二元函数的偏导数与全微分完整版本

1、上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二二元函数的偏导数与全微分元函数的偏导数与全微分一、一、偏导数偏导数二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、全微分三、全微分四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分一、偏导数一、偏导数1、偏导数的定义偏导数的定义上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.

2、2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如函数如函数 在点在点 处处 ( , , )uf x y z ( , , )x y z0(, , )( , , )( , , )lim,xxu xx y zu x y zux y zx 0( , )( , , )( , , )lim,yyu x yy zu x y zux y zy 0( , ,)( , , )( , , )lim.zzu x y zzu x y zu x y zz 上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微

3、分例例1 求求223zxxyy解法解法1zx (1,2)zx 解法解法2(1, 2)zx 在点在点( (1 , 2) )处的偏导数处的偏导数. .(1, 2)zy 23 ,xy zy 32xy ,82312(1,2)zy 72213264xx 1(26)xx 8 1xz 213yy 2(32 )yy 72yz 上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分例例2 设设(0,1yzxxx且） ，1 2lnxzzzyxxy证证zx1 lnxzzyxxy例例3 求求222rxyz 的偏导数的偏导数 . .解解rx ryyyxx zy求证求证: :1,

4、yyxlnyxx2z 2222 xyzx2xr .rzzr ,yr上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分偏导数记号是一个偏导数记号是一个例例4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程求证求证: :1pVTVTp TRVp证证,RTpV ,RTVp ,pVTRpVTVTp说明说明: :( (R 为常数为常数) , ) , pV 2RTV VT RpTp VRRTpV 1. 不能看作不能看作分子与分母的商分子与分母的商 ! !此例表明此例表明, ,整体记号整体记号, ,上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与

5、全微分二元函数的偏导数与全微分2. .偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分（1）几何意义几何意义: :上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分（2）偏导数存在与连续的关系）偏导数存在与连续的关系例例如如,函函数数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并

6、不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，上页上页下页下页返回返回整理课件则称它们是则称它们是z = f (x , y)5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分二、高阶偏导数二、高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域 D D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数( , ) ,( , )xyzzfx yfx yxy 若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，()zx ()zxy()zyx22()( , )y

7、 yzzfx yyyy 的的二阶偏导数二阶偏导数 . .按求导顺序不同按求导顺序不同, , 有下列四个二阶偏导有下列四个二阶偏导22zx ( , );xxfx y 2zx y ( , )x yfx y 2( , );yxzfx yy x x 数数: :上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数. .例如，例如， z = f (x , y)关于关于x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为2323()zzxxx z = f (x , y)关于关于x的的 n 1 阶偏导数阶偏导数 , , 再关于再关于y

8、 的一阶的一阶( )y 1nnzxy 偏导数为偏导数为11nnzx 第二、三个偏导数称为第二、三个偏导数称为混合偏导数混合偏导数. .二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数. .上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微

9、分22xye 例例6 求函数求函数2xyze 32.zy x 解解 zx 22zx 322 ( )zzy xxy x zy 2zy x 2 zx y 22 zy 注意注意: :此处此处22,zzx yy x 但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立. .2xye 22xye 2xye 22xye 22xye 24xye 的二阶偏导数及的二阶偏导数及 上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？问题问题例如例如, , 对三元函数对三元函数u = f (x , y , z)

10、,( , , )( , , )( , , )xyzyzxzxyfx y zfx y zfx y z ( , , )( , , )( , , )xzyyxzzyxfx y zfx y zfx y z 当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点 (x , y , z) 连续时连续时, , 有有上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分22220.uuxy证证22221lnln(),2xyxy 22,uxxxy 22,uyyxy 222222222222()2,()()uxyxxyxxxyxy 222222222222()2.()()uxyyyxy

11、yxyxy22220.uuxy 上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分例例8 证明函数证明函数2221,urxyzr满足满足2222220.uuuxyz证证ux 22ux 利用对称性利用对称性, ,有有2223513,uyyrr 222222uuuxyzu 方程方程21rrx21xrr 31r 43xrrx 23513xrr 2223513uzzrr 2223533()xyzrr 2r 0 上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分三、全微分三、全微分全增量全增量上页上页下页下页返回

12、返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分定义定义2 如果函数如果函数 z = f ( x, y )在点在点( x , y )(,)( ,)zf xx yyf x y 可表示成可表示成() ,zA xByo 其中其中A , B不依赖于不依赖于 x , y ,仅与仅与 x , y 有关，有关，称为函数称为函数( , )f x y在点在点 (x, y) 的的全微分全微分, , 记作记作dzdfA xB y 若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微, ,22()()xy 则称函数则称函数 f ( x, y ) )在点在点( x, y) 可微可微，的全增量的

13、全增量则称此函数则称此函数在在D 内可微内可微. .A xB y 上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分证证( ),zA xB yo 0lim0,z 00lim(,)xyf xx yy 0lim ( , )f x yz ( , )f x y “可微可微”与与“连续连续”的关系？的关系？上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分“可微可微”与与“偏导数存在偏导数存在”的关系？的关系？上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分( ,

14、)( , )xzfyfy zx 同样可证同样可证,zBy .zzdzxyxy证证 由全增量公式由全增量公式(),zA xB yo 0,y令 ()A xox 得到对得到对x 的偏增量的偏增量xx x因此有因此有 0limxxzx A 上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分反例反例: : 函数函数( , )f x y 易知易知(0, 0)(0, 0)0,xyff 但但(0, 0)(0, 0)xyzfxfy ( ),o 注注: : 定理定理3 的逆定理不成立的逆定理不成立 . .22()()xyxy 22()()xyxy 22()()xyxy

15、 0偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 ! !2222,0 xyxyxy 220,0 xy因此因此, ,函数在点函数在点 不可微不可微 . .(0,0)上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分定理定理4 ( (可微的充分条件可微的充分条件) ) 若函数若函数( , )zf x y ,zzxy的偏导数的偏导数( , )x y则函数则函数在点在点连续，连续，在该点在该点可微可微 . 且且zzdzdxdyxy全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.uuududxdydzxyz.例如例如, ,

16、 三元函数三元函数( , , )uf x y z 的全微分为：的全微分为：上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分例例9 计算函数计算函数 在点在点(2,1)处的全微分处的全微分. . xyze 解解zx 22,2(2,1)(2,1)zzeexy22(2,1)2dze dxe dy例例10 计算函数计算函数的全微分的全微分. . sin2yzyuxe解解 du 1 dx1( cos )22ydy .yzye dz zy ,xyyexyxe2(2)edxdyyzze上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元

17、函数的偏导数与全微分可知当可知当* *四、全微分在数值计算中的应用四、全微分在数值计算中的应用 近似计算近似计算: :由全微分定义由全微分定义xy( , )( , )( )xyzfx yxfx yyo (,)f xx yy( , )( , )xyfx yxfx yy 较小时较小时, ,( , )( , )xyz dzfx yxfx yy dz及及有近似等式有近似等式: :( , )f x y( (可用于近似计算可用于近似计算; ; 误差分析误差分析) ) ( (可用于近似计算可用于近似计算) ) 上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分例

18、例11 计算计算的近似值的近似值. . 02. 204. 1解解 设设( , )yf x yx , ,则则( , )xfx y 取取1,2,xy则则2.021.04(1.04, 2.02)f yfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (12 0.040 0.021.08 ( , )yfx y 1,yy x lnyxx0.04,0.02xy上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分半径由半径由 20cm 增大增大解解 已知已知2,Vr h V20,100,rh 2220 100 0.0520( 1)V 即受压后圆柱体体积减少了即受

19、压后圆柱体体积减少了 .cm2003例例12 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变, ,到到 20.05cm , , 则则 2 rh r 2rh 0.05,1rh 3200(cm ) 高度由高度由100cm 减少到减少到 99cm , ,体积的近似改变量体积的近似改变量. . 求此圆柱体求此圆柱体上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微分偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导 （相等的条件）（相等的条件）内容小结内容小结上页上页下页下页返回返回整理课件5.2 5.2 二元函数的偏导数与全微分二元函数的偏导数与全微