2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学案新人教B版

1、2. 1.2 平面直角坐标系中的基本公式【学习目标】1.理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离.2.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题.ET问题导学-知识点一两点的距离公式已知平面上两点A(xi,yi) ,B(X2,y2).思考 1 当xi丰X2,yi=y2时，d(A,B) = ?思考 2 当xi=X2,yi丰y2时，d(A,B) = ?思考 3 当xi丰X2,yi丰y2时，d(A,B) = ?请简单说明理由.梳理 两点间的距离公式A(xi,yi) ,B(X2,y2)两点之间的距离公式d(A,B)= |AB=_当AB垂直于y轴时，d(A, B)=_;当AB垂直于x

2、轴时，d(A, B)=_;当B为原点时，d(A,B) =_ .知识点二 中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点A(xi,yi),B(X2,y2)，点Mx,y)是线段AB的中点，贝Ux=_ ，y=_题型探究类型一两点间的距离公式例 i (i)已知ABC三个顶点的坐标分别为A(4,i),耳一 3,2) ,C(0,5)，则ABC勺周长为( )2A.4 2 B . 8 .2 C . i2 .2 D . i6 23若A 5,6) ,B(a, 2)两点的距离为 10,则a=_.反思与感悟两点间的距离公式应用的两种形式(1) 在求到某点的距离满足某些条件的点Rx,y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y

3、的方程或方程组，解之即可.(2) 利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线.跟踪训练 1 已知点A 3,4)，点B(2，3)，试在x轴上找一点 P,使得d(P，A=d(P,B)，并求出d(P,A).类型二中点公式及应用例 2 已知平行四边形ABCD勺两个顶点坐标分别为A(4,2)，耳 5,7)，对角线交点为 旦3,4)，求另外两顶点C D的坐标.反思与感悟中点公式应用的步骤(1)认真审题，提炼题设中的条件.将条件转化为与中点有关的问题.(3) 利用中点公式求解.(4)

4、 转化为题目要求的结果.特别提醒：利用中点坐标公式可求得以A(x1，y，0X2，y2)，C(xs，ys)为顶点的厶ABC的重跟踪训练 2 (1)已知三点A(x,5)，政2，y)，C(1,1)，且点C是线段AB的中点，求x，y的值；求点 M4,3)关于点 N5， 3)的对称点.一X1+X2+X3心坐标为(3y1+y2+y34类型三坐标法的应用例 3 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.反思与感悟 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何无素，将平面几何问 题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代

5、数运算的结果翻译成几何结论.跟踪训练 3 证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等.当堂训练1 已知A 3,5),氏 2,15)，贝U d(A,B)等于()A. 5 2B. 5 . 13C. 5 . 17D. 5 . 52.已知两点A(a,b) ,B(c,d)，且，a2+b2 , c2+d2= 0，则()A.原点一定是线段AB的中点B. A B一定都与原点重合C.原点一定在线段AB上但不是中点D.以上结论都不正确53 .以A(1,5) ，B(5,1) ，C( 9, 9)为顶点的三角形是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.无法确定4.已知A(a,6),B( 2,b)，点R2,3

6、)平分线段AB_贝 Ua+b=.5 .已知平面内平行四边形的三个顶点A( 2,1)、B( 1,3)、C(3 , 4)，求第四个顶点D的坐标.厂规律与齐法 - ,1.坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点 的坐标.2 .平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明. 用坐标法解题时， 由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标 系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.6合案精析问题导学知识点一思考 1d(

7、A,B) = |X2xi|.思考 2d(A,B= |y2yi|.思考 3 如图，在 RtABC中, |AB2=|AQ2+ |BQ2,2 2所以 |AB=X2xi+y2yi.-vf饗也,cairy)Xj即两点A(xi,yi),0X2,y2)的距离为-2y2yi2y2yi|X2Xi|y2yi|X2+y2知识点二xi+X2yi+y22 2题型探究例 i (i)C (2)i 或ii解析(i)TA(4,i) ,B( 3,2) , qo,5),IAE| = 312+21 J 冷 50=5 目 2,|BC| = i 0 -+ ；一=玄 i8 = 3 2 ,|AQ= . U 42+ ；12=. 32 = 42

8、.ABC勺周长为 |AB+ |BC| + |AC| = 5 2+ 3 2+ 4 2 = i2 2.(2)AB=XiX22+ _yiy22=.5 a2+ B + ?2= i0,a= 1 或一 11.跟踪训练 1 解 设P(x,0)，由题意得d(P,A)=.x+?2+U - 12=/X +6x+25,梳理7d(P,B= .x 22+1 .328=x2 4x+ 7.由d(P, A=d(P, B),即x2+ 6x+ 25=x2 4x+ 7,化简得x=三，5A(0,0).d(P,52例 2 解 设C点坐标为(xi,yi)，则由E为AC的中点，得4+xi22+yixi= 得。yi= 6.10,设D点坐标为

9、(X2,y2)，则由E为BD的中点，得5+X22X2= 11,得 iy2= i,故C点坐标为(一 i0,6) ,D点坐标为(ii,i) 跟踪训练 2 解(i)由题意知,( x 2=i,解得F4,y= 3.设所求点的坐标为(x,y),x= 6,解得 tly= 5,故所求对称点的坐标为(6 , 5).例 3 证明如图所示，以顶点A为坐标原点,AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有C的坐标为(a+b,c).故点P的坐标为7+y29设B(a,0) ,D(b,c)，由平行四边形的性质，得点10因为 |AB2=a2, |CD2=a2, |AD|2=b2+c2, |Bq2=b2+c2, |Aq2= (a+

10、b)2+c2, |BD|2= (ba) +c,所以 |AB2+ |CD2+1AD2+ |Bq2= 2(a2+b2+c2) , |AC2+1BD|2= 2(a2+b2+c2),所以 |AB2+1CD2+ |AD2+ |Bq2=|AC2+ |BD2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.跟踪训练 3 证明 如图所示，以直角三角形的直角顶点C为坐标原点，一直角边CA所在直一-一a b线为x轴，建立直角坐标系，则C(0,0).设A(a,0),B(0 ,b),则斜边中点M的坐标为(2, 2)-因为10M=宁+耳=2 ”a+b,1BM= . /4+2 b2=2 .?a2+b2,所以|0M=|BM=|MA即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.当堂训练1 . D 2.D3.B 4. 6a 2b+6解析由中点公式得 2 = 一 , 3 = 2 , a=