高三数列列项求和与放缩法专题

1、（一）数列通项公式的求法8.(1)和型: 基本思路是，由得，相减，得奇数项成等差，偶数项成等差，分别求奇数项通项，偶数项通项。 例如：数列中相邻两项，是方程的两根，已知，则=_ (2)积型：基本思路是，由，得，两式相除，得奇数项成等比，偶数项成等比，分别求奇数项通项，偶数项通项，做法与“商型”相乘的思路相反例如：已知数列中，则数列的通项公式为_特别地：(1)如果数列从第2项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列为等和数列。递推公式为： （为常数），则即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等(2)如果数列从第2项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列为等积数列。递推公式为： （为常数），

2、则，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等9.周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例如：已知数列满足，则=_.10.取对数法形如，一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例如.设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.11.换元法：适用于含有根式递推关系式类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。例如.已知数列中，求数列的通项公式. 练习：1.数列满足，则数列的通项公式为_.2.数列中，若，则数列的通项公式_.3.若数列满足，若，则的值为_。4.在数列中，则的值为_。5.已知数列满足：，则数列的通项公式_.总结：形如解

3、法：利用待定系数法构造等比数列，令，与已知递推式比较，解出,z.从而转化为是公比为的等比数列。6.已知数列满足：，则数列的通项公式_.7.已知数列满足：，且，则数列 的通项公式_.总结：当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.8.已知在各项均不为零的数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.总结：数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出9.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.10.已知数列满足：，.（）证明数列为等差数列；（）求数列的通项公式及其前项和.11.已知数列满足：，记数列的前项和为.（）令

4、，证明：数列是等比数列；（）求最小的实数，使得对任意，都有成立.（一）数列通项公式的求法8.(1)和型: 基本思路是，由得，相减，得奇数项成等差，偶数项成等差，分别求奇数项通项，偶数项通项。 例如：数列中相邻两项，是方程的两根，已知，则=_ 分析：由题意：+，得： +，：所以该数列的所有的奇数项成等差，所有的偶数项也成等差，公差都为-3(2)积型：基本思路是，由，得，两式相除，得奇数项成等比，偶数项成等比，分别求奇数项通项，偶数项通项，做法与“商型”相乘的思路相反例如：已知数列中，求数列的通项公式特别地：(1)如果数列从第2项起的每一项与前一项的和为定值，则此数列为等和数列。递推公式为： （为

5、常数），则即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等(2)如果数列从第2项起的每一项与前一项的积为定值，则此数列为等积数列。递推公式为： （为常数），则，即该数列的所有的奇数项均相等，所有的偶数项也相等9.周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例如：已知数列满足，则=_.10.取对数法形如，一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例如.设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，则，是以2为公比的等比数列，.， 11.换元法：适用于含有根式递推关系式类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。例如.已知数

6、列中，求数列的通项公式. 解法： 令，则，代入得， 则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此， ，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。练习：1.数列满足，则数列的通项公式为_.2.数列中，若，则数列的通项公式_.3.若数列满足，若，则的值为_。4.在数列中，.解：由条件即即每间隔6项循环一次.1998=6×333，结论：数列有形如的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出5.已知数列满足：，则数列的通项公式_.总结：形如解法：利用待定系数法构造等比数列，令，与已知递推式比较，解出,z.从而转化为是公比为的等比数列。6.已知数列满足：，则数列的通项公式_.7.已知数列满足：，且，则数列 的通项公式_.总结：当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.8.已知在各项均不为零的数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.总结：数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出9.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设