二阶线性非齐次微分方程

1、1/29第五节第五节 二阶线性二阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程一、解的结构定理二、待定系数法三、小结四、作业2/29 yxQyxPy)()()(xf(1)0)()( yxQyxPy(2)0ypyqyY易易的的通通解解求求难点难点方法方法待定系数法待定系数法y(1)(1)的的通通解解Y(2)(2)的的通通解解*y(1)(1)的的特特解解*?y如如何何求求非非齐齐次次的的特特解解特征方程法特征方程法解的结构定理解的结构定理一、解的结构定理一、解的结构定理3/29( ),xmePx )(xf二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线方程线方程的的类类型型)(xf( )kP xk是是 次次多多项项式式qy

2、yyp 二、待定系数法二、待定系数法( )cos( )sinxlneP xxP xx 4/29设非齐方程特解为设非齐方程特解为)(xQy 求导代入原方程求导代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根不是特征方程的根若若 )1(可可设设是特征方程的单根是特征方程的单根若若 )2( )(xQ可可设设xmexxQy )( xmexQy )( ,xe )(xQm)(xQ )(xQmx)(xQxmexPqyypy )( m0 0 0 (3) 若若 是是特特征征方方程程的的二二重重根根 )(xQ可可设设xmexQxy )(2 )(xQm2x0 0 1( )( )xmf

3、 xePx 、型型5/29综上所述综上所述,( ),kxmyx eQx k注注)(xPeqyypymx 102上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程微分方程(k是重根次数是重根次数).不是根不是根是单根是单根是二重根是二重根二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解可设为的一个特解可设为6/292331.yyyx求求方方程程的的一一个个特特解解解解特征方程特征方程2230rr特征根特征根1213rr ，0 不不是是特特征征根根， y设设例例(1) 对应对应齐次齐次方程的方程的(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解此题此题(

4、)31( )xmf xxPx e 属属于于型型, ,其中其中, 1 m0 )(BAx 0 x?.AxB ( ),kxmyx eQx 012k 不是不是根根是是单根单根是是重根重根7/29代代入入方方程程, ,得得32331,AxABxx比比较较 的的同同次次幂幂的的系系数数, ,得得33,231,AAB 11,3AB 解解得得故故所所求求特特解解为为*1.3yx 2331yyyx8/29.232的通解的通解求方程求方程xexyyy 解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根2121 rr，xxeCeCY221 是单根，是单根，2 y设设例例(1) 求对应求对

5、应齐次齐次方程的通解方程的通解(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解此题此题.)()(2型型属属于于xmxexPxexf 其中其中, 1 m2 )(BAx 1xxe2?9/29代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BA21(1),2xyxxe 于于是是原方程通解为原方程通解为 xxeCeC221.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy xeBAxxy2)( yyy,将将 yYy21(1).2xxxe 对应对应齐次齐次方程通解方程通解xxeCeCY221 10/29,223)(xeyyyxyy 满足微分方程满足微分方程设函数设函数在在处的切线与曲线处的切线与曲线其图形在点其

6、图形在点1)1 , 0(2 xxy,该该点点处处的的切切线线重重合合.的的解解析析表表达达式式求求函函数数y解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rrxxeCeCY221 (1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解此题此题( )2( ),xxmf xePx e 属属于于型型)1, 0( m例例二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程11/29)1(是是单单根根 y设设(2) 求非齐次方程的特解求非齐次方程的特解Axex12 A所以所以xxey2 xxeCeCy221 (3) 求原方程的特解求原方程的特解得得由由, 12 xx

7、y, 1)0( y(0,1),1由由题题意意，所所求求函函数数的的图图象象过过点点且且该该点点处处切切线线斜斜率率为为 ，即即11 r1, 特征根特征根原方程通解为原方程通解为(求函数求函数y的解析表达式的解析表达式),223)(xeyyyxyy 满足微分方程满足微分方程设函数设函数在在处的切线与曲线处的切线与曲线其图形在点其图形在点1)1 , 0(2 xxy,该该点点处处的的切切线线重重合合.的的解解析析表表达达式式求求函函数数y且且2,xxe 代入方程代入方程, 得得 yyy,将将21,yx 所以所以(0)1,(0)1,yy 12/29212012(0)(222)|221,xxxxxyC

8、eC eexeCC = =联立联立 1212121CCCC 0121CC将之代入通解得将之代入通解得2,xxyexe(12 ).xyx e所以所以,函数函数y的解析表达式为的解析表达式为2122xxxyC eC exe12(0)1,yCC13/29baeAx .baxeBx .bxaeCx .bxaxeDx .提示提示根椐线性微分方程的性质根椐线性微分方程的性质, 可先求方程可先求方程xeyy 和和1 yy的特解的特解,两个解的和就是原方程的特解两个解的和就是原方程的特解.Bxxaey 1by 2特解特解. .二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一个的一个是微分方程是微分

9、方程1)( xeyy1,20,1r 特特征征根根14/29微分方程微分方程 的特解的特解 y的形式为的形式为 ).( yxxebaeA)( . xcebaxC )( .xcxebaxD )( .xxxebaeB)( . D解解特征方程特征方程0232 rr特征根特征根对应的对应的齐次齐次微分方程微分方程2, 1 rrbaxy 1xcxey 2xexyyy2323 xyyy323 xeyyy223 023 yyy15/29.323的通解的通解求方程求方程xeyyy 解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程0322 rr特征根特征根1321 rr，xxeCeCY231 (1) 求对应求

10、对应齐次齐次方程的通解方程的通解此题此题.)()(3型型属属于于xmxexPexf 其中其中, 0 m. 3 )3(是是单单根根 (2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解 y设设xxAe3 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程16/29代入方程代入方程, yyy,将将.323的的通通解解求求方方程程xeyyy ,41 Axxey341 原方程通解为原方程通解为 yYyxxeCeC231 xxe341 xxAey3 设设对应对应齐次齐次方程通解方程通解xxeCeCY231 得得二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程17/292( )( )cos( )si

11、nxlnf xeP xxP xx 、型型sincos)(xPxPexfnlx 2xixilxeePe xinleiPP)()22( ()( )ixmPx e ()( ),ixmypyqyPx e 设设ximkeQxy)(1 欧拉公式欧拉公式2ieePxixin xinleiPP)()22( ()( )ixmPx e 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程P 共共轭轭max , ml n 18/29,)()(xiexPqyypy 设设ximkeQxy)(2 ysin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 是是其其中中)(),()2()1(xRxRmm kximxim

12、xkeQeQex 欧拉公式欧拉公式 )sin(cosxixQexmxk )sin(cosxixQm 型型sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx 不不是是根根 i 01,次次多多项项式式m注注 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次阶常系数非齐次线性微分方程线性微分方程.是单根是单根 i共轭共轭19/294sin.yyx 求求方方程程的的通通解解解解xCxCYsincos21 例例(1) 求对应求对应齐次齐次方程方程 0 yy012 r特征根特征根ir 其通解其通解这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程, 且且 .sin)(cos)()(型型属于属于xxPx

13、xPexfnlx , 0( 其中其中特征方程特征方程, 1 , 0)( xPl)4)( xPn0 014的通解的通解二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程20/29xCxCysincos21 (2) 求求非齐次非齐次方程方程 xyysin4 i故设故设代入方程代入方程,比较系数，得比较系数，得xxycos2 这里这里i 0Asin x?1 yxxxcos2 , 0 1 特征根特征根ir 非齐次方程特解为非齐次方程特解为是特征根，是特征根，原方程通解为原方程通解为B xcos 的特解的特解.21/29 xttftxxxf0,d)()(sin)(设设解解 )(xf xcos xt

14、tfx0d)(cos两端再对两端再对x求导求导,得得 )(xf积分方程积分方程 微分方程微分方程 xttftxxxf0d)()(sin)( x积分方程积分方程 xcos xtttf0d)( x()(xxf xttf0d)()(xxf ) xttfx0d)(即即xxfxfsin)()( 即即xyysin 这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程.)(sinxfx 其中其中 f 为连续函数为连续函数,求求f (x).22/29即即xxfxfsin)()( 即即xyysin .)(为为未未知知函函数数其其中中xfy 初始条件初始条件, 0)0( f得得又由又由,d)(cos)(0 x

15、ttfxxf初始条件初始条件, 1)0( f( )cos( )sin.xlneP xxP xx 非非齐齐次次项项属属于于型型, 0( 其中其中, 1 , 0)( xPl)1)( xPn001 11000; 0)0( y即即000. 1)0( y即即 xttftxxxf0,d)()(sin)(设设,为为连连续续函函数数其其中中f).(xf求求得得由由 xttftxxxf0,d)()(sin)(23/29.sincos21xCxCY 其通解其通解(1)对应对应齐次齐次方程方程0 yy012 r特征方程特征方程特征根特征根ir xyysin ii 0(2)设原方程的特解为设原方程的特解为 xAcos

16、sin xB yx0,21 BA 解得解得xxycos21 则则方程的通解为方程的通解为xCxCysincos21 xxcos21 由初始条件由初始条件,得得21, 021 CC所以所以, 0( , 1 , 0)( xPl)1)( xPn初始条件初始条件, 0)0( y. 1)0( y是特征根是特征根.cos2sin21)(xxxxfy 24/29三、小结三、小结)()()1(xPexfmx )(xQexymxk sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 待定系数法待定系数法二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线

17、性微分方程25/29思考题思考题.44的通解的通解求微分方程求微分方程axeyyy 解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程0442 rr特征根特征根2 rxexCCY221)( (1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解此题此题.)()(型型属属于于xmaxexPexf .a 其中其中0 m(0次多项式次多项式),(二重二重)二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程26/29(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解设设特特解解时时，当当2 a.44的通解的通解求微分方程求微分方程axeyyy )a , 0( m2 即即 y且且,axAaey ,2axeAay yyy,将将,)2(12 aA所以，所以，axeay2)2(1 原方程通解为原方程通解为 yYyxexCC221)( axea2)2(1 Aaxex0axAe 特征根特征根2 r)(二二重重不是特征根不是特征根.代入方程代入方程, 得得27/29时时，当当2 a2 即即.44的通解的通解求微分方程求微分方程axeyyy 设设特特解解