互斥事件的概率加法公式

1、12.4 12.4 概率的加法公式概率的加法公式复习回顾复习回顾样本空间样本空间随机试验的一切可能一切可能结果构成的集合集合随机事件随机事件样本空间的任一任一个子集子集样本空间的元素元素基本事件基本事件问题问题1:1:抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察掷出的点数观察掷出的点数. .设事件设事件A A为为“出现奇数点出现奇数点”, ,B B为为“出现出现2 2点点”. .事件事件A A和事和事件件B B可以同时发生吗？可以同时发生吗？ 不可能同时发生不可能同时发生1.1互斥事件互斥事件 我们把不可能同时发生的两个事件我们把不可能同时发生的两个事件A A、B B叫做叫做互斥事互斥事件件.(.(或或

2、互不相容事件互不相容事件).).一、基本概念一、基本概念我们知道任何事件都可以看成是由基本事件为元素构我们知道任何事件都可以看成是由基本事件为元素构成的集合成的集合,如果如果A、B互斥互斥,则则_BA事件A、B互斥集合A、B的交为空集判断判断如图中阴影部分所表示的就是如图中阴影部分所表示的就是ABAB. .由事件由事件A A和和B B至少有一个至少有一个发生发生(A(A发生发生, ,或或B B发生发生, ,或或A A、B B都都发生发生) )所构成的事件所构成的事件C,C,称为事件称为事件A A与与B B的的并事件并事件( (或或和事件和事件) )记作记作C=ABC=AB( (或或C=A+BC

3、=A+B).).事件事件ABAB是由事件是由事件A A或或B B所包含的所包含的基本事件所组成的集合基本事件所组成的集合. .1.21.2事件的并事件的并: :抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察掷出的点数观察掷出的点数. . 事件事件A A为为“出现出现1 1点点”,B,B为为“出现出现5 5点点”求求ABAB设事件设事件A A为为“出现奇数点出现奇数点”,B,B为为“出现出现2 2点或点或3 3点点”, ,求求ABAB练习2.求下列事件的求下列事件的和事件和事件事件事件A A表示某地区的年降水量在表示某地区的年降水量在100-150 mm100-150 mm范围内范围内, ,事件事件B B表

4、示降水量在表示降水量在150-200 mm150-200 mm范围内范围内, ,求求ABAB从不包括大小王的从不包括大小王的5252张扑克牌中随机抽取一张张扑克牌中随机抽取一张, ,事事件件A A为为“取到红桃取到红桃”, ,事件事件B B为为“取到方片取到方片”, ,求求ABAB甲、乙甲、乙2 2人下棋人下棋,A,A为为“下成和棋下成和棋”,B,B为为“乙获胜乙获胜”求求ABAB1.31.3对立事件对立事件: :例如例如: :抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察掷出的点数观察掷出的点数. .设事件设事件A A为为“出现出现奇数点奇数点”, ,事件事件B B为为“出现偶数点出现偶数点”. . A

5、BAB为不可能事件为不可能事件, ,ABAB为必然事件为必然事件, ,所以事件所以事件A A和和B B互为互为对立事件对立事件若若A AB B为为不可能不可能事件事件,A,AB B为为必然必然事件事件, ,那么称事件那么称事件A A与与事件事件B B互为对立互为对立事件事件, ,事件事件A A的对立事件记作的对立事件记作: ,: ,这里这里AAB 问问: :互为对立的两个事件一定是互斥事件吗?是练习练习1 1. .判断下列给出的每对事件判断下列给出的每对事件,(1),(1)是否为互斥是否为互斥事件事件,(2),(2)是否为对立事件是否为对立事件, ,并说明理由并说明理由. . 从从4040张扑

6、克牌张扑克牌( (红桃、黑桃、方块、梅花红桃、黑桃、方块、梅花, ,点数从点数从1 1到到1010各各4 4张张) )中任取中任取1 1张张: :（1 1）“抽出红桃抽出红桃”与与“抽出黑桃抽出黑桃”；（2 2）“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出黑色牌抽出黑色牌”；（3 3）“抽出的牌点数为抽出的牌点数为5 5的倍数的倍数”与与“抽出的牌点数大于抽出的牌点数大于9 9”. .所以所以对立对立事件事件一定一定是是互斥互斥事件事件, ,而而互斥互斥事件事件不一定不一定是是对立对立事件事件. .(1)(1)是互斥事件是互斥事件(2)(2)是互斥事件是互斥事件(3)(3)不是互斥事件不是互斥事件解：解

7、：不是对立事件不是对立事件是对立事件是对立事件不是对立事件不是对立事件Back例例1 1、抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察掷出的点数观察掷出的点数. .设事件设事件A A为为“出现出现2 2点点”, ,B B为为“出现奇数点出现奇数点”. .已知已知P(A)= ,P(B)= ,P(A)= ,P(B)= ,求求“出现奇数点或出现奇数点或2 2点点”的概率的概率. .2116解:A、B是互斥事件.样本空间6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1=,5 , 3 , 2 , 1,5 , 3 , 1,2BABA的基本事件总数n=6,事件A、B、AB的基本事件数分别为1,3,4.3264)(,63)(

8、,61)(BAPBPAP)()()(BPAPBAP即：大量实验证实,上述公式对任意两个互斥事件A、B都成立.即:)()()(BPAPBAP 更一般地更一般地, ,如果事件如果事件 两两两两互斥互斥, ,那么事那么事件件 发生的概率发生的概率, ,等于这等于这n n个事件个事件分别分别发生的概率之发生的概率之和和, ,即即: :nAAA,21”“nAAA21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP该公式叫做互斥事件的概率的该公式叫做互斥事件的概率的加法公式加法公式.二、互斥事件的概率加法公式二、互斥事件的概率加法公式 下面利用上述公式下面利用上述公式,来看看一个例子来看看一个例子例例2

9、2、某地区的年降水量,在100-150 mm范围内的概率是0.12,在150-200 mm范围内的概率是0.25,在200-250 mm范围内的概率是0.16,在250-300 mm范围内的概率是0.14.计算年降水量在100-200 mm范围内的概率与在150-300 mm范围内的概率.解:记这个地区的年降水量在100-150 mm,150-200 mm,200-250 mm,250-300 mm范围内分别为事件A、B、C、D.这四个事件是彼此互斥的.根据公式得年降水量在100-200 mm范围内的概率是:P(AB)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37P(AB)=P(A)+P(

10、B)=0.12+0.25=0.37年降水量在150-300 mm范围内的概率是:P(BCP(BCD)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.553.3.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量年降水量/mm/mm100100，150150）150150，200200）200200，250250）250250，300300概率概率0.210.210.160.160.130.130.120.12则年降水量在则年降水量在20

11、0,300(mm)200,300(mm)范围内的概率为多少范围内的概率为多少? ?0.250.25 在求某些较为复杂事件的概率时在求某些较为复杂事件的概率时, ,先将它分解先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知为一些较为简单的、并且概率已知( (或较容易求或较容易求出）的彼此互斥的事件出）的彼此互斥的事件, ,然后利用概率的加法公然后利用概率的加法公式求出概率式求出概率. .因此互斥事件的概率加法公式具有因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易化整为零、化难为易”的功效的功效, ,但需要注意的但需要注意的是使用该公式时是使用该公式时必须检验是否满足必须检验是否满足它的前提条它的前提

12、条件件“彼此互斥彼此互斥”. .2.1思想方法思想方法2.22.2反概率公式反概率公式 若事件若事件A A的对立事件为的对立事件为A,A,则则P(A)=1P(A)=1P(A)P(A). .证明证明: :事件事件A A与与A A是互斥事件是互斥事件, ,所以所以P(AA)=P(A)+P(A),P(AA)=P(A)+P(A),又又AA=,AA=,而由必然事件得到而由必然事件得到P()=1,P()=1,故故P(A)=1P(A)=1P(A).P(A).P(A)=1P(A)=1P(A)P(A)用途用途: :当我们求当我们求P(A)P(A)有困难时有困难时, ,常可以转化为求常可以转化为求P(A).P(A

13、).利用上述公式利用上述公式, ,我们来看看下面的例子我们来看看下面的例子例例3 3、如果从不包括大小王的如果从不包括大小王的5252张扑克牌中随机抽取一张扑克牌中随机抽取一张张, ,那么取到那么取到红桃红桃( (事件事件A)A)的概率是的概率是1/4,1/4,取到取到方片方片( (事件事件B)B)的概率是的概率是1/4.1/4.问问: :(1)(1)取到取到红红色牌色牌( (事件事件C)C)的概率是多少的概率是多少? ?(2)(2)取到取到黑黑色牌色牌( (事件事件D)D)的概率是多少的概率是多少? ?解解: :(1)(1)因为因为C=C=AB,AB,且且A A与与B B不会同时发生不会同时

14、发生, ,所以所以A A与与B B是是互斥事件互斥事件. .根据概率的加法公式根据概率的加法公式, ,得得: : P(C)=P(A)+P(B)=1/2 P(C)=P(A)+P(B)=1/2(2)C(2)C与与D D也是互斥事件也是互斥事件, ,又由于又由于CDCD为必然事件为必然事件, ,所以所以C C与与D D互为对立事件互为对立事件, ,所以所以 P(D)=1-P(C)=1/2P(D)=1-P(C)=1/21.1.甲、乙甲、乙2 2人下棋人下棋, ,下成和棋的概率是下成和棋的概率是 , ,乙获胜的概率是乙获胜的概率是 则甲不胜的概率是则甲不胜的概率是( )( ) 1213B三、巩固练习三、

15、巩固练习12561623A. B. C. D.A. B. C. D. 2.2.抽查抽查1010件产品件产品, ,设事件设事件A A: :至少有两件次品至少有两件次品, ,则则A A的对立事件为的对立事件为（ ） A.A.至多两件次品至多两件次品 B.B.至多一件次品至多一件次品 C.C.至多两件正品至多两件正品 D.D.至少两件正品至少两件正品B3.3.某产品分甲、乙、丙三级某产品分甲、乙、丙三级, ,其中乙、丙两级均属次品其中乙、丙两级均属次品, ,若生产中若生产中出现乙级品的概率为出现乙级品的概率为0.030.03、丙级品的概率为、丙级品的概率为0.01,0.01,则对成品抽查则对成品抽查

16、一件抽得正品的概率为一件抽得正品的概率为( )( ) A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96D4.4.某射手射击一次击中某射手射击一次击中1010环、环、9 9环、环、8 8环的概率分别环的概率分别0.3,0.3,0.2,0.3,0.3,0.2,那么他射击一次不够那么他射击一次不够8 8环的概率是环的概率是 。 0.20.25.5.某射手在一次射击中射中某射手在一次射击中射中1010环、环、9 9环、环、8 8环、环、7 7环、环、7 7环以下的概环以下的概率分别为率分别为0.240.24、0.280.28、0.190.19、0.160.16、0.13.0.13.计算这个射手在一次计算这个射手在一次射击中射击中: :(1)(1)射中射中1010环或环或9 9环的概率环的概率; ;(2)(2)至少射中至少射中7 7环的概率环的概率