2020新教材人教A版必修第二册第七章7.27.2.2

1、 722复数的乘、除运算 独师独具內獰丨 课程炼准；皐握址数代数良达式的乘、除运耳. 教学垂点订.址数代枚形式的乘.除祛运厘一乙理解并学黒如散的除祛运龍的实质是分母实数化问題一 教学难点；井匏豆数的概念及i的爭的周期性， 核心概念掌握 - 知识导学 - 知识点一 复数的乘法法则 设 zi = a+ bi, Z2= c+ di(a, b, c, d R)是任意两个复数，那么它们的积(a + bi)(c+ di) = (ac- bd)+ (ad+ bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2换成 1，并且把实部和虚部分别合并即可. 知识点二 复数的乘法运算律

2、 对于任意 zi，z2，z3 C，有 交换律：Z1Z2 = Z2Z1 ； 结合律：(Z1Z2) Z3 = Z1 (Z2Z3)； 分配律：Z1(Z2 + Z3) = Z1Z2 + Z1Z3. 知识点三 复数的除法法则 由此可见，两个复数相除(除数不为 0)，所得的商是一个确定的复数. - 新知拓展 - 虚数单位 i 的乘方 计算复数的乘积要用到复数单位 i 的乘方，i 有如下性质： .4n+1 4n+ 2 4n+ 3 4n / i = i ； i = 1 ； i = i ； i = 1. 说明：(1)上述公式说明 i 的幕具有周期性，且最小正周期是 4. (2) n 可推广到整数集. (3) 4

3、k(k Z)是 i 的周期. (a+ bi) (c+ di) = ac+ bd c2+ d bc ad T+7T+7i(ai(a， b，c，d R，且 c+ di 工 0). (4) 与 i 有关的几个结论： .2 . . 2 . 1 + i , 1 i , (1 (1 + i)i) = 2i2i， (1 (1 i)i) = 2i2i，1 j =i i， 1 + j = L 3 评价自测 1. 判一判(正确的打“V”，错误的打“X”) 若复数 Z1= 1 + 2i, Z2= 3-i，则复数 Z1Z2的虚部为 5.( ) (2) 若 Z1， Z2 C,且 z1+ z2= 0,贝U Z1 = Z2

4、 = 0.( ) (3) 两个共轭复数的积为实数.() 答案 (1)V (2)X V 2. 做一做 3 (1) 复数右二 _ . (2) 复平面内，复数 z =右+为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第 _ 限. 1 (3) _ 复数 2-T的共轭复数是 . 3 3 答案 3 刁(2)四(3)2 - i 核心素养形成 题型一 复数的乘、除运算 A . 0 B . 2 C.- 2i D . 2i (2)若复数 Z1 = 4+ 29i，Z2= 6+ 9i，其中 i 是虚数单位，则复数(Z1-Z2)i 的实部 为 _ . 3 + 2i 3-2i 解析解法一： - 2-3i 2+ 3i 3 + 2i 2

5、 + 3i 3 2i 2 3i 2-3i 2+ 3i 6+ 13i 6 6+ 13i + 6 4+ 9 3+ 2i 3-2i i(2-3i) - i(2 + 3i) 解法二： = =i + i = 2i. 2-3i 2 + 3i 2-3i 2+ 3i (1)复数 3+ 2i 2-3i 26i 13 2i. (2)(Z1 - Z2)i = (4 + 29i) - (6 + 9i)i = (- 2 + 20i)i = - 20- 2i， (Z1 - Z2)i 的实部为一 20. 答案D (2) 20 金版点睛 (1) 复数的乘法可以把 i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把 i2化 为-1

6、,进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方 法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数， 若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i). (2) 实数集中的乘法公式、幕的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成立. 跟踪训练1 计算：(1)( 2 + 3i)申 + 2i); (2)(2 i)( 1 + 5i)(3 4i) + 2i. 2+ 3i ( 2+ 3i(1 2i 解原式= = 1+ 2i (1+ 2i1 2i) 2+ 6 + 3+ 4 i 4 7 = = 5+5i i. 1 + 2 5 55 5 原式=(3 + 11i)(3 4i) + 2i = 53+ 21i+ 2i = 5

7、3+ 23i. 题型二在复数范围内解一元二次方程 例 2 在复数范围内解下列方程. 2 (1) 2x2 + 6= 0; 2 (2) x + x+ 4= 0. 2 2 解(1)由 2x + 6 = 0,得 x = 3. 因为(,3i)2= ( ,3i)2= 3， 所以方程 2x2 + 6= 0 的根为 x=. 3i. (2)配方，得 x+1 1 2=乎， 因为于丄-吵 i2丈 所以 x+ 2= pi， 所以原方程的根为 x=22 彳 金版点睛 2 实系数一元二次方程 ax + bx+ c= 0(a，b，c R，a0)在复数范围内定有两 个根: (1)0,方程有两个不相等的实数根 X1,2= 舊

8、= 0,方程有两个相等的实数根 X1,2 2a. (3)&0,方程有一对共轭虚根 X1,2= 2 跟踪训练2 在复数范围内解方程 2x2 + 4x+ 15= 0. 解配方，得(x+ 1)2= 夢， 所以原方程的根为 x=1 题型三复数 in的周期性运算 例 3 计算：(1)铲%+亡2020; (1 i ) 1 1 + i 丿 1 + i + i2+ i3+ i2019. 2020 2 2+ 2i 2i 2 2 1010 1 1 1010 2 =肓+ 林丿=i(1 i(1 + i)i) + +G G = 1 1 + i i + ( (- 1010 i) = 1 + i 1 = i 2.

9、解法一：Tin+ in+1 + in+2+ in+ 3= 0，n N*， . .2 .3 .2019 .2 .3 “.4 .5 .6 .7、， ,.8 .9 .10 .11、 1 + i + i + i + + i = 1 + i + i + i + (i + i + i + i ) + (i + i + i + i ) + + (i2016+ i2017+ i2018+ i2019)= 1 + i + i2+ i3= 0. 2020 505x4 2 2019 1 i 1 i 1 1 解法二：1 + i + i + + i = = = = 0. 1i 1i , . * Ary i 的 n 次幕

10、的计算法则，即 nN 时，i = 1, 0 n 1 * =乎厶 所以 x+ 1 = |6 6i， 13 2 + 2i 解十+ 1 + i 金版点睛 n * in(n N )的性质 根据复数乘法法则，容易得到 .4n+1 4n + 2 4n+ 3 . i += i，i + =_ 1，i + =_ i， 因为 其中 i = 1， i = jn(n N ). 4n 4n+1 4n+ 2 4n+ 3 M 另夕卜，i + i + + i + + i 十=0. (1)当 z= 1 才时，z100+z50+ 1 的值等于() A . 1 B1 C. i Di 计算严、+严的值为 订i 丿 V3也 - 答案(

11、1)D (2) 1 + i 解析 (1)tz2=壬 3 = 2 = i, z4+ z5 +1 = ( i)50 + ( i)25 +1 = ( i)225+ ( i) + 1 = 1 i + 1 = i 3 14 答案5+硬 2 2 2 一 i (2 i) 解析(1 + i)2 = 2i 2+ i 4. _ 方程 7x2 + 1 = 0 的根为 . 原式=舟匸6+二 + ,3i ,3+ 2i 6 6+ 2i + 3i ,6 =1 + i. 随堂水平达标 1.复数 i(2 i)=( ) A. 1+ 2i B. 1 2i C . 1+ 2i D. 1 2i 答案 A 解析 i(2 i) = 2i i2 =1+ 2i.故选 A 2 ) 2.复数 1 .等（ i A. 1 + i B . 1 i C. 1 + i D . 1 i 答案 A 2解析 2(1 + i i) 2(1 + i) 1 + i.故选A. 1 i 1 i 1 + i 2 2 i 3. (1 + i)鮎 1 = 0 的根为 x= 5. 把复数 z 的共轭复数记作刁，已知 i z = 4+ 3