0)2x 30，y在该约束条件下取到最小值2 5时， a2 b2 的最小值为 ()A 5B 4C. 5D 2(2)(2017 ·杭州调研 ) 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4吨，硝酸盐18 吨；生产1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1 吨，硝酸盐15 吨现库存磷酸盐 10 吨，硝酸盐66 吨，在此基础上生产这两种混合肥料如果生产1 车皮甲种肥料产生的利润为10 000 元，生产 1 车皮乙种肥料产生的利润为

9、5000 元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是_元答案(1)B(2)30 000解析(1)画出满足约束条件的可行域如图所示，可知当目标函数过直线x y 1 0 与 2x y 3 0 的交点 (2,1) 时取得最小值， 所以有 2ab2 5. 因为a2b2表示原点 (0,0)到点 (， ) 的距离的平方，所以2b2的最小值为原点a ba到直线 2a b250 的距离， 即(22| 25|22的最小值是 4，故a b ) min 22 2，所以 a b2 1选 B.(2) 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮，则 z 10 000 x 5 000 y，约束条件为44x y10，18x

10、15y66，画出可行域如图所示，由图可知，x0，y0，在 D(2,2)处 z 有最大值，且z 10 000 ×25 000 ×2 30 000( 元 ) max题型三基本不等式的应用例 3(1) 在面积为定值9 的扇形中，当扇形的周长取得最小值时，扇形的半径是()A 3B 2C 4D 5a2 12(2)(2016 ·浙江五校第一次联考) 已知 a>0，b>0，c>1，且 ab 1，则 ( ab2) · c c 1的最小值为 _答案(1)A(2)4 22解析(1) 设扇形的半径为r ，其弧长为 l ，1由题意可得 S2lr 9，故 lr

11、18.扇形的周长 C2r l 2 2rl2 2×18 12，当且仅当 2，即r 3， 6 时取等号rll2 12b2222 b2aaaaab(2) ab abab2ab2ab b a22b · a 2 2 22，2ab当且仅当b a，即 a21，时等号成立，a b 1，b22a2 122( ab 2) · c c 12 2cc 152 2 2( c 1) c 12 22 2 c22c 1 2 2 4 2 2，22当且仅当2 2( c 1) c 1，即 c 1 2 时，等号成立综上，所求最小值为422.思维升华(1) 应用型问题解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，

12、建立数学模型(2) 应用基本不等式求最值要注意检验等号成立的条件，不要忽视问题的实际意义33(1) 设 x， y 均为正实数，且 2 x 2 y 1，则 xy 的最小值为 ()A 4B4 3C 9D 16(2) 某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000 元 /m2；材料工程费在建造第一层时为400 元 /m2，以后每增加一层费用增加40 元 /m2. 要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成_层答案(1)D(2)1033解析(1) 由 2 x 2 y 1 可得 xy 8 x y. x，y 均为正实数， xy 8 xy8 2xy( 当且仅当

13、 x y 时等号成立 ) ，即 xy 2 xy80，解得xy4，即 xy16，故 xy 的最小值为 16.(2) 设应把楼房设计成 x 层，每层有面积y m2，则平均每平方米建筑面积的成本费为2 000 y y×400 y×440 y×400 xkxy2 000 20x38022 000 ·20x 380 780，当且仅当2 000 20 ，xxxx即 x10 时取等号，故应把楼房设计成10 层题型四绝对值不等式例 4设不等式 | x 1| | x1| 2的解集为M.(1) 求集合 M；115(2) 若 x M， | y| ， | z| ，求证： | x

14、 2y 3z| .693(1)解 x<1，? x?；22x61x1，? 1x 1；22x>1，?x?，2x2综上所述，不等式的解集即集合M为 1,1 (2) 证明| x 2y 3z| |x| 2| y| 3| z|1 1 5 12× 63× 9 3，5|x2y 3z| 3.思维升华(1) 解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、 平方法、 构造函数法等(2) 利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求取值(1)(2016·杭州质检 ) 已知函数 f ( x) | x 5| | x 3| | x 3| | x 5| c，若存在正常数，使( ) 0

15、，则不等式f( )<f( ) 的解集是 _mfmxm(2) 不等式 | x 2| | x1| a 对于任意 x R 恒成立，则实数a 的取值范围为 _答案(1)( m， m) (2)( ， 3解析(1)由 | x 5| | x 3| | x 3| | x 5| | x 5| | x 3| | x 3| | x5| 可知，函数 f ( x) 为偶函数， 当 3 x3，得 f ( x) 的最小值为16 c. 结合题意可得 c16.由 f ( m) 0 得 f ( x)< f ( m) ，即 | x 5| | x 3| | x 3| | x 5| c<0，结合图形可知，解集为 (

16、m， m) (2) 当 x( ， 1 时， | x 2| | x 1| 2 x x 1 12x3；当 x( 1,2) 时， | x 2| | x 1| 2 x x 1 3；当 x2 ， ) 时， | x 2| | x 1| x 2x 1 2x13，综上可得 | x 2| | x1| 3， a3.21解关于 x 的不等式x (2 m) x 2m<0.当 m>2 时，不等式 ( x2)( x m)<0 的解集为 x|2< x<m ；7当 m<2 时，不等式 ( x2)( x m)<0 的解集为| < <2；x m x当 2 时，不等式 ( 2)

17、(x )<0的解集为 ?.mxm综上所述：当>2 时，不等式的解集为x|2<< ；mx m当 m<2 时，不等式的解集为 x| m<x<2 ；当 m2 时，不等式的解集为?.2已知函数f ( x) x26x 9x2 8x 16.(1) 求 f ( x) f (4) 的解集；(2) 设函数 g( x) k( x 3) ， k R，若 f ( x)> g( x) 对任意的 xR 都成立，求 k 的取值范围解(1) f ( x) x2 6x9x2 8x 16x2x2 | x 3| | x 4| ， f ( x) f (4) ，即 | x 3| | x4

18、| 9，x 4， 4<x<3，x3，或或3 x x493 x x49x 3 x49，解得 5或x4，x f ( x) f (4) 的解集为 x| x 5 或 x4 (2)f ( x)> g( x) ，即 f ( x) | x 3| | x 4|的图象恒在 g( x) k( x 3) 图象的上方，2x 1，x 4，又 f ( x) | x3| | x4| 7，4<x<3，2 1，x3，x(x) (x 3) 的图象恒过定点(3,0) ，作函数yf(x) ， () 的图象如图，其中kPB2，gkPyg xA( 4,7)， kPA1，由图可知， 要使得 f ( x) 的图

19、象恒在g( x) 图象的上方， 则需 1<k2，实数 k 的取值范围为( 1,2 3某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材8料 A，B， C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料甲( 吨)乙( 吨)资源数量 ( 吨)A1150B40160C25200如果甲产品每吨的利润为300 元，乙产品每吨的利润为200 元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？解设工厂一周内安排生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，所获周利润为z 元依据题意，得目xy50，4x160，标函数为z300x，约束条件为2x 5y200，200yy0，x0，欲求目标函数z

20、300x200y 100(3 x 2y) 的最大值， 先画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，则点(40,0)， (40,10)， (50100) ， (0,40)，3ABC3D作直线 3x 2y 0，当移动该直线过点B(40,10)时， 3x 2y 取得最大值，则z300x 200y取得最大值 ( 也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得) 故 zmax300×40200×10 14 000.所以工厂每周生产甲产品40 吨，乙产品10 吨时，才可获得最大周利润，最大利润为14 000元4(2016 ·全国丙卷) 已知函数f ( x) |2 x a| a.(1) 当 a 2 时，求不等式 f ( x) 6的解集；(2) 设函数 g( x) |2 x 1|. 当 xR 时， f ( x) g( x) 3，求 a 的取值范围9解 (1) 当 a 2 时， f ( x) |2 x 2| 2.解不等式 |2 x 2| 26，得 1 x3.因此 f ( x) 6的解集为 x| 1 x3 (2) 当 x R 时， f ( x) g( x) |2 xa| a|1 2x| |2 x a 1 2x| a |1 a| a，1当 x2时等号成立，所以当xR时，f(x) () 3