重庆大学高数工学下期末试题五含答案

1、a A卷B卷一、选择題(每小3分，共18分)XX大学髙等数学(工学类)课程试卷20-20学年第学期开煤学院:数锐学院课程号：考试日期:考试鈕开卷点闭卷 其他考试时间：120分并II号二三五A七A九十总分得分考试提示1 严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试;2考试作弊，留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他 人考试、两次及以上作弊等，属严重作弊，开除学籍.(A) y = + 1 (B) y = + CX' X(C) y = - + (D) y = - + CXX知识点：ta分方程，难度等级笞案:D分桥:將方程改写为字=4,并枳分，得通解>=-丄+C,故应dx 对x选(D).命

2、题人-组题人 审题人-3.设空间区域d X2 + y2 +Z2 <R2, H JjJ yjx2 + y2 + z2dv =().n(A) 4(B)-4;(C)-/?4 (D)2兀疋33命知识点:三重积分廿算，难度等级2|4.若厶是上半椭圆x = acost y=bsint取顺时针方61 JI jY/A-AYfy的值为答案:A回优质资:)教务处制(A)0(B)6/Z? (C)ab (D)mb2知识胃:对坐标的曲线稅分，难度等级:1答案:C分桥：题中半椭圆面枳为彳心要用榕林公式，添有向线段 厶：y = 0(x: -ci > a).4=| 2dxdy = Tvab, J = 0.故选 C

3、.r-L d厶5.设函数f(x),x>0连续，并对x0的任意闭曲线乙有 哲 4x3ydx + xf(x)dy = O,且 /=2,则 f(x) = ()(A) 4x3 -12x2 + 24x-24(B)4x3-12x2 + 24x - 24(C)Y+i(DM+丄知识点:对坐标的曲线稅分，稅分与路径无关，傲分方程难度 等如3.答案:D分乐由条件知，枳分弓路径无关，有警=警4八加+妙3A,B选项显然不满足方程，而C含常数，也不能满足 方程，故选D.验证D满足，或用一阶线性撤分方程求出为D.6.曲面包含在柱面x2 + r = 2x内部朋部分面枳 =( )(A) 7： (B) y/lrr (C)

4、(D) x/5如识点：U面面积，难度等级2答案:B分桥：在心投影区域D:F + y*2x,化为二重枳分为 jj41dxdy = V2/r,选 B.D二、填空題(每小題3分加8分)7级数£冥的和为n-1(S)!知识总级数的和难度等级2答案:e分析:f?r=l = X- = X = e'2)!台川台一1)!x = acost& j (x2 +y2+z2)t/5 =,其中 C 为期线，y = asin/,(05/52龙)的一a = bt.知识点:对加长的曲线枳分，难度等级:1.答案：二(3/ +4/r7?2)J/ +/.解哪长的撤分为d,硏齐于是J (x2 + y2 + Z

5、2)ds = J(F + 叫:(/ +1用)山=芈(3/ +4fr2b2)Ja2 +b2.9.过巳知点A (1,2,-1)和B (-5,2,7)作一平面，使该平面与兀轴平行，则该平面方程为知识点:平面方程，难度等级2§ 案:y-2 = 0.-9飞 *分析:平面的法向量亓丄n±F,® h = ABxT= -6 0 6 =(0,6,0),111 0 0点 A (1,2,-1),平面方程为 0 (x-l)+6 (y-2)+0 (z-0) = 0,即 y-2 = 0.10.函数“ /在点(1,2,-1)处沿a = (1,2,-2)方向的方向导数为知识点:函数的方向导数难度

6、等级：1答案：OI2_少duox解：Q = (12-2) => cos a = ,cosp = ,cos / =7 V' J1=y x= ；(1.2.-1) 1】2-1) 2du6 (L2.-1)lnx-zr"1(1.2.-1)=0；duYz-=x(1.2.-1)In x v: In y(1.2.-1)i ii=> =x- = .6a 2 3 611.设工为平面3x + 2y + 2辰=6在第一扑眼的部分的上侧，将JJ Rdxdy+ Pdydz+Qdzjdx化为对面枳的曲面枳介的结果为V知识点:两种曲面稅分之间的转换难度等级2答案：0(|卩+|。+挈恥优质资】J

7、(2a - y)dx + xdy = J： (2a -6/(1-cos/)«(! -cos t) + a(t 一sin t)a sin tdt分桥:第二型曲面化为第一型曲面枳分，只需求出有向曲面IB的单位法向量，与被枳向量函数作内枳即可，平面法向量为3,2,2冋,长度为5故得结果.12.设是圆锥面z = yjx2+y2被圆柱面X2 + y2 = 2ax所截的下部分，则 jj g + yz + zx)dS =V知识:对面稅的曲面稅分，对祢性难度等级：3 答案:罟屁分桥:曲面关于X轴对祢，小+ yz为关于y的奇函数，故只需算ZX的枳分值,.T 2/TCOS &«J 3A

8、Z/S = JV2fZxz/y =( 72,3 cos Odr = -±£%"To 5三、廿算題(每小題6分，共24分)13.廿算枳分(2-)炖+呛,其中C为瞿线x =(【(/_sin/),y = «(I-cos/) (0</<2龙)的一拱.知识点:对坐标的曲线积分，难度等级：2分桥:已知了稅分路径的参数方程，直接代入廿算税分.解:由题设 dx = a(l- cos t)dt,dy = a sin tdt.于是=cr t sin tdtJo、r I?兀=cos / - sin=2zra J 14.求 xsin OdO + (x3 - 2x2

9、cos 0 + cos 0)dx = 0 的通解.知识虑:撤分方程,变量代換，一阶线性協分方程难度等级：2分析:sin6W& = dcos&,若令cos0=z,原方程可化为一阶线性方程.解鬧原方程改写为J血&心cos 8dx十？ © &dx = xdx.X令一泌.呱Jv = _-vsin + cos.v于是方程化为XJC空+ 2g dx这是一阶线性非齐次方程由通解公式y = ex (J xex dx + C) = + Ce*.故 cos & =丄 x + Cxex 215. it算犖打哼,其中是由曲面，+尸=疋強平面7 x- +>'

10、;- +zZ = RiZ = -R (尺>0)所围成立体表面外UJ.知识点:对坐标的曲面枳分，高斯公式难度等级：3 分析:利用高斯公式并注意对称性.解:利用高斯公式，并注意对祢性，知z a2 -+-y2 4-z2 y 疋 + z2优质资:=2匚占站匸产齐y=2 arctanze R2RR 2亠.2f f xdydz + zdxdy 7T 八16. ii算第二类曲线枳分y2dx+z2dy + x2dz,其中厶为球面X2 + y2 +Z2 =R2与柱面对X2 + y2 = Rx(z A 0,/? > 0)的交线，其方向是面对着正x轴看去是反时针的.知识点:对坐标的曲践稅分，斯托克斯公式

11、,对称牲难度等圾：3分析:利用斯托克斯公式，合一投影，并注意对称性的使用.dxdz解：0 ydx + zrdy + xdz =JJ 三dz.dxd勿*>dxdyddz.X2+ xdzdx + ydxdy+ y）clxdy（ D“关于X轴对称，用,=是关于$的奇函数）=一2耳 cos&/& 广”，d/*4 , r-= -/?3f2c°s OdO3 J。解答JS（每小題6分，共12分）17.判断级数£（空一1一丄）的敛散性.知识点:级数敛散性的判斷难度等级：2分林:取£占用比较圳别法的极限形式-,1C11 1 x 1x 1 t解：iim =iim

12、£zi = iim£l = lTOO 1.5 f v-MJ 2x 27由干£ A收敛,故级数£(芫1-丄)收敛.n-1 T2舁18.求函 U z = x2+3y2-2x 在fl 域 D = (x,y)l + +S1上的最大值94和最小值.知识点:二元函数在roM上的最值难度等圾：2分析:先求函数的驻点，得到在区域内部可能的最值点,然后求 边界上可能的最值点.解:由fi=n=°得内驻点W且如0)".在边界1上 Zv=6v = 09412Z =-x2 -2x + 12(-3<x<3). z = -x-2<0.z,(-3)

13、 = 15 可=3.比较后可知函数z在点(1,0) ®最小ffl z(l,0) = -1在点(-3,0)取最大值 z(3,0) = 15.五、证明題(每小題6分，共12分)19. 设函数 F(x,y,z) 具有一阶连续偏导数，且对任意实数有F(U,gz)"F(x,y,z)伙是自然数),试证曲面F(x,.v,z) = 0上任一点的切 平面都通11 一定点(设在任一点处，有F： + F； + F：工0).优质资料知识点:齐次函数,切平面.难度等圾:2分林：曲面F(x,y, z)=0在一点(兀,儿,绻)的切平面方程为 巴(x-兀)+巴心-儿)+ F； (z-心) = 0,求出li

14、t方程，可以发规坐标原点 (0.0,0)满足方程.证明：由已知条件可得xFx + yF、+zF.= kF.曲面上点g，儿心)处的切平面方程为FJC(x-xo) + Fyy-yo)+Fz(z-zo) = O.即xFx + yFy + zF. = x0Fx + y0Fy + zF. = kF(xotyo,zo) = 0.易知A=0,y=0,z = 0满足上述平面方程，所以曲面的任意切平面 那通过定点(0,0,0) x 120. 设P">“单调增，冃工丄收敛.单调规证明:讣fx收敛.72=1知识点:级数敛散性的判趾难度等如2A + £ + + E+i 呂 + E + + E

15、=（ + l）（A+ 鬥 + 人）一（£ + 鬥+ 二 +代+1） （A + 马 + +化）（片 + 爲 + +£?+）_呂+ £+垃_打+1=0一（片+£+坨）（斥+鬥+E+J 单调;屮+.+化2n2n 2=5=,人+£+.+弓”叱 pn8 1X而工右收敛，由比较判别法,m”收趺n=l *n?=1九应用題(毎小題8分,«16分)21. 设在my面上有一质量为M的匀质半圆形薄片，占有平面I刑域 D = (x,j)lx2 + y2</?2,j>0,过圆心0垂直于薄片的直线上有一质 量为加的质点P,OP = a.求半圆形薄片对

16、质点P的引力.知识点:平面薄片对质点的引力，难度等级：3分桥:由引力公式，建立二重枳分廿算解:设P点的坐标为(0,0山)薄片舸面密度为亠趕 设所求引力为F = (F“F“F)由于薄片关于y轴对机所以引力在尤轴上的分量Fx = 0,而尸厂 Gjjx + J；/严”Wj>J：启降心=以G： sin OdeC , . P 6 dpJoJo(0 +CR2= 27gJ 厂一dp% (p + a2 y 2亠);兀 Rayja2 +R一 “q：呵I”：晋“卩2GmM 八 a 、22. 一质量为加的船以速度卩。沿直线航行,在心0时，推进器停止工作（动力关I刃）假设水的阻力正比于叭其中“为一常数,”为瞬时速度,求速度与滑行更离的函数关系.flliR点:微分方程模型难度等级：2分林:据牛顿第二定律建立協分方程.解：船所受的力二向前推力-水的阻力=0秋，加速度为 "牛.于是，由题设有(itdv n川=_kv ,vl/Uj=v0at设距离为x = x(O,ffl上述方程化为dvdv dxdvm =m=