利用递推公式求通项公式

1、利用递推公式求通项公式一、基本类型已知数列的首项和递推公式，可直接写出数列中的各项，可用待定系数法、累加法、累乘法、迭代法等求通项，也可以通过构造转化法化成新的等差、等比数列再进一步求通项构造等比数列，已知首项& ,如果递推关系形如“ an41 = qan + b,n w N，其中q,b为常数”，求数列an的通项公式的关键是将 an4 = qan+b转化为an书+a = q(an+a )的形式，其中ba的值可由待te系数法确te,即qan +b =an+ = qan +(q -1 )a= a=(q 1).q -11 .已知首项ai且递推关系形如“ an an=f (n X n至2 )

2、”可以用“累加法”即：an -%=f ( n), an一 an_2 = f( nT )；' ,a-a = f 3 , a-a= f 2,则有：an =a1f 2 f 3 厂 f n -1f n .2 .已知首项&且递推关系形如“ -a- = f (n )(n之2 )”可以用“累乘法”或“迭代法”， an J即 an =aj 2 f 3 f n-1 f n .3 .对于形如“ an4 = /a-(nw N* ),其中s,t为常数”的递推关系式，可采用取倒数的tan S11t1.一，1,、， t万法，将递推公式变形为 -=-，从而构造等差数列一,其首项为一,公差为一.an 1anS

3、ana1s. . . . . .4 .对于形如“ 4由=pan + f (n n = N，其中p为常数”的递推关系式，一般利用待定系数法构造新数列.若 f(n)为 n的一次式，则可令bn=an+An + B, 即令an+A(n+1)+B = p(an+An + B),与已知递推公式比较，解出 A,B ,从而转化为an+An + B是公比为p的等比数列.若f (n )为n的二次式，则可令bn =an +An2 +Bn +C ,下同. 若f (n )为n的指数式，即：an+ = pan + rqn,n w n (其中p,q均为常数，pq(p-qXq T )#0)解法：一般地，要先在原递推公式两边同

4、除以qn*得解 =an +-引入辅助数列q q q qbn(其中bn =an),得bn+=-bn +-,再利用待定系数法求解.qq q.- - - * . , 一5 .对于形如an =f (n吊+g(n n= N的数列，往往要通过分析f(ng(n关系，整理变形成 bn+bn =h(n )或bn噂 = pbn+h(n)的形式来求解.6 .递推公式为“4卡=pan书+qan (其中p,q均为常数)”，的数列，先把原递推公式利用待定系数法转化为an-e +sa童=t(a+sa ),再进行求解.7 .形如" an4=pan nw N (p>0,an >0)”的数列，一般是等式两边

5、取对数后转化为an = pan +q ,再利用待定系数法求解.ai =p8 .形如4 aa4+b (其中a,b,c,d, p为常数)的递推关系式，求数列通项通an = n 一 2cand常采用常数消去法，或者不动点法.不动点法：若 f(t)=t， 则称t为函数f (x)的不动点.令函数f(x)=ax b(c#0,adcb#0 ),若数列QJ满足递推关系an = f(an), cx daa b即an =，给te初始值 a="现)，利用函数f(x)的不动点来求数列&的can j d通项公式. 若函数f(x)有两个相异的不动点p, q ,即方程cx2+(d-a )x-b = 0有两

6、个相异实根p,q ,则有数列刍=艮是以 亘二p为首项，k为公比的等比数列.an -qaq2 右函数f (x )只有唯一的不动点p ,则万程cx +(da)x-b = 0只有唯一解p ,112c则有数列 一1是以为首项，以为公差的等差数列.an - pa1 - pa d9.形如“ an_ aa、b2aanc(n >2 ),其中a,b,c为常数”的数列也可以利用函数的不动点来求解通项.ax b2一 右函数ffx) =有两个不动点 p,q ,即方程ax +cx-b = 0有两个不同的根2ax cp,q ,则有 包二£ 二产2,上式两侧取对数，构造等比数列求解 an -q and -q

7、2ax +cx b = 0只有唯为公比的等比数列.ax 3 b 若函数f (x )= b只有唯一一个不动点 p ,即方程 2ax c c-，1个根p =则数列一 p是以a1 - p为首项，以一2a210.递推公式为Sn与n, an的关系式。(或Sn = f (an)这种类型一般利用a =!§ (n=1%an=Sn-Sn= f(an)-f(an)nSn(n-2)消去Sn(n22)或与Sn = f (Sn Sn)(n主2)消去an进行求解.二、基本题型1.根据下列条件，确定数列 an的通项公式. & =1,an书3an +2； a1 =2,an书=an +3n +2 ；八1八 a

8、1=1,an=an+r n 之2 ;n n -1 4 = 1,an 4=7'；an 2 设Qn)是首项为1的正项数列，且(n+1 )a；由一nan2+an由an = 0；已知数列QJ中，a1 =1 ,数列bn中，bi =0 ,当n至2时，1c ,1 C ,an ( 2an 1 bn_1),bn W(2an_ 12bn _ )5 1 求 an,bn . 332.在数歹U an中，a1 =1,an+= an+cn ( c为常数，a1 =2,an =3an一5(n 22),且 5an3W,a2,a3成公比不为1的等比数列求c的值； 求an的通项公式.2n ,、3. 已知数列an满足a= ,an4=an，求an.3 n - 1.2 一2a° 14.已知正数数列an中，a =2 ,若关于x的方程x ja：x+n- = 0有相等的实n'4根. 求an的通