大学微积分l知识点总结一

1、大学微积分l知识点总结【第一部分】大学阶段准备知识1、不等式："ab2a_ . ab _ 2 b2 _ 2ab弓|申十比十十an ):n aia2-anaa? . an n n-a1a2.annTA_双向不等式：|a - b| <|a±b < a +|b两侧均在ab>0或ab00时取等号 扩展：若有y =x1x2 xn,且x1+x2+.+xn = p(p为常数)abc3a3 b3 c3 = 3abc, a ba2 b2则y的最大值为:x1 x2 . xn柯西不等式：设a1、a2、.a n, b1、区. bn均是实数，则有:幻力 +a2b2 +anbn 22

2、 +&2 2 +.(an 2 Wb 2 +M 2 +.十(bn f )当且仅当，a, =£bjQ为常数，i =1,2,3.n时取等号2、函数周期性和对称性的常用结论1、若 f (x+a) =±f (x+b),则 f (x)具有周期性；若 f (a+x) =± f (b-x), 则f (x)具有对称性。口诀：”内同表示周期性，内反表示对称性”2、周期性(1)若 f (x+a) =f (b+x),贝U T=|b-a|(2)若 f (x+a) =-f (b+x),贝U T=2|b-a|(3)若 f (x+a) =±1/f (x),则 T=2a(4)若

3、f (x+a) = 1-f (x) / 1+f (x),贝U T=2a(5)若 f (x+a) = 1+f (x) / 1-f (x),贝U T=4a3、对称性(1)若 f (a+x) =f (b-x),贝U f (x)的对称轴为 x= (a+b) /2(2)若 f (a+x) =-f (b-x) +c,贝U f (x)的图像关于(a+b) /2 , c/2 )对称4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。(1)若f(X)的图像有两条对称轴乂=2和乂加，则f(X)必定为周期函数，其 中一个周期为2|b-a| 。(2)若

4、f (x)的图像有两个对称中心(a, 0)和(b, 0) , (awb),则f (x) 必定为周期函数，其中一个周期为 2|b-a| 。(3)若f (x)的图像有一个对称轴x=a和一个对称中心(b, 0) , (awb),则f (x)必定为周期函数，其中一个周期为4|b-a| 。正弦sin ：=l余切 cot .:二 mn倒数关系：,一 1tan 一 =cotf商的关系：sin；: , 一 sec.: tan.=cos：cscf平方关系： 2 一2 .sin 二 cos : = 12 _1 - tan ： = 11 cot" =1余弦cos： =m l正割sec：= m正切 tan

5、一：二口 m余割csc：=- n.一 1sin.=csc.:1cos.=sec：cosf x -csc.:二 cot；二sin：sec.:平常针对不同条件的两个常用公式:2 -2 -sin 二 cos ; 11tan： *cot=1一个特殊公式:sin sin - sin - sin 二-sin f s sin - -二倍角公式:sin2A = 2sinA *cosA222，cos2A = cos A-sin A =1-2sin Atan2A =2tanA21-tan A半角公式:sin2 a =- 1-cosa222 cosa、1 )-J = 5(1 +cosa)sina 1-cosa1 c

6、osa sinaa) sina 1 + cosa cot - i ='<2 J 1 - cosa sina三倍角公式：sin3a =4sina ,sin +a f*sin - a (Tt、(JT、cos3a = 4cosa ,cos +a i*cos -a i<3)<3)(31、tan3a = tana ,tan +a i *tan - a i<3 J<3)万能公式:1 tan21-tan2两角和公式：sin F : =sin ： *cos:cos.: *sin :sin f-sin： *cos： -cos： *sin :cos : : =cos : *c

7、os： - sin： *sin : cos ：:- : = cos.: *cos： sin： *sin :tan：: tan:1 - tan *tan：tan；: - tan:1 tan.: *tan:和差化积公式：sin 1 sin = 2sin sin 二-sin =2cos1/2Sin_cos? cos =2cos i：Ei； cos - - ! 1cos【-cos = - 2 sin i : 2 sin u-:2tanA tanB =sin A B tan A BtanA-tanBcosA *cosB 1 - tanA *tan B sin A-B tan A -BcosA *cosB

8、 1 tanA *tanB积化和差公式: 1sin : *sin -=cos P -cos工-1-:1cos： *cos - = bos I" - Pcos。- -21sin : *cos - = sin。- l J rsini -2口诀：奇变偶不变，符号看象限证明：acoaA + bsinA = Ja2 +b2sin(A+ M )其中 tanM =a证：设 acosA bsinA = x *sin A Ma b '二 acosA+bsinA =x cosA + sinA !<x2-2由题，亘b=1,x xx = a2 b2原式得证4、数学归纳法数学上证明与自然数N有关

9、的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整 数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。例如：前n个奇数的总和是n2,那么前n个偶数的总和是：n2+n最简单和最常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法由下面两步组成：递推的基础：证明当n=1时表达式成立递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立(1)第一数学归纳法证明当n取第一个值团时命题成立，死对于一般数列取值为0或1,但也 有特殊情况假设n=k (k>no, k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立(2)第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题

10、P(n)验证n=no时P (n)成立假设no&n<k时P成立，并在此基础上，推出 P(k+1)成立(3)倒推归纳法验证对于无穷多个自然数n命题P (n)成立假设P (k+1)成立，并在此基础上，推出P(n)成立(4)螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题验证n=no时P (n)成立假设P(k)(k>n。)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k) 成立。5、初等函数的含义概念：初等函数是由幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生，并且能用一个解析式表 示的函数。【有理运算：力口、减、乘、除、有理数次乘

11、方、有理数次开方】【基本初等函数：对数函数、指数函数、幕函数、三角函数、反三角函数】6、二项式定理：即二项展开式，即(a+b ) n的展开式 a b n =Cn°an Cn nan'1 *b ' . Cnkan-k *bk . Cnnbn其中Cnk称为二次项系数Cnkan-k,bk叫做二次项展开式的通 项，它是第k+1项，用Tk4表示k-1 n - k 1 n k其中，a' =-1/- k-1 'C (k -1 !) *k7、高等数学中代换法运用技巧倒代换把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替，此种方法被称为“倒代换”法增量代换若题

12、目中已知x>m,则引入辅助元x=m+a(a>0),再将辅助元代入题中解题。此种代换方法称为“增量代换法”三角代换Jx1 1 +一 <e n a2、Ja2 x2、Jx2 +a2双代换nXlim ：引入两个辅助元进行代换n 二 yn8、其他一些知识点(1) 0不是正数，不是负数。是自然数。0是偶数，偶数分为：正偶数、负偶数 和0(2)正偶数称为“双数”(3)正常数：常数中的正数(4)质数：又称“素数”。一个大于 1的自然数，如果除了 1和它自身以外，不能被其他自然数整除的数，否则称为“合数”。最小的质(素)数是 2。1既 不是素数，也不是合数。(5) exp：高等数学中，以自然对

13、数e为底的指数函数(6)在数学符号中，sup表示上界；inf表示下界(7)三：表示恒等于(8) 0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义，递推公式为：n! =n (n-1 ) !因为1 的阶乘为1,即1! =1X0!,故0! =1【第二部分】函数与极限常用结论(等价无穷小很重要)(1 +x，之 1 +nx111 x n _1 x nex -1 x1e -1 x x<1时成立1-xjln1x Mx1 x其中，Ie=2.71811n.enJ , e为初等函数，又称“幕指函数”，e即根据此公式得到,12+22<. + n2=n(n +1 pn + 1)624 3c33 n n 112 . n =

14、一 22ns = a a . an 1a -as =a-1an - bn = (a - b faf'1)+a。2 b + . +b")a - bm-1m-2m-1a a *b . b若 lim u(x )=a>0, lim v(x )=b(a、b为常数XT。x Mo)则 lim u(x 淤)=abX典01 f x 片 l e一些重要数列的极限：ax-1xlnaIn b xex -1 t x1 x ：-1 ，改arcsinx xarctanx x另一些重要的数列极限：Jm=0(k>0)Jmqn =0(jq<1 为常数)性ga=1(a>1)nlim a-=

15、0(a为常数) lim Vn =1n nnF： q<1, qn t 06ba>0 b>0,0n-cn 小a a >1,b , 0 n11 0 Inn柯西极限存在准则：柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理。给出了极限收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数e ,存在这样的正整数N,使得当rn>N, n>N时就有|xn-xm|< £ 0这个准则的几何意义表示，数列 X收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。夹逼定理的两个条件： 左右极限存在；左右极限相等xn证明:=c c . . c , lim xn,n .二xn =，c+xn,

16、所以 lim xnn)二1,1 4c设limn_):：xn=A，对()两侧求极限可 知lim xn =、；'c + lim xn n ):：- n 始二1 . 1 4c所以，A=. C-A, A =：2cosx、arcsosx般可以通过(8)在计算极限题目中，若题目中同时出现sinx、arcsinx、或者时，令 t=sinx 或 cosx(9)在求极限的过程中如果遇到 n次项等高次项而无法解题时，-借助ex进行消去高次项的运算，有的也可以使用泰勒公式。(10)计算极限时出现出现tan(tanx)或者sin(sin x)的形式，应用泰勒公式计算。(11)三个重要的结果若lim an_：若

17、lim an-j 二二若an>0,二a,则lim a1十吨.十an'an一n= a(an>0),则则& a2.a = an =1,2,3,lim a =a,则 lim gan =a n，二 an：ii .(12)有的题目涉及递推公式、数列问题c 135 2n -3S二如：Sn 2 22 232n解题思路：2Sn - Sn函数的连续性和间断点问题(1)如何讨论并确定函数的连续性？若该函数是初等函数，则该函数在其定义域区间均连续若是一元函数，则可对其求导，其导数在某点上有意义则函数在该点必然连续(可导必连续)求助极限，函数在该点极限等于函数在该点函数值，计算时注意左右极

18、限(2)问断点问题间断点的分类：若lim f(x) = A,而f (x)在x =x0处没有定义或者有定义 但f(x)#A,则称为f(x)的 Xf可去间断点。若x=%为函数f(x)的可去间断点，只需补 充定义或改变f(x)在x=x0 的函数值，使f (x)在x=%处连续，止匕时f(x)已经不是原函数。若 lim f (x) = f (x。4), lim f(x)=f(x0-)。但f (x0+) = f (x0+),则称x = x0为函数f (x) Xf .jx -的跳跃间断点，f(x0+) f(x。)称为跳跃度可去间断点和跳跃间断 点统称第一类间断点。第一类间断点的特点是 左右极限均 存在若f

19、(x)在x = %的左右极限至少有一个 不存在时，x = x0称为函数f (x)的第二类问 断点如果函数f(x)在区间a,blh仅有有限个第一类间 断点，则函数f(x)在区间G,b上按 段连续(3) 一致连续与不一致连续一致连续(均匀连续)：设函数f (x)定义在集合x上，若V名>056 >0当x'、 x”wx且满足|x'-x”<6时，就有f(x')-f(x”)<片则称f (x)在x上一致连续。定义表明，无论x中的两点x'和x''位置怎样，只要二者充 分靠近，相应函数值差 的绝对值就可以任意地 小。不一致连续：设函数f(x

20、)定义在集合x上，存在%>0,无论对多么小的5>0,总 存在x'、x'',尽管 x'-x''<6,但是 f (x') f (x'')之无-|-lim f(x)=A充要条件lim f (x) = Ax MX %lim f (x) = AX R -【第三部分】导数与微分法线斜率和切线斜率相乘等于-1 (切线与法线垂直)U1 u2 . un ' = u1' u2'un'Ui u2 . un ' = ui'u2.un 5 口2'.6 5 2-也反函数求导：反

21、函数导数X原函数导数 =1或写成:dy -1dx|x"0 dx.dy "寸。ax ' = ax lna常见的函数的导数(基础函数求导)：(c) = 0(c为常数)(x")= 口 x*1x . x(e ) =einxx22tan x ' = 1 tan x = sec xsinx ' = cosx,2cotx ':-csc xsecx ' = secx tanxcscx ' = -cscx cotx(arcsinex )=-4= ,1-x2arccosx'= 1-x2arctanx' 11 x,1arc

22、cotx =21 x特殊复合函数:yq的求导方法1 inx '=xcosx ' = -sinxt 转化 t y =eY " L y' = uv v lnu +vu-I u Jy=f (x)亦称为“零阶导数”(函数的零阶导数就是其本身)隐函数：F(x,y)=0,y=f (x)带入即可得到Fx,f (x) =0,满足该包等式即为隐函数 国际数学通用标记：Ca、b】=f(xf(x是口、b止的连续函数D b b】=f (x f (x汁a、b止可导)c2a、b】=f (x f仅同二阶导数在a b的区间上连续D2 a、b】=f(xf(x在a、b卜二次可导)易错点：求导时，

23、不能将y与f (x)等同。二者导数未必一致【带有绝对值的函数该如何求导？】带有绝对值的函数脱掉绝对值符号后是一个分段函数，应当分段求导。特别应注 意的是，分段点的导数严格来讲，应当按定义来求。【经典题型总结】(1)设函数f (x)在xwo时可导，且对任何非零数x, y均有f(x - y)=f(x)+f(y), 又f(1)存在。证明当xw0时，f(x)可导。证：令 x=1,由 f(x y)=f(x)+f(yW: f(y)=f(1)+f(y),所以：f(1)=0对任何xw 0,由题设及导数定义知， xf (x Ax) - f (x) xfWxAf(x)1f (x)+f”)卜(x)x0Ax»

24、;.0Ax1 f(1 + x)-f 1= iim t=一f ( i)xx-X xX xxx所以函数在f(x)不等于0的时候处处可导(2)在方程x2dy+a1x,dy+ a1x,dy+a2y =0(3)e2为常数)中令x = e;证明可将 dx dx dx方程化成如下的形式：dy (ai -1) ，a2y =0dt2dt证也二曳ddx dt dxdy dt上 d2y dy'dtdy'1dy_t_te ； 2 = 二e' edx dtdx出dxdtdt1 21其1/d y_tdy、上d y2dy2二(-2 e - e ) e =一e - edtdtdtdt坦* 2t d y

25、 2 dy 2 t dy 原式=e (一2e - -e ) - a1e ea2y =0dx dxdx所以:dy (a1 -1)曳 a2y =0dt2dtd 1dx Y1(3)化简：dx J<dyd TdC 解：原式=、要dx Rdy )g处dy dy h dy dxdx _ _idx j d2x dy)(dy J dy2高阶导数：(1)高阶导数的运算法则(u 十v n)= u(n)+v(n)(c vf)=cu似其中c为常数)n uv n =Cn°unV°CnMA1Cnnu°vn 八G"为卜kz0(2)【浅谈高阶导数的求法】高阶导数求法一般包括6种方

26、法，即根据高阶导数定义求之；利用高阶导数 公式求之；利用莱布尼茨公式求之；用复合函数的求导法则求之；用泰 勒公式求之；交叉法，等等。定义法：运用求导公式，求导法则求导，n阶导数一般比较其规律性高阶求导公式：把高阶求导公式化为代函数之和，分别求之莱布尼茨公式求导：当所求导数的函数是两个函数的乘积时， 宜用莱布尼茨公式求之。特别地，当其中一个函数的高阶导数为 0,可以用此公式求之；两个因 子中，其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时，可以用此公式。复合函数求导法：复合函数求导法则还可以推广到多次复合的情形。 在求导时, 能从外层向内层逐层求导，一直求到对自变量求导数为止。若存在单值反函数， 常用

27、复合函数求导法则，求其反函数的高阶导数。【名词释义】单值反函数：若对定义域每一个自变量x,其对应白函数值f (x) 是唯一的，则称f (x)是单值函数。反过来，对于任何一个函数值 y,都有唯一 的一个自变量x与之相对应，则此时称y=f (x)为单值反函数。泰勒公式求导法f(x)=x3sinx,利用泰勒公式求ff，0)6810在刀.4 x x x斛：；f x = x -.3517f6f60i06!证明题：证明一函数(隐函数)处处可导：则应先根据题意找出几个关键的点，然后根据导数的基本公式：lim 1(x * x)-f(x)进行判定xAx证明 f (x) =a,即证 F (x) =f (x) -a

28、=0(3)部分初等函数的高阶导数(xa=xan 0 a -1 )-(n-1，(ax)=axlna nex n =exln Q"、)= (-1 n-1 «n -1),(1 +x 1n(sinx n)=sin 'x(cosx f)= cos. x(lnx 夕)=(-1 n-1 (n -1!) x-nn -2,冗、n -2线性复合公式:f (ax +b )In)= an f(n tax + b )一阶导数：切线斜率 .二阶导数：曲线曲率关于曲线凹凸性的两个定理及应用 设 a< x1< x2< b(1)若 f(x)的图形在 fe,b 止是凸白勺,则 f&#

29、39;(x1)> f(X2)-f(Xl)>f1(X2) X2 - xi(2)若f(x)的图形在kb止是凹白勺,则f,(xi产f(x2).f(xi)<f,(x2) x2 - xi【经典题型总结】(1)设X=f' (t)Y=t f' (t) -f (t)f' '(t)存在且 f' (t) w0,求d3ydx3解答.dy f't tf''t-f't tf''t 口 ' dxf'' tf'' t1互d2ydt dx2 t '1dx2 "dx

30、 - f't 厂 f'' tdt3 3d3y _ dtdx / f'(t)_ _ f”'(t)dx3 - dx - f' t ' - f'' t 3 dt(2)函数的二阶导数等于原函数，求该函数表达式解：设 y' = p, y'' = y,dpdp dydpdp,y''p ,. p y =ydxdy dxdydyp dp = y dy展开：1p2 =ly2 . a a是任意常数222dyL：1y2 ' a贝1J p 二.y2 , a,即曳=.y2 a dxDy 、y2 a =

31、 be* * * x,可得ye'x,可得yx-xb e a e 2 2b-xxb e a e2b人 b令 c1 = 一，2亦可写为: 其中，c2 =.、,得通解:2by =c1shx c2chxx二 Ge-xC2e(双曲正弦(双曲正切x -xShx=MJ，(双曲余弦2x -xthx=F-7,(双曲余切 e ex -x chx=J 2x -xcthx 二e -e f (x)、g (x)都可导，且满足： f (x) =g' (x)、f' (x) =g (x)=0;g (0) =1。证明：g2 (x) -f2 (x) =1证：由上可知，f' (x) =f (x)设f

32、(x) = ce通解为：y+Jy2 , c?e-x(其中cc2为任意常数)f 0 )=0, g c2 =0, f x )=c1ex - Ge-x一1 v 1 v又 f' 0 =1, f x e -e22一一1 v 1 v同理，g x =-e -eg2 x -f2 x =1【微分：】自变量的改变量等于自变量的微分导数又称“微商”。; dx = xt dy=A Ax =A dx = f'(x )dxdy =f x dx微分四则运算：设u=u (x)、v=v (x)在点x处均可微，则u土v、uX V u/v(VW0)在x处都可微，且：(1)d u 土v =du ±dv(2)

33、 duv =v du u dv特别地，d c u = c du c是常数(3d - i =v du -u dvv=0特别地，di1 =-d2v=0 v v截距的性质：截距不是距离，所以截距是有正负的证明y'Tgyfy,)啜啜修"。= f'' x拐点：在数学上，拐点是指改变曲线向上或者向下方向的点。直观地说，拐点是 使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点)。若该曲线的图形函数在拐点有二 阶导数，则二阶导数必为零或者不存在驻点：函数的导数为0的点称为函数的驻点可导、可微、连续、极限之间的关系？可导 <=> 可微可导(可微)=> 连续=> 极

34、限存在 <=> 左极限、右极限都存在且相等(箭头反方向的话不一定成立)可导=> 左导数、右导数都存在且相等连续=> 左连续且右连续+极限值等于函数值连续 <=> 极限存在且等于函数值极限存在 <=> 左极限、右极限都存在且相等在某点处(左、右)极限是否存在与该点处函数是否有定义无关【第四部分】微分中值定理及导数的应用(1)费马定理设f (x)在点x0处取到极值，且f' (xO)存在，则f (x0) =00(2)罗尔定理如果函数f(x)满足：在闭区间a,b上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间 端点处的函数值相等，即f(a)=f(b),那

35、么在(a,b)内至少有一点(a< < <b), 使得f (七)=0.(3)拉格朗日中值定理如果函数f(x) 满足：(1)闭区间a,b上连续(2)开区间(a,b)内可导。那 么：在(a,b)内至少有一点(a< < <b),使等式 f(b)-f(a)=f' ( ) )(b-a) 成立。(4)柯西中值定理如果函数f(x)及F(x躺足：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)对任一 x (a,b), F'(x)w0。那么在(a,b)内至少有一点士,使等式 f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f(己)/F'(己)成

36、立。(5)泰勒公式与麦克劳林公式泰勒公式：若函数f(x)在开区间(a, b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区 间内时，可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f'(x.)/2! (x-x.)A2,+P(x.)/3! (x-x.)A3+f(n)(x.)/n! (x-x.)An+Rn其中Rn=f(n+1)( E)/(n+1)! (x-x.)A(n+1),这里己在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。麦克劳林公式：若函数f(x)在开区间(a, b)有直到n+1阶的导数，则当函数在 此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余

37、项的和：f(x)=f(0)+f(0)x+f'(0)/2!迅2,+俨'(0)/3!xA3+f(n)(0)/n! xAn+Rn其中 Rn=f(n+1)( 9 x)/(n+1)!- xA(n+1),这里 0< 8 <1.两个重要且特殊的麦克劳林公式：=(1 +x -1 =1-x +x2 -x3 十.十(-1 J xn + Rn1-x-12n _= 1-x=1x x . x Rn(6)函数的单调区间与极值单调区间：设f (x)在区间I (I可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半开半闭区间)上 连续，在区间I内部可导xCI内部，f" (x) >0,则f (x)

38、在区间I上递增xCI内部，f' (x) <0,则f (x)在区间I上递减x I内部，f' (x) =0,则f (x)在区间I上是一个常信函数若若若极限与极值：判定极限的方法：f' (x) =0, f' (x) W0,则 f (x) 一定是极限f' (x) =0, f' (x) <0,则 f (x)取极大值f' (x) =0, f' (x) >0,则 f (x)取极小值【误点解析】：使用洛必达法则之后极限不存在，不能直接说原极限不存在 双阶乘：相隔的两个数相乘：如5! ! =5X3X1不动点：g (t) =t的点叫

39、做不动点 f (x)g (x)-f (x) = g (x)f' (x)= g' (x)f' (x) = g' (x)曲率:满足此条件，即可证明f (x)、 g (x)在x0处n阶相切(1)曲率公式为：k =32 -1 y' 2y''(2)曲率的中心坐标为:21 y'2二 y - y''3(3)曲率半径R =1 =22 k|y''|(4)圆的各个位置的曲率是相同的，都是半径的倒数反函数：如果函数的导数不为0,那么该函数在定义域区间上有反函数【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法一】辅助函数是解决许

40、多数学问题的有效工具，中值定理及推导过程中用到了演 绎、分析分类等数理逻辑方法和一些具体的方法。如构造辅助函数等等，下面就 介绍几种重要的构造辅助函数的方法。(1)凑导数法例如：设函数f (x)在a、b上连续，在(a、b)内可导，证明：存在 七 £ (a、b),使得 2 己f (b) -f (a) = (b2-a2) f' (E )证明：令 F (x) =x2 f (b) -f (a) - (b2-a2) , f (x)即可(2)几何直观法例如：如果f (x)在【0、1】上可导，且0<f (x) <1,对于任何x (0,1) 都有f' (x) w 1,试证

41、在(0,1)有且仅有一点己，使得f (己)=E证：令 g (x) =f (x) -x再用反证法证明其唯一性(3)常数值法(K在构造函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数K值法来构造辅助函数。这种方法一般选取所政等式中含己的部分作为K,即将常 数部分分离出来令其得 K,恒等式变形，令一端为a与f (a)的代数式，另一端 为b与f (b)的代数式，将所证等式中的端点值(a或b)改为变量x,移项即 为辅助函数F (x)。再用中值定理，待定系数法等方法确定 K。一般来说，当问 题涉及到高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑运用泰勒公 式。例如：设f (x)在a、b上连续，

42、在(a、b)上可导。0<a< b。试证明 b存在一点上 w(a、b),使等式 f (b)-f (a) =ln a - f'(-)令K ='' (a), f _ k ln b = f (a) -K InaInb - In a证：b=x,得辅助函数：F (x)=f (x)-K lnxF'(9=0, f '(a=K,所以 K=，f'«) o 故得证(4)倒推法这种证明方法从要证的结论出发，借助与逻辑关系导出已知的条件和结论。例如：设f (x)在a、b (0<a<b)上连续，在(a, b)内可导，且f (a) =b, f

43、 (b) =a。证明：在(a, b)内至少存在一点 t,使f'(?=-匚3巴证：构造函数：f' ( E , E +f ( E ) =0即可(5)乘积因子法对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关系的证明。直 接构造函数往往比较困难，将所证的结论两端同时乘以或除以一个包为正或负 的函数，证明的结论往往不受影响。e为，是常数)是一个很好的因子例如：若f (x)在a、b上连续，在(a、b)内可导，且f (a) =f (b)=0.证明:(a, b),使 f'(与=九 f (与证：结论两侧同时乘以 e一比，然后令F (x)=e-/'(x)-e-枢2f (x)(

44、6)介值法证明中，引入辅助函数g (x) =f (x)-4 x。将原问题转化为a、b 内可导函数g (x)的最大值或最小值至少有1个必在内点达到，从而可通过 g (x)在【a, b】上的可导条件，直接运用费马定理完成证明。例如：证明若f (x)在a, b上可导，则f (x)可取到f (a)与f (b) 之间的一切值证明：f E'(a) , f'(b) 令g (x)=f (x)-"x由f (x)的性质，g (x)在 A、b可导，且 g'(x)=f'(x)-"由一的性质,有g'(a)稳(b) <0.不妨设g'(a) >

45、0,即 lim g(x)-g >0 x-ax -a由极限性质知，三S>0.使得当xU、7a)时，g (x) >g (a)即g (a)不是g (x) (xw (a, b)的最大值。同理，g (b)也不是所以一定存在一点x0,使得f'(x0) =0;f'(x0)="。得证(7)分离变量法拉格朗日与柯西中值定理常用来解决多个中值的问题。以两个中值的情况为例说明如下：若要证明存在八"C (a, b),使得f (a, b,己，刀)=0.则通常应将 函数f (a, b,己，刀)=0改写成“变量分离”的形式，即h (a, b) = 6 (E ) 6 (刀

46、)或者h (a, b) =6 (0+5 (刀)的形式，然后观察6 (己)、6 (刀) 是否分别拉格朗日公式的右侧。例如：设 g(x)>0, g'(x)#0。( a <x < b),贝 ij 存在(a, b) g(b)使得：g'(Z)f (b) - f (a)】=g(t) 1ng证明：将待证明结孀城*1fl =U|1,令g(x) = ing(x) m幽个_g(a) g()1G'(x)= .g'(x)，对f (x)和g(x)应 用 拉格朗 日te理我w：(a, b) g(x)使 f(b)-f= ff),即 1ng一1ng=.gf ) b -ab -

47、 a g()f(b)-f(a)又.=f'()1ng一 1ng(a)g'( ) g()b - a故得证【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法二】(1)使用罗尔定理时用“积分法”或“解微分方程法”构造辅助函数。使用“积分法”构造辅助函数的基本步骤：将结论等式中的士换成x;对第一步的结果进行变形，使两边求积分；两边求不定积分；把第三步的结果化成C=F (x)的形式，其中C为任意常数，且f (x)中不含有C;最后的F (x) 就是所要构造的辅助函数。例如：设f (x)在la,b】上连续，在Q,b内可导，其中a>1,且f'(a) = 0 . b_证明在(a, b)内至少

48、存在一点 J使f)= f'()ab-一， b - x分析：将结论等式中f)=J f'(2)的t都换成x,得到f(x)=J，f'(x) aa再变形为a = f (x),两边积分得:-a1n(b-x)+ 1n c = 1n f (x)b -x f (x)c =(b-x)a f (x),求得辅助函数为：F(x)=(b-x)a - f (x)证：设 F(x) =(bx)a，f(x)，因为 F (x)在 Q,b!h连续，在(a,b)内可导，且F(a) =0 =F(b),所以由罗尔定理知，存 在：W(a,b),使得F(句=0所以：F'( ) = -a (b - 产 f (

49、) (b - )a f'( ) = 0所以：f()=三f1() a(2)使用拉格朗日定理用“单边积分法”构造辅助函数。所谓的单边积分法就是：若所要证明的等式中只含有己，就是把有己的函数式与常数项分离到两 边，将士换成x后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数。若所要证明的等式中含有 己和“，就把含有己的函数式与含有”的函数 式分离到等式两边，将士换成x后进行单侧积分求出原函数即为辅助函数；将 “换成x后进行单侧积分求出原函数即为另一辅助函数。例如：设b>a>0,且已知f(x)在b,b止连续，在(a, b)内可导，试证明存在S (a, b),使af(b) -bf(a)ab(b - a)f'( ) - f ()71分析：等式左端为常数，将右端换成x,进行单侧积分，得严(x)f(x) dx=3+c,所求辅助函数为：F(x) = f®证明：设F(x)=3，则F(x)=f凶在bb 满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在 江(a,b),使F(b)-F(a) = F')(b-a)f'( ) 一 f( ) af (b) -bf (a) f'( ) - f ()ab(b - a)(3)使用柯西中值定理时用“上下积分法”构造辅助函数有些问题把结论等式中的士换成x后移到等式一边，若是分式且不能进行单 边积分求原函数，可以