大数定理与中心极限定理的关系及应用

1、本科生毕业论文（设计）题目 大数定律与中心极限定理的 关系及应用 姓名 学号 院系 数学科学学院 专业 数学与应用数学 指导教师 职称 2013年 4 月 16 日曲阜师范大学教务处制目 录摘要3关键词3Abstract3Key words3引言31 大数定律与中心极限定理的关系41.1预备知识41.1.1大数定律41.1.2中心极限定理51.2大数定律与中心极限定理的关系61.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子71.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子81.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子92 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 102.1 在误差分析中的应用

2、102.2 在数学分析中的应用 112.3 在近似计算中的应用 132.4 在保险业中的应用 142.5 在企业管理方面的应用 15结论 16致谢16参考文献17大数定律与中心极限定理的关系及应用摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等

3、几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。关键词：大数定律 中心极限定理 随机变量 应用Relationship and Applications betweenthe Law of Large Number and Central Limit TheoremStudent majoring in mathematics and applied mathematics Bai YanfeiTutor Liu LiAbstract: Based on the law of large numbers and central limit theore

4、m in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the ran

5、dom variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theo

6、rem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value.Key words: Laws of large number; Central-limit theorem;

7、Random variables; Applications引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型

8、的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。大数定律和中心极限定理的发展和研究经历了很长一段时间。伯努利于

9、1713年首先提出被后人称之为“大数定律”的极限定理。1716年前后，棣莫弗对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为的情况进行了讨论，随后，棣莫弗拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。自特征函数理论理论建立起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等。大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、企业管理部门等。大数定律和中心极限定理作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对两者之间的关

10、系和应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对这两类定理的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中。下面文中就通过对大数定律和中心极限定理的讨论,给出了两者之间的关系,归结出一般性结论。最后列举了一些能用大数定律和中心极限定理来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明两者在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对这两类定理的理解。1 大数定律与中心极限定理的关系1.1 预备知识1.1.1 大数定律大数定律使用极限方法研究大量随机现象的统计规律性。人们在长期的实践中发现，频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性，也就是说，

11、无论个别测量值如何，其平均结果实际上与个别测量值的特征无关，几乎不再是随机的了。这种稳定性问题如何从理论上给出解释？这正是大数定律要解决的问题。阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定理都称为大数定律。一般的大数定律都涉及一个随机变量序列为此我们给出如下定义： 定义1：设为概率空间（其中样本空间，事件域，：概率）上定义的随机变量序列（简称随机序列），若存在随机变量,使对任意的0恒有，或等价地有，则称随机序列依概率收敛于随机变量（也可以使一个常数），并用下面的符号表示： 或. 定义2：设为一随机序列，数学期望存在，令，若 ,则称随机序列服从大数定律，或说大数法则成立。 切比雪夫大数定律：设

12、随机序列为相互独立的随机序列，若,，则服从大数定律。马尔可夫定理：设随机序列满足，且 ，那么服从大数定律。格涅文科定理：设随机序列相互独立，则对，的充要条件是.1.1.2 中心极限定理自从高斯指出测量误差服从正态分布后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见，例如炮弹的弹落点，人的身高、体重等都服从正态分布。观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用微小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布。这种现象就是中心极限定理的客观背景。中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题，其结论表明： 当一个量受许多随机因素(主导因素除外) 的共同

13、影响而随机取值，则它的分布就近似服从正态分布。为了方便后文的叙述，我们给出如下定义：定义1：依分布收敛：设,分别为随机变量以及的分布函数，若对于的任一连续点有，则称随机序列依分布收敛于，并称为的极限分布函数。 如果对于分布函数列存在一单调不降函数，使在的每一连续点上，则称弱收敛于，并记为 或.定义2：随即序列服从中心极限定理：设为相互独立随机变量序列，有有限的数学期望和方差: , 令, 若对于一致地有 ，则称服从中心极限定理。 列维-林德伯格定理：设为相互独立同分布的随机序列，且, ，则服从中心极限定理。费勒定理：设为相互独立的随机序列，若常数，使，且，则服从中心极限定理。1.2 大数定律与中

14、心极限定理的关系大数定律和中心极限定理统称为极限定理，两者都深刻地揭示了大量随机现象的内在规律性。大数定律讨论的是关于独立随机变量序列的平均结果的极限，给出了取平均值的理论依据；而中心极限定理则告诉我们大量独立随机变量之和的极限分布为正态分布。由以上知识可知：当随机变量独立同分布，且有大于的有穷方差时，两定理均成立：大数定律: .中心极限定理：.那么，当随机变量不是同分布的情形，两类极限定理之间又有什么关系呢？服从大数定理的是否服从中心极限定理？反之又如何？是否有两者都服从或都不服从的随机序列？下面我们通过几个例子来研究一下这个问题。1.2.1 服从大数定律，但不服从中心极限定理的例子例：设随

15、机变量的分布定义如下： ,下面证明服从大数定律，但不服从中心极限定理。证明：(1), , , ，.由马尔可夫定理可知服从大数定律。(2)若服从中心极限定理，则取，有,而当充分靠近时,，这就出现了矛盾，所以不服从中心极限定理。1.2.2 服从中心极限定理，但不服从大数定律的例子例：设是相互独立的随机变量序列, 的分布定义如下：,其中,下面证明服从中心极限定理，但不服从大数定律。证明：（1）, , , 当时 ,注意到 , ,且. 由费勒定理知服从中心极限定理。 (2) 是相互独立的随机变量序列, 且 ,注意到, , 可见 . 由格涅文科定理可知不服从大数定律。1.2.3 大数定律与中心极限定理均不

16、服从的例子例:设随机变量的分布定义如下：,并设随机变量序列相互独立。下面证明不服从大数定律，也不服从中心极限理。证明:(1), 当时,有 , 当充分大时，有. 事件 事件， 于是，当充分大时，对， . 不服从大数定律。 （2） , , 故当充分大时，有 , 但, 当充分大时，有, 故. 不服从中心极限定理。从上面地三个例子可以看出，对于不是同分布的情形，大数定律与中心极限定理之间的关系是不确定的。大数定律成立的随机变量序列可以不服从中心极限定理，中心极限定理成立的随机变量序列也可以不服从大数定理，甚至对有些随机变量序列来讲，大数定律与中心极限定理可以都不满足。因此，从以上讨论可以看出：当随机变

17、量独立同分布且有大于的有穷方差时，两定理均成立；当随机变量不是同分布的情形，大数定律与中心极限定理之间的关系是不确定的。2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用2.1 在误差分析中的应用根据大数定律,对于随机误差,应有这说明当测量次数较多时, 实测数据的平均值和预测真值的差值能以很大概率趋于0,因此,用求样本数据平均值的方法来进行测量是可行的。例如：某种仪器测量已知量时,设次独立得到的测量数据为,如果仪器无系统误差,问:当充分大时, 是否可取作为仪器测量误差的方差的近似值?解:把视作个独立同分布的随机变量的观察值,则,.仪器第次测量的误差的数学期望,方差.设，则也相互独立服从同一分布。在仪

18、器无系统误差时,即有,由切比雪夫大数定律,可得:,即.从而确定,当时,随机变量依概率收敛于,即当充分大时可以取作为仪器测量误差的方差。2.2 在数学分析中的应用定积分是现行新教材加入的新内容，它有其明显的几何意义所在，是新教材中的一大亮点。一般的定积分计算问题都可以借助找原函数或者利用其几何意义来求解。但是，有些复杂的定积分其几何意义不明显且被积函数的原函数不易求得。这时如果与概率论中的大数定律加以联系就会起到事半功倍的效果。例如：计算定积分的近似值。为了解这种近似计算的依据，先进行如下分析:若令为均匀分布的概率密度函数，即，则，而的数学期望，根据大数定律应该对该数学期望进行估计，即，样本：，

19、故可用.这种近似计算的具体过程如下：欲计算定积分的近似值，则应先取样本数列,求出函数序列，然后在求出，即为的近似估计值。大数定律在求解无穷级数上也有很大的作用，它为一些定理和固定公式的理论证明提供另一种有趣而且也有用的办法。下面我们就引用一个很著名的问题来展现大数定律在级数中的应用：伯努利是一位伟大而且著名的数学家，但是他也被一个在现在已经解决的问题难住了：求自然数倒数平方的级数和：.伯努利公开征求这个问题的求解方法。三十年过后，先是欧拉利用猜度术的方法找出了它的结果，他是第一个找出答案的，但是却不能证明，只能是数据验证，当然，到现在为止，有了很多种证明的方法，其中一种便是利用了大数定律的原理

20、来完成的。下面用大数定律的办法来求解这个级数的和。从自然数中有放回任意取出两个数，设他们的最大公因子是n,事件数为，表示第次取出的倍数事件.根据第一次和第二次从自然数序列中有放回的随机取出两数是的倍数的条件下，这两数的最大公因子是的条件概率等于从自然数序列随机取出两数互素的概率。于是有.显然是互不相容的，且有,与是相互独立的，,于是就有.根据伯努利大数定律知道，概率可近似的利用频率来表示，因此在如此多的自然书中，随机的取出两数互素的概率为。于是知所求级数的和为 .2.3 在近似计算中的应用 虽然中心极限定理反映的是当时，相互独立的随机变量序列的和的极限分布是正态分布的问题，但在应用解决实际问题

21、时，只要充分大就可以利用定理作近似计算。例如：设国际石油市场原油的每日价格的变化是均值为，方差为的独立同分布的随机变量；与第天的原油价格有关系式：。如果当天的原油价格为美元，求天后原油价格在美元与美元之间的概率。解：令表示当天的原油价格，则有，由于,所以，由林德贝格勒维（Lindeberg-Levy）中心极限定理得近似服从标准正态分布。于是 = =2.即天后原油的价格在美元与美元之间的概率为.因此，利用中心极限定理往往能得到相当精确的近似概率,在实际问题上广泛运用。2.4 在保险业中的应用大数定律和中心极限定理是概率论中两类具有极大意义的重要定理。 大数定律证明了在大样本条件下，样本平均值可以

22、看作是总体平均值(数学期望)，它是“算术平均值法则”的理论基础；中心极限定理比大数定律更为详细具体，它以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本均值总是近似的服从正态分布。中心极限定理指出：如果一个随机变量有众多的随机因素所引起，每个因素在总的变化里起着不大作用，就可以推断描述这个随机现象的随机变量近似的服从正态分布，所以要求随机变量之和落在某个区间上的概率，只要把它标准化，用正态分布作近似计算即可。中心极限定理还及时了离散型随机变量与连续型随机变量的内在联系，即离散型随机变量的极限分布是正态分布。正是这个结论使得正态分布在近似计算和误差分析中占有特殊的地位，是正态分布得以

23、广泛应用的理论基础。中心极限定理对保险业更是具有指导性的意义，一个保险公司的亏盈，是否破产，我们通过学习中心极限定理的知识都可以做到估算和预测。大数定律和中心极限定理是近代保险业赖以建立的基础。下面我们以一道具体的有关保险业的实例来阐述一下大数定律和中心极限定理在保险业中的重要作用和具体应用。例：某矿区为井下工人展开人身保险，规定每人年初向保险公司交保险金元，一年保险期内若工人死亡,保险公司向家属赔偿元.历史资料显示该矿井下工人的死亡率为,现此矿区有名井下工人参加人身保险,试计算(1)一年内井下工人死亡数不超过人的概率;(2)保险公司一年获利不少于元的概率；（3）保险公司亏本的概率是多少?解：

24、设表示一年内井下工人的死亡数。则, 保险公司每年的收入为元，付出元，（1） 由中心极限定理可知, 一年内井下工人死亡数不超过人的概率为（2）要使保险公司一年获利不少于86000元，必须满足 ,由中心极限定理知 .（3）保险公司亏本的概率为 = = =.由此可见,我们应用大数定律和中心极限定理的知识可以准确算出保险公司的破产几率。如何降低保险公司的风险以及影响保险公司盈亏的因素是我们需要进一步讨论的。2.5 在企业管理方面的应用大数定律与中心极限定理在企业管理中也有着广泛的应用，涉及商品订购、电力供应等方面。下面我们通过一个实例来了解一下这方面的应用：例：设无线电厂生产某型号微机以满足某地区个客

25、户的需求，若由以往的统计资料表明，每一用户对该型号微机的年需求量服从的泊松分布，问该无线电厂一年内应至少生产多少台这种型号的微机，才能以的把握来满足客户需求？解：假设个客户对这种微机的年需求量依次为,则由题意可知: ,即,因为服从泊松分布，所以,又设为这1000个客户对这种微机的年需求量，则,由于n较大，根据列维中心极限定理可知:近似地服从正态分布,即. 再设该无线电厂应安排年生产量为台，则应满足下式: , 从而有, 查表,可得,故有 , ,取(台）即可,即应安排年生产计划为台微机,才能使满足需求的概率为.结论本文根据有关大数定律与中心极限定理的相关定义、定理，通过举例得到大数定律与中心极限定理之间的关系，即当随机变量独立同分布且有大于0的有穷方差时，两定理均成立；当随机变量不是同分布的情形，大数定律与中心极限定理之间的关系是不确定的。在两者的应用上，我们给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在