2020高三数学一轮复习(人教版文)：椭圆

1、 第五节椭 圆 2019 考纲考题考情 1. 椭圆的概念 平面内与两定点 Fi、F2的距离的和等于常数(大于 IF1F2I)的点 的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做 焦距。 集合 p=M|MFi|+ |MF2|= 2a,|FiF2|= 2c,其中 a0,c0, 且 a, c 为常数。 (1)若 ac，贝U M 点的轨迹为椭圆。 若 ac，则 M 点的轨迹为线段 F1F2。 (3)若 ac，则 M 点不存在。 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 2 2 了 i_y_ a2十F l(a60) 2 2 刖丄才 a2 b l(*0) t 0 /y 图形 a Ab 0 执F

2、 / / r X f F厂 /i V 1 考纲要求 考遛攀例 考向标签 1. 的电义.几何图旺、 坏睢方軒唸筒单几何杵晰 z. rMN 的茴尊览冊 -印解 st 他络舍的川里 M】宫全国总 L - .址刚问範 西 1 呂全 D T,| L 桶圆的宦丈肚简肌止何性喷 2.桶圆凶濟合问雀 核心畫养 r 百琥想电*逵辑帚理.散学塔算 敦材同扣基础白剂 o微知识小题练 基础徽檢理- JIC H U WniSHLJJ-l 性质性质 范围 一応炖 对称性 对称轴：坐标轴*对称中心：原点 顶点 A, a,0) (a ,0) Aj (01 a) (Oa) Iit (0, A) +昆(0,Z) Bj (6,0)

3、 ,BZ (6,0) 轴 长轴 A4 的长为空 :短轴BiB2的长为辿 焦距 |FiFJ=J 离心率 F= (0,1) a a 4c 的关系 c2 az _If 常记结论 1 椭圆方程中的 a, b, c (1)a, b, c 关系：a2= b2 + c2。 越大，则 a 越小，椭圆就越扁；离心率 e 越小，则；越大，椭圆就 a a 越圆 2.在求焦点在 x轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用 以下不等关系：一 aw xW a, bw yw b,0ve|FiF2| =6,所以点 P的轨迹是以 F1, F2为焦点的椭圆，其中 a= 5, c - x2 y2 =3, b = .a2 c2= 4,故

4、点 P的轨迹方程为 25+16= 1。故选 A0 答案 A 2.（选修 1 - IP42A 组 T4改编）设椭圆的两个焦点分别为 Fi, F2,过点 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 卩， 若厶 F1PF2为等腰 直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. 2 2 2 a C 2 即 a = 2c, 即卩 e + 2e 1 = 0,又 0e1，解得 e= a F2（3,0），点 P 到 2 2 1 或 25+16=1 2_ 1 2 2 - 1 C. 2 2D. 2 2 设椭圆方程为笃+右=1,依题意，显然有|PF2|= IF1F2I, a b 解析 则農 2c, 2 - 1。故选 D 解析：因为

5、F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF= |FIF2| = 2c, |PFI|= 2 2c。因为 |PFi|+ |PF2|= 2a，所以 2 2c+ 2c= 2a, 答案 D 二、走近高考 3. （2018 全国卷H ）已知 F1, F2是椭圆 C 的两个焦点，P是 C 上的一点。若 PF1丄 PF2，且/ PF2F1 = 60贝U C 的离心率为 C. 解析 在F1PF2 中， /FPF2= 90 ZPF2F1 = 60 IF1F2匸 2c,所以 |PF2|= c, |PF1|= 3c,又由椭圆定义可知 IPF1I+ |PF2|= 2a,即.3c+ c= 2a,故椭圆 C的离心率 e= |

6、= 3- 1。故选 D3, 0m3 马mtan60 或 3 解得 0m3, 答案 A 三、走出误区 微提醒：忽视椭圆定义中的限制条件； 忽视椭圆标准方 程焦点位置的讨论；忽视点 P坐标的限制条件。 5. 平面内一点 M 到两定点 Fi(O, - 9), F2(0,9)的距离之和 等于 18,则点 M 的轨迹是 _ 。 解析 由题意知 |MFi|+ |MF2| = 18，但|FIF2|= 18, 即 |MFi|+ |MF2|= IF1F2I,所以点 M 的轨迹是一条线段。 答案线段F1F2 A. 4 C. 4 或 8 解析 当焦点在 x轴上时，10 mm 20,10 m (m 2) =4,所以

7、m= 4。当焦点在 y轴上时，m 210 m0, m 2 解析依题意得， mtan 0m0,所 以 X# ，所以 P点坐标为 C. 4 ,1 ,1 |PB |)。 因为 |FA|PB |W|AB |,所以 |FA|+ |PB| 4+ |AB | = 4+ 1 = 5,当且 仅当 P在 AB延长线上时，等号成立。故|PA|+ |PB|的最大值为 5。 答案(1)A (2)A 椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是确认平面内与两定点 有关的轨迹是否为椭圆；二是当 P在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1, F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”， 利用定义可求其 周长，利用定义和余弦定理可求 |PF1|P

8、F2|,通过整体代入可求 其面积等。面积公式 SAPF1F2 = btan2(其中6=Z F1PF2)。 2 2 【变式训练】 (1)(2019 惠州调研)设 F1, F2为椭圆X + y = 9 5 1 的两个焦点，点 P在椭圆上，若线段 PF1的中点在 y轴上，则 需的值为() 5 5 A- 14 B - 9 4 5 C 9 D -也 2 2 (2)已知椭圆 4X9+ 24= 1 上一点 P与椭圆的两焦点 F1, F2的 连线夹角为直角，则|PF1| |PF2| = 解析(1)如图，设线段 PF1的中点为 M，因为 O 是 F1F2的 中点，所以 OM /PF2,可得 PF2 b0)的左、

9、右焦点，经 a b 过 F1的直线交椭圆 C于 A, B两点，若 F2AB是面积为 4.3 的 等边三角形，则椭圆 C的方程为 _ 。|PF2|= 13 |PF2|= 3 , |PF1| = 解析(1)设椭圆方程为 mX + ny2 = 1(m, n0, m n)。由 斗 y. x2 为 10+6 =1o 5） 2n = 1, 解得 1 1 m= 6, n = 10,故椭圆的标准方程 3m+ 5n= 1, (2)因为是面积为 4.3 的等边三角形，所以 AB丘轴， 所以 A,B两点的横坐标为一 c,代入椭圆方程，可求得|F1A|=尸石| =J 又 |F1F2|= 2c,ZF1F2A= 30 所

10、以牛 X 2c 。又SA 1 2b2 F2AB = 2X 2cX = 4 3 ，a2= b2 + c2 ，由解得 a2 2 2 =9, b2= 6, c2= 3,所以椭圆 C 的方程为 +台=1。 y2 x2 x2 y2 答案（1）1o+ 6 = 1 （2）6 +6 = 1 1. 求椭圆方程的基本方法是待定系数法， 先定位，再定量， 即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于 a, b 的方程 组。 2. 如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为 mx2 + ny2= 1(m0, m, n 的值即可。 2 b2 (过焦点且与长轴垂直的弦)长为 T。 (1)已知两圆 C : (x 4)2 + y2=

11、 169, C2: (x + 4)2 + y2 = 9,动圆 M 在圆 C1内部且和圆 C1相内切，和圆 C2相 外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为( ) 3.椭圆的通径 【变式训 2 2 x y A 1 64 48 2 2 C 工1 C. 48 64 2 2 E 2 + 匚： 4 + b2 过点 F1的直线交椭圆 E于 A, B两点。若 3AF1 5|AF2|, AF2丄 x 轴，贝V椭圆 E的方程为 解析 设圆 M 的半径为 r，则|MCi| + |MC2|= (13-r) + (3 + r) 16,所以 M 的轨迹是以 C1,C2为焦点的椭圆，且 2a 16,2c 2 2 8,故所求的轨

12、迹方程为 64+481。 (2)因为 3|AF1| 5|AF2|,由定义有 AF1I+ AF2| 4,解得 |AF2| |,又 AF2(轴，故 IAF2I a b,所以 b2 3,故椭圆方程为专 2 2 答案(1)D (2)X4 + 3 1 考点三椭圆的简单几何性质微点小专题 方向 1:求离心率的值或范围 2 2 【例 3】(1)(2018 全国卷I )已知椭圆 C:予+ y 焦点为(2,0)，贝 U C 的离心率为( ) 1 A. 3 C. 2 (2)(2019 豫南联考)已知两定点 A( - 1,0)和 B(1,0)，动点 P(x,2 2 + 1 48 64 2 2 冬+1 64 48 设

13、 Fi, F2分别是椭圆 1(0b1),与直线 l 的方程联立得 a 1 yx+ 3, 1, 去 y 得(2a? 1)X + 6a?x+ 10a? a 0，由题意易 = 36a4 4(2a2 1)(10a2 a4) 0,解得 ， 所以 e； a a 说所以 e 的最大值为。故选 A o 答案(1)C (2)A 求椭圆离心率的三种方法 1. 直接求出 a, c 来求解 e。通过已知条件列方程组，解出 a, c提醒：在解关于离心率 e 的二次方程时，要注意利用椭圆的 离心率 e6(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根。 方向 2:最值问题 2 【例 4】(2018 浙江高考)已知点 P(0,1)，

14、椭圆 X4 + y2= m(m1) 上两点 A, B满足 AP= 2PB，则当 m = _ 时，点 B横坐标 的绝对值最大。 解析 设 A(Xi , yi) , B(X2 , y2),由 AP = 2 PB ,得 Xi = 2X2 , 彳 即 Xi = 2x2, yi = 3 2y2。因为点 A, B 在 1 一 yi = 2y2 1。 4X2 2 4 +(3一 2y2)= m， i 3 椭圆上，所以b0） 上的一点，A为左顶点， 丄 3 3-3 A C 解析 设 P到两个焦点的距离分别为 2k, k,根据椭圆定义 可知：3k= 2a,又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点 1 距离之差的

15、最大值为 2c,即 kw2c,所以 2aw 6c,即 e3。又 1 因为 0e1，所以 3W eb0)。由题设知 抛物线的焦点为（02.3），所以椭圆中 b= 2 3。因为 e= |=2 所以 a= 2c,又a b5 6 7 = c，联立解得 c= 2, a= 4,所以椭圆 C 2 2 的标准方程为 务+12= 1。 2 2 答案話+扶 1 x2 y2 3. （配合例 3 使用）已知椭圆 j +診=1（ab0）的左顶点和上 顶点分别为A, B,左、右焦点分别是 F1, F2，在线段 AB上有 且只有一个点 P满足 PF1丄 PF2,则椭圆的离心率的平方为（ ） x2 + y2= c2与线段 A

16、B的切点，连接 0P,贝 U OPAB, 且 0P= c,即点 0 到直线 AB的距离为 c。又直线 AB的方程为 y b =：x+ b,整理得 bx ay+ ab= 0,点 0到直线 AB的距离 d = a ab = c,两边同时平方整理得，a2b2= c2(a2 + b2) = (a2 b2)(a2 b2+ a2 + b2) = a4 b4,可得 b4 + a2b2 a4= 0,两边同时除以 a4，得隹 + 1 = 0,可得注一+兰则 e2= 3= 1 1 A 3 c 3 5 A. 2 B .丁 一 1 + 75 3 1 C. 2 D. 2 解析由题意得， A( a,0), B(0, b)

17、,由在线段 AB上有且 P 满足 PF1IPF2,得点 P是以点 0 为圆心，线段 F1F2 只有一个点 为直径的圆 答案 B 2 4. (配合例 4 使用)已知椭圆 C: X2 + y8 9= 1 的两焦点为 Fi, 2 F2，点 P(xo，y。)满足 Ov 多+ y21，则|PFi|+ |PF?|的取值范围是 O 2 解析 由点 P(xo, yo)满足 0号+ y21，可知 P(xo, yo)定在 椭圆内(不包括原点)，因为 a= 2, b= 1，所以由椭圆的定义可 知|PFi|+ |PF2|b0) a b 的离心率为】f,焦距为 2 .2。斜率为 k 的直线 I与椭圆 M 有两个 不同的

18、交点 A, B。 (1)求椭圆 M 的方程； 若 k= 1，求 AB|的最大值。 故选 B a2= b2 + C, 解(1)由题意得 0? m20) 的直线交 E于 A, M 两点，点 N在 E上，MA丄 NA (1) 当|AM|_ |AN|时，求 AMN 的面积; (2) 当 2|AM|_ |AN|时，证明： 3k0 n 由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为 4。 又 A( 2,0)，因此直线 AM 的方程为 y_ x+ 2 2 2 x y 2 将 x_ y 2 代入 4 + 3_ i 得 7y i2y_ 0。2_ 平分， i 9厂 2 丿 即 9X + y 5_ 0。 i 12

19、12 解得 y= 0 或 y= 7，所以 yi = y。 1 12 12 144 因此AAMN 的面积SMN = 2x qXx=49。 x2 y2 (2)证明：将直线 AM 的方程 y= k(x+ 2)(k0)代入-+二=1 得(3 + 4k2)x2 + 16k2x+ 16k2 -12 = 0。 故|AM|= |X1 + 2, 1 + k2 = 1 由题设，直线 AN 的方程为 y= k（x+ 2）, 即 4k3 6k2 + 3k 8= 0。 设 f(t) = 4t3 6t2 + 3t 8,则 k 是 f(t)的零点， f(t) = 12t2 12t + 3= 3(2t J20, 所以 f(t

20、)在(0,+)内单调递增。 又 f3)= 15 3 260，因此 f(t)在(0, +)内 有唯一的零点，且零点 k 在 C.3, 2)内，所以 3kb0) 亡在椭圆上，且有|PFi| + |PF2|= 2 2。 则 Xi+ X2, 4+ 5k2 5k2 20 X1X2 = 2。 4+ 5k2 设 N(5, yo)，因为 A, M , N 三点共线， =2 x 5 i65 +4x3= 9 。 yi y0 所以 =20,所以 3 Xi 十 2y1 2k( Xi 1) 而 y0 y2= y2= k(X2 i) Xi 3 Xi 3 3k x1 + x2 kx1 x2 5k Xi 3 10k2 5k2

21、 20 3k4+ 5k2 k 4+ 5k2 5k2yi y0= Xi 的左、右焦点分别为 Fi, F2，点 P 1, =2 (1) 求椭圆 C 的标准方程； 过 F2的直线 I与椭圆 C 交于 A, B两点，求 AOB(O 为 坐标原点)面积的最大值。 解(1)由|PFi| + |PF2|= 2 2，得 2a= 2.2,所以 a = .2。 r 2 2 将 P 1，为丿代入乡+斧 1，得 b2 = 1。 x2 所以椭圆C的标准方程为 2 + y2 = 1。 (2) 由已知，直线 I的斜率为零时，不合题意， 设直线 I 的方程为 X- 1 = my, A(X1, yj, B(x, y2), X=

22、 my+1, r r 联立，得 2 2 消去 x化简整理得(m2+ 2)y2 + 2my lx2+ 2y2= 2, -1 = 0, 2m y1+y2=齐, 由根与系数的关系，得 y1y2 = m2+ 2, 1 S$OB= 2IOF2I |y1 y2| 旳（y + y2）2 4y$2 m2 + 21 2m 1 2 m2 + 2 m2 + 1 4 =2 x 占, 1 =，即 m= 0 时，等号成立， m + 1 所以AOB 面积的最大值为-2。 圆锥曲线中的最值问题类型较多， 解法灵活多变，但总体上 主要有两种方法：一是几何法，即利用圆锥曲线的定义、几何性 质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

23、二是代数法，即把 要求最值的代数表达式表示为某个 （些）参数的函数，然后利用导 数、不等式等进行求解。 【变式训练】 （2019 长春质监）已知椭圆 C 的两个焦点为 （1）求椭圆 C的方程； 过点 F1的直线 I与椭圆 C 交于 A, B两点（点 A位于 x轴当且仅当 m2 + 1 F1（ - 1,0）, F2（1,0），且 上方)，若 AFi= FiB,且 2W ，求直线 I的斜率 k 的取值范围 2a = |EF1|+ |EF2| = 4, 由 a2= b2 + c2, a= 2, 解得 b= 3, c= 1, c= 1, 2 2 所以椭圆 C 的方程为x + = 1。 (2)由题意得直

24、线 I的方程为 y= k(x+ 1)(k0), y= k(x+ 1), 联立方程，得x2 y2 +匚=1 4 十 3 , 3 2 6 整理得 k2+ 4y -ky-9= 0, 144 A=kT + 1440, 设 A(xi, yi), B(x2, y2), 6k 则y1+y2=T T 又 AF1 = ?F1 B,所以 y1 =入y 所以 y$2= 入 u(y1+y2), (1)设椭圆方程为 2 2 1(ab0), 则t =” + 1 2=H, 入 3+ 4k2 入 3 + 4 k2 1 1 4 因为 2W床 3，所以 2= 23， 1 4 4 5 即 2= 20，解得 0b0)的右焦点 3 则

25、直线 AC 的方程为 y 2 = k(x 1), 2 2 代入 4 + 3 = 1 中整理, 2 2 2 得(3 + 4k2)x2 4k(2k 3)x + 4k2- 12k 3 = 0, 4k 2k 3) 1 + X1 = 2 。 3 + 4 k2 十 8k2 6 24 k 以 X1 + X2= 2 , X1 X2= 2, 3 + 4k2 3 + 4k2 y y2 k(x1 + X2) 2k 1 贝 U KAB= = X1 X2 X1 X2 1 因此直线 AB的斜率是定值。 2.(配合例 4 使用)已知点 M 是圆 E : (x+ 3)2 + y2= 16 上的 动点，点F( 3, 0)，线段 MF 的垂直平分线交线段