灰色系统理论与建模

1、灰色系统理论与建模灰色系统理论与建模主讲: 门可佩教授2009.03.16灰色系统理论基础灰色系统理论基础l19821982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定问题的新方论，是一种研究少数据、贫信息不确定问题的新方法。灰色系统理论以法。灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未部分信息已知、部分信息未知知”的的“小样本小样本”、“贫信息贫信息”不确定系统为研究不确定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息、实现对系统运行行为、演化规律取有价值的信息、实

2、现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测数据没有什么特别的要求和限制，因此应用领域十数据没有什么特别的要求和限制，因此应用领域十分宽广。分宽广。 GM(1, 1) 模型的一般过程模型的一般过程1.累加生成。设累加生成。设 为原始序列为原始序列 对对 进行一次累加生成，得生成序列进行一次累加生成，得生成序列其中其中,(0)X(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn(1)(1)(1)(1)(1),(2),( )Xxxxn(0)X(1)(0)1( )( ),1,2,kixkxi knGM(1, 1) 模型的一般

3、过程模型的一般过程2. 建模。建模。 由由 构造背景值序列构造背景值序列其中，其中， 一般取一般取= 0.5 ,建立白化方程建立白化方程(影子方程影子方程)为为 称之为称之为GM(1, 1)模型的原始形式模型的原始形式(1)X(1)(1)(1)(1)(2),(3),( )Zzzzn(1)(1)(1)( )(1)(1)( )zkxkxk2,3,kn(2,3, )kn( 1 )( 1 )d xa xbd tGM(1, 1) 模型的一般过程模型的一般过程这里，符号这里，符号GM(1, 1)的含义如下：的含义如下： G M （1， 1） Grey Model 1阶方程阶方程 1个变量个变量 将上式离散

4、化，微分变差分，得到将上式离散化，微分变差分，得到GM(1, 1)微微分方程如下：分方程如下：称之为称之为GM(1, 1)模型的基本形式。模型的基本形式。(0)(1)( )( )xkazkbGM(1, 1) 模型的一般过程模型的一般过程 其中其中a, ba, b为待定系数，分别称之为发展系数和灰色为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作量作量,a,a的有效区间是的有效区间是(-2, 1)(-2, 1)。3. 3. 求解参数。求解参数。 应用最小二乘法可经下式得：应用最小二乘法可经下式得：其中其中, ,1(,)()TTTnaa bBBBY(1)(1)(1)(1)(1)(1)11 / 2(1)(2)

5、,1 1 / 2(2)(3),11 / 2(1)( ),xxxxBxnxn(0)(0)(0)(2),(3),( )nYxxxnGM(1, 1) 模型的一般过程模型的一般过程4. 建立预测公式建立预测公式(1)(0)(0)(1)(1) (1)(1)(1)(1)( )akbbxkxeaaxkxkxkGM(1, 1) 模型的一般过程模型的一般过程5.检验模型检验模型求出求出 与与 之残差之残差 ，相对误差，相对误差求出原始数据平均值求出原始数据平均值 , 残差平均值残差平均值 : ( 0 )11()nkxxkn(0)(0)( )( )( )ekxkxk( 0 )()1 0 0 %()ke kxk(0

6、)( )xk(0)( )xk()e kkxe(0)21( )1nkeeknGM(1, 1) 模型的一般过程模型的一般过程l求出原始数据方差求出原始数据方差 与残差方差与残差方差 的均方差比值的均方差比值C和小误差概率和小误差概率p: l当当 ， ， 时，模型精度时，模型精度为一级。当发展系数为一级。当发展系数 时时, 则所建则所建GM(1, 1) 模型则可用于中长期预测。模型则可用于中长期预测。 21s22s2(0)2111( )nksxkxn2(0)2211( )nkseken0.35C 0.95p ( 2, 1)0.3aa 且21Css(0)1( )0.6745 pP ekes0.01k

7、GM(1, 1) 模型的一般过程模型的一般过程 精度检验等级参照表精度检验等级参照表相对误差相对误差 关联度关联度均方差比值均方差比值小误差概率小误差概率一级一级二级二级三级三级四级四级0.010.010.050.050.100.100.200.200.900.900.800.800.700.700.600.600.350.350.500.500.650.650.800.800.950.950.800.800.700.700.600.6000C0p例题例题 设原始序列为：设原始序列为：试用试用GM(1,1)模型对模型对 进行模拟。进行模拟。(0)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(

8、3),(4),(5)Xxxxxx(0)X(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)第一步第一步对对 作一阶累加作一阶累加(0)X(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1),(2),(3),(4),(5)Xxxxxx(2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步第二步对对 作紧邻均值生成。令作紧邻均值生成。令得得(1)X(1)(1)(1)( )0.5(1)0.5( )zkxkxk(1)(1)(1)(1)(1)(2),(3),(4),(5)Zzzzz(4.513,7.820,11.184,14.718)于是，(1)(1)(1)(1)4.5131(2)

9、17.8201(3) 111.184 1(4) 114.718 1(5) 1zzBzz (0)(0)(0)(0)3.278(2)3.336(3)3.390(4)3.678(5)xxYxx第三步第三步对参数列对参数列 进行最小二乘估计。进行最小二乘估计。得得( , )Taa b10.03720()3.06536TTaB BBY第四步第四步确定模型确定模型及时间相应式及时间相应式(1)(1)0.03723.06536dxxdt(1)(0)(1)(1)akbbxkxeaa0.037285.27615182.402151ke第五步第五步求求 的模拟值的模拟值(1)X(1)(1)(1)(1)(1)(1)

10、(1),(2),(3),(4),(5)Xxxxxx(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)第六步第六步还原求出还原求出 的模拟值的模拟值得得(0)(1)(1)(1)(1)( )xkxkxk (0)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(3),(4),(5)Xxxxxx(2.8740,3.2320,3.3545,3.4817,3.6136)(0)X第七步第七步检验误差。检验误差。残差平方和残差平方和平均相对误差平均相对误差(2)(3) (2), (3), (4), (5)0.01511(4)(5)Ts 5211.6025%4kk 误差检验表误差检验表序

11、号序号实际数据实际数据模拟数据模拟数据残差残差相对误差相对误差12343.2783.3373.3903.6793.2303.35453.48173.61360.0460-0.0175-0.09170.06541.40%0.52%2.71%1.78%(0)( )x k(0)( )xk(0)(0)( )( )( )k x k x kk残差修正残差修正GM(1,1)若用若用 修正修正 则称修正后的时间响应式则称修正后的时间响应式为残差修正为残差修正GM(1,1)模型，简称残差模型，简称残差GM(1,1)0(0)0(1)()(0)(0)00(1) (1)(1)( )akak kakbbxekkaaxk

12、bbbkkxeakeaaa(0)X 0新陈代谢新陈代谢GM(1,1) 设原始序列为：设原始序列为： 设设 为最新信息，置入最新信息，去掉最老信为最新信息，置入最新信息，去掉最老信息息 ，称用，称用 建立的模型为新陈代谢建立的模型为新陈代谢GM(1,1)(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn(0)(1)xn (0)(1)x(0)(0)(0)(0)(2),(3),(1)XxxxnGM(1，1)模型的变换模型的变换1.GM增量模型增量模型 对原始据时间序列采用特殊的预处理，即先进行一对原始据时间序列采用特殊的预处理，即先进行一累减算子运算，分离出增量部分累减算子运算，分离出增量部分

13、 再对增量序列建立普通再对增量序列建立普通GM(1, 1)预测模型，最后再经预测模型，最后再经 式式 还原成总量。我们称经过还原成总量。我们称经过 这种变换的模型为灰色增量这种变换的模型为灰色增量模型模型(IGM模型模型)。(0)(0)(0)(0)()( 1)()ztxx tx t (0)(0)(0)(1)()()xtztxt 2.新初值新初值GM模型模型以以 为初始条件的为初始条件的GM模型模型 根据灰色系统理论的新信息优先原理，把根据灰色系统理论的新信息优先原理，把 的第的第n个分量作为灰色微分模型的初始条件，可以个分量作为灰色微分模型的初始条件，可以使模型精度有所提高。灰色微分方程使模型

14、精度有所提高。灰色微分方程 的时间响应的时间响应函数为函数为 还原值还原值(1)( )x n(1)x(1)(1)()( )( )a t nbbxtxneaa(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)( )(1)( )aa tnbxtxtxtexnea (1)x(1)x3.离散离散GM模型模型称为称为离散离散GM(1, 1)模型，即模型，即DGM(1, 1)模型。模型。时间响应函数：时间响应函数：这里，这里， (1)(1)12(1)()xkxk(1)(0)11211(1)(1)1kkxkx112(,)()TTTB BB ( 0 )( 0 )( 0 )(1)(2)()xxxn(1)(1)(1)(1

15、)(1)(1)11/2(1)(2),1 1/2(2)(3),11/2(1)( ),xxxxBxnxn 还原值还原值 DGM(1, 1)模型是灰色预测模型的一种新形式，可模型是灰色预测模型的一种新形式，可以全面解释原以全面解释原GM(1, 1)模型从离散形式到连续形式模型从离散形式到连续形式转变问题，用转变问题，用DGM(1, 1)做纯指数增长序列预测模做纯指数增长序列预测模拟，结果完全符合增长规律，解决了预测稳定性拟，结果完全符合增长规律，解决了预测稳定性问题。问题。 (0)(1)(1)(1)(1)(1 )(1 )(1 )( )x kx kx kx k 1,2,1kn4. 无偏无偏GM(1,1

16、)模型模型l在求出 之后, 得到模型：1,()TTTna bB BB Y 01(0) ( ) (1) (1)(2,3, )a kaxkexb a ek 无偏无偏GM(1,1)模型模型l令 l再令，l建立无偏GM(1, 1)模型 l与传统的GM(1, 1)模型相比，无偏GM(1, 1)模型不存在传统GM(1, 1)模型所固有的偏差，因而就消除了传统GM(1, 1)模型在原始数据序列增长率较大时失效的现象，使得其应用范围变得更加广泛。此外，无偏GM(1, 1)模型无需进行累减还原，简化了建模步骤，提高了模型的计算速度。 1222ln,22abaa 1012(2,3,)kxkek无偏无偏GM(1,1

17、)模型模型l实际应用时，灰色模型维数的选择也影响到预测的精度。对于维数的选择将采用如下的方法：先由全部的个原始数据建立第一个无偏灰色预测模型，考虑所建立的模型是否符合实际要求，否则去掉 ，用剩余的 个数据建立第二个无偏灰色模型，看是否符合实际要求，否则去掉 ，用剩余的 个数据建立第三个无偏灰色模型，依此类推，直到第 个数据被去掉为止。在所建立的 个无偏灰色模型中选择拟合 最优的曲线作为预测曲线。 01x1n 02x2n14mn m m 0 xn 灰色关联分析灰色关联分析 灰色关联分析的基本思想灰色关联分析的基本思想 根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系根据序列曲线几何形状的相似程度来判断

18、其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。反之就越小。关联度关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度前应计算关联系数。法，在计算关联度前应计算关联系数。 （1）关联系数：）关联系数： 设设则关联系数定义为：则关联系数定义为： 00001 ,2 ,.,XkXXXn 00001 ,2 ,.,XkXXXn 00000000minminmaxmax( )maxmaxXkXkXkXkkXkXkXkXk式中：式中： 为第为第k个点个点 和和 的绝对误差的绝对误差 为两极最小差为两极最小差 为两极最大差为两极最大差 成为分辨率，成为分辨率， 一般取一般取对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即对该序列所有数据分别除以第首先进行初始化，即对该序列所有数据分别除以第一个数据一个数据 00XkXk 0X 0X 00min min XkXk 00maxmax XkXk010.5（2）关联度）关联度 和和 的关联度的关联度 0Xk 0Xk11nkrkn灰色绝对关联度灰色绝对关联度设系统行为序列设系统行为序列 与与 长度相同，长度相同，则称则称为为 与与 的灰色绝对关