2020高考文数(新课标版)教学案第8章第3节圆的方程

1、1第三节圆的方程考纲传真1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x a)2+ (y b)22= r2(r o)圆心(a，b)，半径 r一般方程x2+ y2+ Dx+ Ey+ F = o， (D2+E24F o)圆心;一 I，E， 半径 1/D2+E2 4F2点与圆的位置关系点 M(xo, yo)与圆(x a)2+ (y b)2=r2的位置关系:2 2 2若 M(xo, yo)在圆外，贝U(xo a) + (yo b) r .ooo(2) 若 M(xo, yo)在圆上，

2、贝U(xo a) + (yg b) = r .ooo若 M(xo, yo)在圆内，则(xo a) + (yo b) 0),其中 a, b 为定值，r 是参数；(2) 半径相等的圆系方程：(x a)2+ (y b)2= r2(r0),其中 r 为定值，a, b 是参数.基础自测1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()方程(x+ a)2+ (y+ b)2=t2(t R)表示圆心为(a, b)，半径为 t 的一个圆.()(3) 方程 Ax2+ Bxy+ Cy2+ Dx + Ey+ F = 0 表示圆的充要条件是 A=CM0, B=

3、0, D2+ E2 4AF0.()(4) 若点 M(X0,y)在圆 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F = 0 夕卜，则 x0+ yf+ Dx+ Ey+ F0.()答案“xVV2. (教材改编)已知点 A(1, 1), B( 1,1),贝 U 以线段 AB 为直径的圆的方程 是()A. x2+ y2二 2B . x2+ y2= 2亠22 ,小22 ,C. x + y = 1D . x + y = 4A AB 的中点坐标为(0,0), |AB| =：1 1 2+ 1 12= 22,所以圆 的方程为 x2+ y2= 2.3 .点(m2,5)与圆 x2+ y2= 24 的位置关系是()A.点在圆外B

4、.点在圆内C.点在圆上D .不能确定A 将点(m2,5)代入圆方程，得 m4+ 2524.故点在圆外，故选 A.4.若 x2+y2 4x+ 2y+ 5k= 0 表示圆，则实数 k 的取值范围是()A. RB . (, 1)3C.( x,1D.1,+x)B 由方程 x2+ y2 4x+ 2y+ 5k= 0 可得(x 2)2+ (y+ 1)2= 5 5k,此方程表4示圆，贝 U 5-5k0，解得 k0)，又圆与直线 4x-3y= 0 相切，|4aT= 1,解得 a = 2 或 a=-*舍去).圆的标准方程为(x- 2)2+ (y- 1)2= 1.故选 A.1题型们求圆的方程1.过点 A(1, 1)

5、, B(- 1,1),且圆心在 x+ y- 2= 0 上的圆的方程 是()A. (x- 3)2+ (y+ 1)2= 4B . (x+ 3)2+ (y- 1)2= 42 2 2 2C. (x- 1)2+ (y- 1)2= 4D . (x+ 1)2+ (y+ 1)2= 4C AB 的中垂线万程为 y = x,所以由 y= x,x+ y-2= 0 的交点得圆心(1,1), 半径为2,因此圆的方程是(x- 1)2+ (y- 1)2= 4,故选 C.2 已知圆心在直线 y= 4x 上，且圆与直线 I: x+ y- 1= 0 相切于点 P(3, -2),则该圆的方程是_.(x- 1)2+ (y+ 4)2=

6、 8 过切点且与 x+ y- 1= 0 垂直的直线为 y+ 2 = x- 3, 与 y = 4x 联立可求得圆心为(1, 4).所以半径 r = A 3 1 + 2 + 4 = 2,2, 故所求圆的方程为(x- 1)2+ (y+4)2= 8.3. (2018 天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0), (1,1), (2,0)的圆 的方程为.B. (x- 2)2+ (y+ 1)2= 12 2D . (x- 3)2+ (y- 1)2= 1A 由于圆心在第一象限且与课堂题型全突破孝点全面方5x2+ y2-2x= 0 法一：设圆的方程为 x2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0.下二 0

7、,圆经过点(0,0), (1,1), (2,0),A2+ D + E+ F= 0,4 + 2D + F = 0,P= 2,解得 E= 0,A圆的方程为 x2+ y2 2x= 0.F= 0.法二：画出示意图如图所示，则 OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆2 2 2 2心为(1,0),半径为 1,所以所求圆的方程为(x 1) + y= 1,即 x + y 2x= 0.71A0LBz规律方法求圆的方程的方法1 直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程 2 待定系数法1若已知条件与圆心 a, b 和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a, b, r 的值；2选择圆的一般方程，依据已知条件列出关

8、于 D, E, F 的方程组，进而求 出 D,E, F 的值.与圆有关的最值问题?考法 1 斜率型最值问题【例 1】已知实数 x, y 满足方程 x2+ y2 4x+ 1 = 0,则y的最大值为x_，最小值为_.63 3 原方程可化为(x 2)2+ y2= 3，表示以(2,0)为圆心，.3 为半径 的圆.x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，入所以设x=k,即 y= kx.当直线 y= kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值,|2k 0|此时；2=.3,解得 k=. 3.(如图所示)所以 X 的最大值为，3,最小值为3.入?考法 2 截距型最值问题【例 2】 已知点(x, y)在圆(

9、x 2)2+ (y+ 3)2= 1 上，求 x+ y 的最大值和最小值.解设 t= x+ y,则 y= x+1,t 可视为直线 y= x+1 在 y 轴上的截距， x+ y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和 最小值，即直线与圆相切时在 y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， x+ y 的最大值为.2 1,最小值为.2 1.?考法 3 距离型最值问题【例 3】 已知 M(x, y)为圆 C : x2+ y2 4x 14y+ 45= 0 上任意一点，且点Q( 2,3).求|MQ|的最大值和最小值；解由圆 C: x2+ y2 4x 14y+ 45= 0,

10、可得(x2+ (y 7)2 = 8,27圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r =2 2.又|QC|= .： 2+ 21 2+ 7-32= 4 2,|MQ|max= 4 2 + 2 2= 6 2,|MQ|min= 4 2-2 2 = 2 2.规律方法与圆有关的最值问题的三种几何转化法1 形如，形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题2 形如 t = ax+ by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.3 形如 m= x a2+ y-b2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.跟踪练习(1)如果实数 x, y 满足圆(x-2)2+ y2= 1,那么于的取值范围是(2)由直

11、线 y= x+ 1 上的一点向圆 x2-6x+ y2+ 8 = 0 引切线，则切线长的最小值为_.(1) 3，+(2) 7 (1)(x, y)在圆上，廿3表示的是圆上的点(x, y)与点的距离等于半径，即二 1,V1 + k24一3-4故取值范围是，+x !28(2)切线长的最小值在直线 y= x+ 1 上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)=8- 1= 7.到直线的距离为 d=|3- 0+ 1|=2 2,圆的半径为 1， 故切线长的最小值为9与圆有关的轨迹问题【例 4】 已知圆 x2+ y2= 4 上一定点 A(2,0), B(1,1)为圆内一点，P , Q 为圆上的动点.(1) 求线段

12、 AP 中点的轨迹方程；(2) 若/ PBQ = 90求线段 PQ 中点的轨迹方程.解设 AP 的中点为 M(x, y),由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x 2,2y).2 2因为 P 点在圆 x + y = 4 上,所以(2x 2) + (2y) = 4,故线段 AP 中点的轨迹方程为(x 1)2+ y2= 1.(2)设 PQ 的中点为 N(x, y),在 RtAPBQ 中，|PN|=|BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON(图略)，贝 U ON 丄 PQ,所以 |OP J |ON|2+ |PNf= |ONf+ |BN|2,所以 x2+ y2+ (x 1)2+ (y 1)2= 4.故线段

13、 PQ 中点的轨迹方程为 x2+ y2 x y 1 = 0.规律方法求与圆有关的轨迹问题的四种方法1 直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解2 定义法：根据圆的定义列方程求解.3 几何法：利用圆的几何性质得出方程求解4 代入法相关点法：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关 系式求解跟踪塚习 已知点 A( 1,0),点 B(2,0),动点 C 满足|AC|= AB|，求点 C 与点 P(1,4)所连线段的中点 M 的轨迹方程.I遛型3|10解由题意可知：动点 C 的轨迹是以(一 1,0)为圆心，3 为半径长的圆，方程为(x+ 1)2+ y2= 9.设 M(xo, yo)，则由中点坐

14、标公式可求得 C(2xo一 1,2yo 4), 代入点 C 的轨迹方程得 4x0+ 4(yo 2)2= 9, 化简得 x0+ (yo 2)2= 4，229故点 M 的轨迹方程为 x + (y 2) = 4.1. (2oi5 全国卷U)过三点 A(1,3)，B(4,2), C(1， 7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN 匸()A.26B. 8C. 4 6D. ioC 设圆的方程为 x2+ y2+ Dx + Ey+ F = o，D + 3E+ F + io = o，D = -2,则 4D + 2E+ F + 2。= o,解得 E = 4,D 7E+ F + 5o = o.F = 2o.圆的

15、方程为 x2+ y2 2x + 4y 2o= o.令 x= o,得 y= 2 + 2 6 或 y= 2 2 6, M(o, 2 + 2 6), N(o,2 2 6)或 M(o,2 2.6), N(o, 2 + 2 6), |MN 匸 4 ,6,故选 C.2 2x y2. (2oi5 全国卷 I )一个圆经过椭圆 16+；= 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 _ ./3 225x2+ y =4由题意知 a= 4, b= 2, 上、下顶点的坐标分别为(o,2),真题自主验效果近年灣題+感悟规律11(o, 2),右顶点的坐标为(4,o).由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过

16、点(o,2), (o,122), (4,0)三点.设圆的标准方程为(x m)3 4+ y2= r2(0m0),则3故圆心 M 的坐标为(m + 2, m),圆 M 的半径 r =m2+ 22+ m2.由于圆 M 过点 P(4, 2),因此APBP=0,故(xi 4)(X2 4)+ (yi+ 2)(y2+ 2) = 0,即 xix2 4(xi+ X2)+ yiy2+ 2(yi+ y2)+ 20= 0.m2+ 4= r2,(4 mf= r2,解得3m=2225r= 4.所以圆的标准方程为322冷x2+ y= 4 .133. (20i7 全国卷川)已知抛物线 C: y2= 2x,过点(2,0)的直线

17、 I 交 C 于 A, B两点，圆M是以线段 AB 为直径的圆.(1) 证明：坐标原点 O 在圆 M 上；(2) 设圆 M 过点 P(4， 2),求直线 I 与圆 M 的方程.解证明：设 A(xi, yi), B(x2, y2), I: x= my+ 2,x= my+ 2,2由2可得 y 2my 4= 0,贝 U yiy2= 4.y2二 2x2 2 2yi匹yiy2/又 xi= 2 , X2= 2，故 xix2= 4 = 4.因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为x芝二蔦5 i,所以 OA 丄 OB,故坐标原点 O 在圆 M 上.(2)由(i)可得 yi+ y2= 2m,2xi+ x2= m(yi+ y2) + 4= 2m + 4,21所以 2m m 1 = 0,解得 m= 1 或 m= p当 m= 1 时，直线