2020年高考文数二轮专题复习：题型1第4讲不等式、线性规划含解析

1、第 4 讲不等式、线性规划 考情分析不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对 不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本 不等式求最值及线性规划问题.(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识 领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难 度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导 数问题时利用不等式进行求解，难度偏高. 热点题型分析 热点 1 不等式的性质及解法 方法结论 - V - 1 利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用. 2. 元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2 +

2、bx+ c0工 0)，再求相应一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0工 0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等 式的解集. 3. 简单分式不等式的解法 f x g70(0(b0，给出下列四个不等式： a2b2:2a2b_ a- b a- b;a3 + b32a2b. 其中一定成立的不等式为() A. B . C. D . 答案 A 解析 解法一：由 ab0 可得 a2b2，所以成立； 由 ab0 可得 ab-1,而函数 f(x) = 2x在 R 上是增函数, f(a)f(b-1)， 即 2a2b-1，所以成立； ab0，. . a b， ( a b)2 (

3、 a .b)2 = 2 ab-2b= 2 b( a- ,b)0, a b%：a . b,所以成立; 若 a= 3, b= 2,贝 U a3 + b3 = 35,2a2b = 36, 有 a3+ b3b2,2a2b Ja b a .b 均成立，而a3 + b32a2b 不成立，故选 A. 2. 函数 f(x)= 3x x2的定义域为( ) A. 0,3 B. (0,3) C. (, 0 U 3 ,+x) D. (, 0)U (3,+x) 答案 A 【误区警示】I 1判断不等式是否成立，需要利用性质推理判断，也经常采用特值法进行验 证或举出反例，如第 1 题中对于 a 与 a b 或者 ab 与

4、0 的大小判断易出错，利 用不等式的性质 ab0, a bb b 0,即 a b0. 2. 解一元二次不等式要注意二次项系数的正负，通常先把系数化正再求解， 不等式的解集要写成集合或区间的形式.如第 2 题易忽略二次项系数为负，由 3x 解析 要使函数 f(x)= 3x x2有意义，则 3x x20, 即卩 x 3x 0? x(x 3)0,解得 0Wx3,故选 A. 2x 一 4 3. 不等式2一 RM 1 的解集为( ) A. x|x 3 C.x|1xM 3 B . x|1M xM 3 D. x|1x 0 得出选项 C. 3. 解不等式时同解变形出错，第 3 题易出现的问题有两个方面：一是错

5、用不 等式的性质直接把不等式化为 2x 4M x 1 求解；二是同解变形过程中忽视分母不 为零的限制条件，导致增解 热点 2 基本不等式及其应用 方法结论 v 1. 利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则 如果 x0, y0, xy= p（定值），当 x= y 时，x+ y 有最小值 2 , p.（简记：积 定和最小） 1 2 如果 x0, y0, x+ y= s（定值），当 x=y 时，xy 有最大值 4s .（简记：和定 积最大） 2. 利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值, 主要有两种思路： （1） 通过变形直接利用基本不等式解决. （2） 对条件变形，根据已

6、知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”， 通 过“ 1 的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式. 常见的转化方法有： （字母均为正数）; 【题型分析】 1. 下列结论正确的是（ ） A. 当 x0 且 XM 1, lg x + 十2 1 B. x+1 0 时， x+ 1x 2 1 D. 当 0 x 2 时，x 一无最大值 x 答案 C 解析 对于 A，当 0VXV1 时，lg x0 时，也+扌2 寸应扌_2,当且 1 若 a+ b_ y 1,贝 U mx+ ny_(mx+ ny) _ (mx+ ny) + b ma+ nb+2 ,mnab x+ - _ x a + x a b x

7、 + aa + 2 b(xa, b0). 仅当 x_ 1 时等号成立；对于 D,当 0 xW 2 时，y_x-单调递增，所以当 x_ 2 时, x 3 取得最大值，最大值为 3.故选C. 2. _ 已知0 x1， 则x(4 - 3x)取得最大值时 x 的值为 _ . 2 答案 2 解析 x(4 3x) = * (3x)(4 3x) 1,则函数 y=迸严的最小值为 答案 9 2 解析 x 1,A x+ 10= x+x= x+1，即 x=1时取“=”(由于 x 1,故 x= 3舍去)， y=迸丁的最小 值为 9. 4. _(2018 江苏高考)在厶 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为

8、a, b, c,Z ABC =120 , / ABC的平分线交 AC 于点 D,且 BD= 1,贝 U 4a + c 的最小值为 _ . 答案 9 解析由题意可知，SA ABC= SAABD + SA BCD , 由角平分线性质和三角形面积公 1 1 1 1 1 式得acsin120 =2*x 1 xsin60 + 沖 1xsin60 化简得 ac= a+ c,首+ = 1, 因 此 4a + c= (4a + c) +三)=5+1+鲁5+ 2、甲=9,当且仅当 c= 2a= 3时取等 号，则 4a+ c 的最小值为 9. 【误区警示】 1.利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即 “一正

9、一一各项都是正 数；二定 和或积为定值；三等 能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一 不可. 2.第 2 题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变 形凑出两式之和为定值；第 3 题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值. 第 4 题利用 T的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价 热点 3 简单的线性规划问题 方法结论 1. 解决线性规划问题的一般步骤 画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点； x+ 1 X+ 1 2 (x+ 1)+ 5(x+ 1)+ 4 = x+ 1+ 丄 = x+1 x+ 1 + 52/(x+ 1)x+1+

10、 5 = 9,当且仅当 x+ 1 = 求出目标函数的最大值和最小值. 2. 常见代数式的几何意义 Az z (1) z= Ax+ By 表示与直线 y= RX+ B在 y 轴上的截距B成比例的数； (2) z= (x a)2 + (y b)2区域内动点(x, y)与定点(a, b)的距离的平方； (3) z= ya 表示区域内动点(x, y)与定点(a, b)连线的斜率. 3. 求解线性规划中含参问题的基本方法 (1) 首先把不含参数的平面区域确定好； (2) 把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解， 代入目标 函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围. 4.

11、解线性规划应用问题的一般步骤 (1)分析题意，设出未知量； 列出线性约束条件和目标函数； (3) 作出可行域并利用数形结合求解； (4) 作答. I【题型分析】 题型 1 已知约束条件，求目标函数的最值 2x+ 3y 6 0， 1. (2019 全国卷U )若变量 x，y 满足约束条件 x+ y 3w0， 则 z= 3x y y 2 w 0， 的最大值是 _ . 答案 9 解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)， 由图易知， 当直线 y= 3xz过点 C 时，一 z 最小，即 z 最大. x+ y 3 = 0, x= 3, 由 2 解得 2 2x+ 3y 6 = 0, y= 0,

12、即 C 点坐标为（3,0）,故 Zmax= 3X 3 0= 9. 则 z= x2 + y2 4x6y+ 13 的最小值为 _ . 由于 z= x2 + y2 4x6y+ 13= (x 2)2 + (y 3)2,故 z 表示可行域内的点 A(x, y)与定点 P(2,3)间距离的平方，即 z=|PAf. 由图形可得|PA|的最小值即为点 P(2, 3)到直线 x+ y 4= 0 的距离 d= |2+ 3 4| =亚 2 = 2 , 2 1 所以 Zmin = d = ?. |【误区警示】| 第 1、2 题易错在不能准确把握目标函数 z 的几何意义而不知如何变形 题型 2 已2.(2019 晋城一

13、模)若 x, y 满足约束条件 x+ y4 1, 1. （2019 华南师大附中一模）已知 a0, x, y 满足约束条件 x+ yax3, z= 2x+ y 的最小值为 1,贝 U a=( ) C. 1 答案 A x= 1, 解析 由约束条件画出可行域（如图所示三角形及其内部）.由 $= ax 3） 得 B（1, 2a）.当直线 2x+yz= 0 过点 B 时，z= 2x+ y 取得最小值，所以 1 = 2X 1 1 2a,解得 a= q,故选 A. x y 0, 2.知 x, y 满足约束条件 x+ y2, 若 z= ax+ y 的最大值为 4,贝 U a= 在直角坐标系中所表示的平面区域

14、如图中的 阴影部分所示, 若 z= ax+ y 的最大值为 4, 则 y= ax+ z 截距的最大值为 4. 若 a0,当一 a1 时，x= 2, y= 0 是最优解，此时 a= 2；当一 a 1,即 0a1(舍).故选 B. 【误区警示】 第 1 题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线 y= a(x 3)恒过定点(3,0)而 不好确定可行域；第 2 题需明确目标函数中 z 与直线 y= ax+ z 截距最值相同， 易忽视关于 a 的正负讨论而漏解或错解. 题型 3 线性规划的实际应用 (2019 黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产 一桶甲饮料需要白糖 4 千克，果

15、汁 18 千克，用时 3 小时；生产一桶乙饮料需要白 糖 1 千克，果汁 15 千克，用时 1 小时.现库存白糖 10 千克，果汁 66 千克，生产 一桶甲饮料利润为200 元，生产一桶乙饮料利润为 100 元，在使用该机器用时不 超过 9 小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为 _ . 答案 600 解析 设生产甲、乙两种饮料分别为 x 桶、y 桶，利润为 z 元， 4x+ y 10, 18x+ 15y 66, 则得 3x+ y 0, L y0. 目标函数 z= 200 x+ 100y. 4x+y-l0=0 4x+ y 10, 6x+ 5y 22, 即 3x+y 0, L y0.

16、 6%+5y-22=0 作出可行域（如图阴影部分所示）当直线 z= 200 x+ 100y 经过可行域上点 B 时，z 取得最大值. 4x+ y= 10, 解方程组* 得点 B 的坐标（2,2）,故 Zmax= 200X 2+ 100X2 = 600. x+ 5y= 22, I【误区警示】I 1. 线性规划的实质是把代数问题几何化， 即数形结合的思想.需要注意的是： 一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条 件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最 小会在可行域的端点或边界上取得. 2. 在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的

17、实际意义，判断所设 未知数 x，y 的取值范围，特别注意分析 x，y 是否是整数、是否是非负数等. 真题自检感悟 1. （2019 全国卷 I ）已知 a= log20.2，b = 202，c= 0.203,则（ ） A.abc B. acb C.cab D. bca 答案 B 0 2 0 3 解析 因为 a= log20.21,0c= 0.2 . ca.故选 B. （2x+ 3y 3 w 0， 2. （2017 全国卷U ）设 x,y 满足约束条件 2x- 3y+ 30， 则 z= 2x+ y 的最 y+ 3 0， 小值是（ ） A. - 15 B . - 9 C. 1 D. 9 答案 A

18、解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. 将目标函数 z= 2x+ y 化为 y= 2x+z,作出直线 y= 2x,并平移该直线， 知当直线 y= 2x+ z 经过点 A( 6, 3)时，z 有最小值，且 zmin 2 X ( 6) 3 = 15.故选 A. .2 x x+ 3, xW 1, 3.(2017 天津高考)已知函数 f(x) 2 设 a R，若关于 x 的 |x+ , x 1. 不等式 f(x) -+ a 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是( ) 2 A-16, 2 C. 2 3, 2 B. _-16, 19 D-2飒 答案 A x x 解析 关于 x 的不等式 f(x)

19、2+ a 在 R 上恒成立等价于f(x) a+- f(x), x x 即一 f(x) af(x) q 在 R 上恒成立, x 令 g(x)二一 f(x) 2. 当 x 1,即 x时, 故 g(x)max= 2 3. 宀 47 综上，g(x)max= 当 x 当 x 1 时，g(x)= x a 1 1 综上可得 2 + 8 的最小值为 4. 专题作业 一、选择题 1.（2019 北京高考）若 x,y 满足 xi 1 y,且 y1,则 3x+y 的最大值为（ ） A. 7 B . 1 C. 5 D. 7 令 h(x) = f(x) 2, 当 x 1 时, 39 h(X)min = 16； 2 x

20、x 2 h(x)=x+ xx=x+x 2, 2 x，且 x 1,即 x= 2 时, 入 当且仅当 2= 故 h（x）min = 2. 综上，h（x）min = 2. -47 故 a 的取值范围为 i|屁，2 A. 1 4.（2018 天津高考）已知 a, b R,且 a- 3b + 6 = 0,则 2a+衣的最小值为 1 答案 1 1 解析 由 a 3b + 6= 0 可知 a 3b= 6,且 2a + 衣=2a + 23b, 因为对于任意 x,2x0 恒成立， 结合均值不等式的结论可得， 2a+ 2 3b 2 2aX 23b= 2 26= 4. 当且仅当 2 a 2 3b _a 3b_ 6,

21、 a_ 3, 即:b_1 时等号成立. 答案 Cx A. 1 2, B-2, C. 1 ,+x） D. -2 U 1 ,+x） 答案 解析 二三 0? 2X+ 1 （x1I2x+ 1 戶 0, 2X+ 1M 0, 解得 1 2=x 1, 1 即一 2xb0,且 ab= 1,则下列不等式成立的是（ ） 1 b A.a+ bv2av log2（a + b） b 1 Bv log2（a+ b）v a+ C.a+ log2（a+ b） v D. log2（a+ b）v a+ 萨亍 答案 B 解析解法一：v a b0, ab= 1, log2（a+ b）log2（2 . ab）= 1. 2 2 vab0

22、 且 ab= 1 , a abb，贝 U a1,0b2, 02，贝 U 75a+ blog2（a+ b）， b 1 2alog2（a+ b）b0, ab= 1 ,取 a=2, b=q, 此时 a + = 4,8, log2（a+ b） = log25-1 1.3, b 1 2vlog2（a+ b）v a+ .故选 B. 4.(2019 北京师范大学附中模拟 ） 已知a0, 111 b0,并且a，2，b 成等差数列, 则 a+ 9b 的最小值为( ) A.16 B. 9 C. 5 D. 4 答案 A 1 1 1 解析 a, 2, b成等差数列， a 2 b 1 1 “ 一+二=1 a b （1

23、a 9b la 9b , _, t a 9b _ a+ 9b二（a+ 9b）孑拱10+a+ /10 +企/b 訂16,当且仅当匸 9且 1 1 4 1+ 1,即 a = 4, b=3 时等号成立. a+ 9b 的最小值为 16,故选 A. a 5.已知函数 f(x) = x+ -+ 2 的值域为(一X, 0)U (4,+x)，则 a 的值是( ) X 1 3 A.g Bq C. 1 D. 2 答案 C 解析 由题意可得 a0,当 x0 时，f(x)= x + a + 22 a+ 2,当且仅当 x a 时取等号；当 x0 时，f(x) = x+a + 2 2 a + 2,当且仅当 x= , a

24、时取 入 2 +晋4,解得 a= 1,故选 C. 2 2 压 0, 等号，所以bc bac cab C.cba 答案 D 解析由题意结合对数函数的性质可知， 1 11 a= Iog2e1, b= In 2 = （0,1）, c= logIog23log2e,据此可得，cab. 故选 D. 7.已知 A.8 答案 1 1 x, y0 且 x+ 4y= 1,贝 r + -的最小值为（ ） x y B. 9 C. 10 D. 11 解析 1 1 訂 1、 V X x, y0 且 x + 4y= 1,二 x+y = （x+ 4y） - + yJ= 5+ 4 ?+5+ 当且仅当4X=x 即 1 x= 3

25、, 1 y=1 x= 1, 或 1 （舍去）时等号成立.故选 B. 尸 2 x 2y+ 1 0, 8.（2019 华大新高考联盟模拟）若实数 x,y 满足不等式组 yx, 则 x 0, x2 + y2的取值范围是（） A4, 2： B. 0,2 C.g,辺 D . 0, 0, 9 若 x, y 满足约束条件 xy0, 贝巴的最大值为（ ） x+ y 4 / 0 1 k x y 0, 10.若直线 I: kx y+ 1= 0 上不存在满足不等式组 x+ y2 0, 的点（x, x 4y 4 0, 解析 实数 x, y 满足 x+y 2 0, 对应的可行域如图中阴影部分: x 4y 41 且 b1

26、.-+ 7= 1 可变形为一匚=1, a b a b ab , _d_ . -ab= a+ b,. ab a b= 0,. (a 1)(b 1) = 1,. a 1 = , - a10, b 1 19 1 1 1 .R + b1 = R + 9( 2 a19a-1 = 6,当且仅当 R= 9(a 1)，即 a=4 时取“=”由于a1，故a=2 舍去，二 a1+b1 的最小值为 6.故 选 C. 1 9 2 12. (2019 太原模拟)已知直线 I: kx y+ 1= 0 可化为 y= kx+ 1,故直线 I 过定点 C(0,1),由图可知, x y= 0, 当直线 I 过 的交点 A(1,1

27、)时，k= 0;当直线 I lx+ y 2= 0 4 时 k=7 ， x；! 0 的交 由此可知当 0k0, b0,且-+ 匚二 1, a b 八 a+ b=(a+b) a+b =10+ a+旱 10+2 ,b9a=16, 当且仅当=曽，即 a= 4, b= 12 时等号成立，所以(a+ b)min = 16. 若不等式 a+ b x2 + 4x+ 18 m 对任意实数 x 恒成立，则x2 + 4x+ 18 m 16,即卩 m一 x2 + 4x+ 2 对任意实数 x 恒成立， 2 2 x + 4x+ 2= (x 2) + 66,二 m6. 实数 m 的取值范围是6, +).故选 D. 二、填空题 y1, 13. 已知实数 x,y 满