借题发挥1题多变

1、借题发挥一题多变蒲岐中学姚鹏飞各位评委，老师，你们好:我今天说题的题目是借题发挥一题多变我说题的内容定为以下几个方面：一、原题再现本题出自乐清市2012学年第一学期九年级学业质量测评 数学试卷的第9题，这是一道选择题。1 k如图：直线y -x 1与反比例函数y - x 0的图像交于2 x点A，与x轴相交于点B,过点B作x轴垂线交双曲线于点C,且AB=AC. 则k的值（）A. 2B. 3C. 4D.6题目立意1、知识立意：本题主要考查：一次函数、反比例函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数的面积不变性，等腰三角形 三线合一 ”的性质, 同底不同高、同高不同底的三角形面积的比，相似三

2、角形的判定和性质等。2、能力立意：考查学生等腰三角形、反比例函数等问题中辅助线的添加方 法、培养学生由形想数将线段长及线段的数量关系转化为点的坐标之间关系的能 力，用数解形培养学生分析问题、解决问题的能力。3、构造意识和创新思维：根据反比例函数的面积不变性构造两个面积相等 的三角形，利用三角形面积比与底、高之间的关系转化为坐标的关系求解析式。1 k本题的条件：直线y X 1，反比例函数y - x 0 ，AB=AC，过点B2 x作x轴垂线交双曲线于点C.隐含条件：B、C两点的横坐标相同，A点的两个坐标之间满足一次函数解 析式，A、C两点坐标乘积为定值，这也是反比例函数的性质，反比例函数图像 上的

3、点的坐标乘积为定值是解决本题的切入点。学生已经学习了一次函数、反比例函数的解析式及其求法，但是本题学生还 是会碰到一些难点：如对于求函数解析式而点的坐标未知的题目， 还需要利用反 比例函数上点的坐标的特征来求坐标，对于等腰三角形如何添加辅助线、如何利 用三角形中线段的数量关系得到 A、C两点坐标之间的关系，对于坐标，需要设几个未知数，利用什么来求出这些未知数等。三、背景出处（原型题）这是一道一次函数与反比例函数图像的综合题，主要有这么两种相交的情况，本题就是将这两个基本图形进行了创新。本题是对课本练习、课外习题的拓展延伸，此题在反比例函数的图像和性质 研究章节均有类似题型涉及（原型题）。条件、

4、解题方法基本相同，只是进行了 不同程度的改编。体现了近年来中考试题 追根溯源，回归课本”源于课本，高 于课本”的理念,因此我们在中考复习中应当充分重视教材，研究教材，汲取教材的 营养价值，发挥课本的示范功能。四、解题策略i1、理解题意，过A点作AD丄BC于点D,利用一次函数i1解析式，求出它的图像与坐标轴的交点坐标分别为E （0, -1）D和 B (2, 0)。由 AB=AC 得到 BD=CD.oJ xE解法一：设点A坐标为（x，y），（ y 0）则点C坐标为（2，2y），由k=xy/口1得: xy=4y，x=4，y=4-1=1，所以 k=42要引导学生对于点A，两个坐标都未知，因此需要设为（

5、x，y），而点C与 点A在纵坐标上是2倍的关系，而横坐标已知，因此设为 C（2, 2y），由k=xy（y 0），解出x=4,弓I导学生，这个时候该利用什么函数求出y的值。通过结论再反思，对于反比例函数，横纵坐标之间存在什么样的关系：y与x成反比，1即点C的纵坐标为点A的2倍，则点C横坐标为点A的-，这也与反比例函数2这个名称相符合。因此，利用这个规律，其实可以很快求得x=4。解法二：由 OBEDAB，得：型丄，设 BD=y,则 AD=2y，点 AAD OB 2坐标为（2+2y,y）,点 C 的坐标为（2,2y）,则k=4y=（2+2y）y，y11，y20（舍去），则k=4也可以利用第一种解法的

6、结论，则 2+2y=4，y=1,k=4.要引导学生，本题中除了等腰三角形外还有其他三角形吗？利用相似三角形判定和性质可以知道点 A的横纵坐标之间的关系，在利用坐标乘积为定值，则 可以求出y的值来，要注意隐含条件：（y 0）解法三：禾用反比例函数的面积不变性来解:Q SVOBCk1SVOAF2BDBC2SVOAB1skVOBC24，OF 2OB 4,要引导学生：反比例函数还有什么特殊的性质：面积不变性，有垂线则有高，因此可以跟三角形的面积联系起来，同底不同高，面积 之比为高之比，而同高不同底，面积之比为底边之比，因此得到点A的横坐标,则纵坐标可以通过一次函数的解析式来求，则 k可解。还可以继续提

7、问学生：对于这个问题，你还能提出什么新的问题 ?如:1求直线AC的函数解析式？2、连结0C，求四边形OBAC的面积？如何求？面积的和差，害IJ补法。3、双曲线上是否还存在点与 A、B两点构成等腰三角形？有几个这样的点？ 怎么找出来，点的坐标如何求？我想只要启发学生思考，学生总会提出各式各样、精彩纷呈的问题。反思我们平时教学中应该引导学生如何寻求解决问题的切入点，如何引导学生发现问题、提出问题、解决问题，如何培养学生的创新思维等五、思想方法本题涉及方程与函数、数形结合、转化等思想方法，将等腰三角形或相似三角形内线段的数量关系转化为坐标系下点的坐标的数量关系， 将面积的倍数关系 转化为线段的倍数关

8、系，再转化为点的坐标的倍数关系，根据反比例函数的图像 和性质，由形想数，以数解形以及方程的思想，数形结合得到点的坐标。再求出xk的值六、引申拓展根据原图形及相应的条件，我对此题做下列的拓展:如图，已知一次函数y x 1的图象与反比例函数y(1) 将直线进行平移，条件进行一些更改。图象在第一象限相交于点 A，与x轴相交于点C，AB丄x轴于点B， AOB的面积为1,则AC的长为 (保留根号).(2) 连结0C，将0C特殊化，使得0C与AB平行。其他条件做一些变化如图'直线y 3x与双曲线y-(xx49k将直线y -x向右平移-个单位后，与双曲线y - （ x 0）3 2xCO交于点A，与x轴交于点B，若C02，则k.AB（3）将原题中的等腰三角形换成直角三角形的背景。k如图，已知双曲线y （k>0）经过直角三角形OAB斜边0B的中点D，x与直角边AB相交于点。若厶OBC的面积为3,则k=.七、感悟与反思：通过本题的拓展变式，启发学生思考，整个教学活动，从学生实际出发，引 导学生通过探索、交流等手段，获得知识，形成技能，发展思维。在教学活动中, 教师要积极充当教学活动的组织者、引导者、合作者，让学生产生一种渴望学习