二阶微分方程

1、 这类二阶微分方程的特点是，经过适当的变换将二这类二阶微分方程的特点是，经过适当的变换将二阶微分方程化为一阶微分方程，然后用前一节介绍的方阶微分方程化为一阶微分方程，然后用前一节介绍的方法来求解法来求解 下面介绍三种可降阶的二阶微分方程的解法下面介绍三种可降阶的二阶微分方程的解法.型型)(. 1xfy 型型),(. 2yxfy 型型),(. 3yyfy 就得到一个一阶微分方程，即就得到一个一阶微分方程，即 两边再积分，即连续积分两边再积分，即连续积分两次就能得到方程（两次就能得到方程（1）的通解）的通解 只要连续积分只要连续积分n次，即可得到含有次，即可得到含有n个任意常数的通解个任意常数的通

2、解是最简单的二阶微分方程，是最简单的二阶微分方程， （1） 方程方程)(xfy ，xy的函数的函数仅是仅是它的特点是它的特点是 ，y 当作新的未知函数当作新的未知函数只要把只要把 两边积分，得两边积分，得 ,)(1Cdxxfy同理，对于方程同理，对于方程 （2） )()(xfyn型型)(. 1xfy yf x例例1 1 解解 对所给的方程连续积分三次，得对所给的方程连续积分三次，得 这就是所求方程的通解这就是所求方程的通解.sin 的通解的通解求方程求方程xy xdxysin,cosCx dxCxy)cos(,sin2CCxx dxCCxxy)sin(23221cosCxCxCx )2(1CC

3、 因而方程因而方程(3)就变为就变为 这是一个关于变量这是一个关于变量 x , p 的一阶微分方程，可以用前一节所的一阶微分方程，可以用前一节所介绍的方法求解介绍的方法求解型型),(. 2yxfy 方程方程(3) 的右边不显含未知函数的右边不显含未知函数 y ),(yxfy 那么那么如果设如果设, )(xpy ,pdxdpy ),(pxfp 例例2 2 解解 这是关于这是关于 p 的一阶线性非齐次微分方程因为的一阶线性非齐次微分方程因为从而所求微分方程的通解为从而所求微分方程的通解为.1xxeyxy 解微分方程解微分方程, py 令令.py 则则于是于是 xxepxp 1即即 xxepxp 1

4、,ln1xdxx ,lnxxxxedxedxexe 所以所以),(1Cexpyx .2)1(221CxCexyx 例例3 3 解解 代入方程代入方程并分离变量后，并分离变量后， 得得两端积分，得两端积分，得 再积分，得再积分，得 .3, 12)1(002的特解的特解满足初始条件满足初始条件求方程求方程 xxyyyxyx, py 设设，yxfy型的型的所给方程是所给方程是),( dxxxdxdp212 12ln)1ln(lnCxp 即即 )1(21xCyp ，Cyx3, 310 得得由条件由条件所以所以 )1(32xy 233Cxxy , 1, 120 Cyx得得又由条件又由条件于是所求的特解为

5、于是所求的特解为 . 133 xxy为了求出它的解，为了求出它的解， 利用复合函数的求导法则，利用复合函数的求导法则， 于是方程于是方程(4)就变为就变为 这是一个关于变量这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程的一阶微分方程 .设它的通解为设它的通解为 分离变量并积分，得方程分离变量并积分，得方程(4)的通解为的通解为 型型),(. 3yyfy 方程方程(4) 中不显含自变量中不显含自变量 x ),(yyfy ，xpy)( 我们令我们令即即的导数的导数化为对化为对把把，yy dydppdxdydydpdxdpy ),(pyfdydpp ),(1Cypy .),(21CxCydy 例例4

6、4 解解 方程不显含自变量方程不显含自变量 x ， 代入方程，得代入方程，得 那么约去那么约去 p 并分离变量，得并分离变量，得两端积分并进行化简，得两端积分并进行化简，得 再一次分离变量并积分，得再一次分离变量并积分，得 显然它也满足原方程显然它也满足原方程 .02的通解的通解求微分方程求微分方程 yyy,py 设设.dydppy 则则02 pdydpyp如果如果p0，ydypdp 或 yCp1 yCy1 21lnlnCxCy 或或 xCeCy12 如果如果P = 0，那么立刻可得那么立刻可得 y = C，已被包含在解已被包含在解 中中了xCeCy12但但 y =C).0(1就可得到它就可得

7、到它令令 C所以方程的通解为所以方程的通解为 xCeCy12 例例5 5 解解 两边积分，得两边积分，得 即为所求的满足初始条件的特解即为所求的满足初始条件的特解.1, 123332的特解的特解满足初始条件满足初始条件求方程求方程 xxyyyy),(xpy 令令代入原式，得代入原式，得 223ydydpp 即即 dyypdp232 132Cyp , 01, 1133 Cyyxx得得由初始条件由初始条件.32yp 所以所以即即所以取正号所以取正号因为因为这时这时), 1(323 xyyp23ydxdy 或或 dxdyy 23积分后，得积分后，得 2212Cxy , 5, 123 Cyx得得再由初

8、始条件再由初始条件代入上式整理后得代入上式整理后得 2)5(4 xy定义定义 方程方程)(xfqyypy (5)叫做叫做二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程，其中，其中 p 、q 是常数是常数( )0,f x当时T下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法方程方程(5)叫做二阶常系数线性微分方程叫做二阶常系数线性微分方程方程方程(5)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程叫做二阶常系数线性非齐次微分方程. ,0时时当当 xf1 1二阶常系数线性齐次微分方程的通解二阶常系数线性齐次微分方程的通解定理定理1 1 这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性这个定

9、理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性 1C叠加起来的解叠加起来的解(7)从形式上看含有从形式上看含有 与与 两个任意常数，两个任意常数，但它还不一定是方程但它还不一定是方程(6)的通解的通解 2C先讨论二阶常系数线性齐次微分方程先讨论二阶常系数线性齐次微分方程 (6) 的解的结构的解的结构0 qyypy那么那么 (7) 也是方程也是方程(6)的解，其中是任意常数的解，其中是任意常数2211yCyCy 12(6),yy如果函数与是方程的两个解那么在什么情况下那么在什么情况下(7)式才是式才是(6)式的通解呢？式的通解呢？ 为了解决这为了解决这个问题，下面给出函数线性相关与线性无关的定义：个问题

10、，下面给出函数线性相关与线性无关的定义：因此，当因此，当 时，时，01 y如果如果 不恒等于一个常数，不恒等于一个常数，12yy则则 与与 就是线性无关的就是线性无关的2y1yCyy 12)0(1 y 显然，对于两个线性相关的函数显然，对于两个线性相关的函数 和和 ，恒有，恒有 1y2y对于两个都不恒等于零的函数对于两个都不恒等于零的函数 与与 ，1y2y 那么把函数那么把函数 与与 叫做叫做线性相关线性相关；否则就叫做否则就叫做线性无关线性无关 1y2y 如果存在一如果存在一个常数个常数C使使 ，12Cyy 二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解结构定理：的通解结构

11、定理：由此可知，求二阶常系数线性齐次微分方程由此可知，求二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解，的通解，定理定理2 22211yCyCy 就是方程就是方程(6)的通解，其中的通解，其中 是任意常数是任意常数 21,CC关键在于求出方程的两个线性无关的特解关键在于求出方程的两个线性无关的特解 和和 1y2y 而当而当 r 为常数时，指数函数为常数时，指数函数 和它的各阶导数和它的各阶导数都只相差一个常数因子都只相差一个常数因子 rxey 因此，我们可以设想二阶常系数齐次因此，我们可以设想二阶常系数齐次方程式的特解也是一个指数函数方程式的特解也是一个指数函数 ，只要求出，只要求出 r ,便可便可得

12、得到方程到方程(6)的解的解 rxey 如果函数如果函数 是常系数线性齐次微分方程是常系数线性齐次微分方程(6)(6)的两个线性无关的特解，那么的两个线性无关的特解，那么12yy与2()0rxerprq所以上式要成立就必须有所以上式要成立就必须有02 qprr(8) 反之，若反之，若r是方程是方程(8)的一个根，的一个根， 特征方程的根称为特征方程的根称为特征根特征根 方程方程(8)是以是以 r为未知数的二次方程，我们把它称为微分为未知数的二次方程，我们把它称为微分方程方程(6)的的特征方程特征方程，这就是说，如果函数这就是说，如果函数 是方程是方程(6)的解，那么的解，那么 r 必须满必须满

13、足方程足方程(8) rxey 将将 和它的一、二阶导数和它的一、二阶导数 代代入方程入方程(6)，得到，得到 rxey ,2rxrxeryrey 因为因为， 0 rxe则则 是方程是方程(6)的一个特解的一个特解 rxe 其中其中 和和 r 的系数，以及常数项恰好的系数，以及常数项恰好依次是微分方程依次是微分方程(6)中中 、 及及 y 的系数的系数y y2r特征根是一元二次方程的根，特征根是一元二次方程的根，因此它有三种不同的情况：因此它有三种不同的情况：(1)特征根是两个不相等的实根特征根是两个不相等的实根r1 r2 ，且线性无关，且线性无关，,11xrey 此时此时均为方程均为方程(6)

14、的特解，的特解，xrey22因此方程因此方程(2)的的通解为通解为:xrxreCeCy2121 （9)(2)特征根是两个相等的实根特征根是两个相等的实根 r1= r2 ，此时此时 和和xrey11 xrxey12方程方程(2)的特解，的特解，且线性无关，且线性无关，所以方程所以方程(6)的通解为：的通解为：xrexCCy2)(21 （10）(3)特征根是一对共轭复根特征根是一对共轭复根r1,2= i ，xiey)(1xiey)(2这时这时 和和 是方程是方程(6)的两个特解，的两个特解，但这两个解含有复数，但这两个解含有复数，此时可以证明函数此时可以证明函数 和和 也是方程也是方程(6)的解，

15、的解，xex cosxex sin且它们线性无关且它们线性无关于是得方程于是得方程(2)的通解为：的通解为：)sincos(21xCxCeyx （11)例例6 6 解解 所给方程的特征方程为所给方程的特征方程为 其对应的两个线性无关特解为其对应的两个线性无关特解为,521xxeyey 和和求求 方程的通解方程的通解 0103 yyy01032 rr解得特征根为解得特征根为 ， 5, 221 rr所以方程的通解为所以方程的通解为 xxeCeCy5221 例例 7 7 解解 为确定满足初始条件的特解，对为确定满足初始条件的特解，对 y 求导，得求导，得 求方程求方程 的满足初始条件的满足初始条件

16、和和 的特解的特解 044 yyy10 xy00 xy 所给方程的特征方程为所给方程的特征方程为 0442 rr所以特征根为所以特征根为221 rr因此方程的通解为因此方程的通解为xexCCy221)( xexCCCy2212)22( 将初始条件将初始条件 和和 代入以上两式，得代入以上两式，得10 xy00 xy 02, 1121CCC解得解得 , 11 C. 22 C于是，原方程的特解为于是，原方程的特解为xexy2)21( 例例8 8 解解 所以原方程的通解为所以原方程的通解为)3sin3cos(212xCxCeyx其对应的两个线性无关特解为其对应的两个线性无关特解为,3sin3cos2

17、21xyxeyx 和和求方程求方程 的通解的通解 0134 yyy特征方程为特征方程为 01342 rr特征根为特征根为 ,321ir .322ir 综上所述，综上所述，的根的根 特征方程特征方程02 qprr 方程方程0 qyypy通解通解xrxreCeCy2121 rxexCCy)(21 )sincos(21xCxCeyx 两个不相等的实根两个不相等的实根21rr 两个相等的实根两个相等的实根rrr 21 一对共轭复根一对共轭复根ir 2,1 (3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解：的通解：0 qyypy求二求二阶常

18、系数线性齐次微分方程阶常系数线性齐次微分方程的通解步骤如下：的通解步骤如下：（6）(2) 求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根 与与 ；1r2r(1) 写出方程对应的特征方程写出方程对应的特征方程 ；02 qprr定理定理3 3 Y是与方程（是与方程（5）对应的齐次方程（）对应的齐次方程（6）的通）的通解，那么解，那么 由这个定理可知：求二阶常系数线性非齐次微分方程的由这个定理可知：求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程通解，归结为求对应的齐次方程y设设 是二阶常系数线性非齐次方程是二阶常系数线性非齐次方程 (5) 的一个特解，的一个特解， )(xfqyypy 是二阶

19、常系数线性非齐次微分方程（是二阶常系数线性非齐次微分方程（5）的通解）的通解(12) yYy的通解和非齐次方程的通解和非齐次方程(5)的本身的一个特解的本身的一个特解 (6) 0 qyypy它的一个特解也是一个多项式与指数函数的乘积，它的一个特解也是一个多项式与指数函数的乘积， 下面讨论求二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解下面讨论求二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解 的方法我们的方法我们只讨论只讨论 f(x) 以下两种情形：以下两种情形： *y(1) 其中其中 是一个是一个n 次多项式，次多项式， 为常数为常数 xnexPxf )()( )(xPn这时，方程这时，方程(5)成为成为 (

20、13)xnexPqyypy )( 且特解具有形式且特解具有形式 ( k = 0,1 ,2 ) xnkexQxy )( k是一个整数是一个整数 其中其中 是一个与是一个与 有相同次数的多项式；有相同次数的多项式； )(xQn)(xPn当当 不是特征根时，不是特征根时，k = 0 ; 当当 是特征根，但不是重根时，是特征根，但不是重根时，k = 1 ; 当当 是特征根，且为重根时，是特征根，且为重根时，k = 2. 例例9 9 解解 求方程求方程 的通解的通解 xxeyyy3596 该方程对应的齐次方程是该方程对应的齐次方程是 096 yyy它的特征方程为它的特征方程为 0962 rr特征根是重根

21、特征根是重根 321 rr于是得到齐次方程于是得到齐次方程 的通解为的通解为096 yyyxexCCY321)( 原方程中原方程中 xxexf35)( 其中其中 是一个一次多项式，是一个一次多项式， xxPn5)( 是特征方程的重根因此是特征方程的重根因此 k = 2 3所以设原方程的特解为所以设原方程的特解为 xeBAxxy32)( 代入原方程，化简得代入原方程，化简得比较等式两边同类项的系数，有比较等式两边同类项的系数，有因此，原方程的特解为因此，原方程的特解为 于是原方程的通解为于是原方程的通解为求求 的导数，得的导数，得y BxxBAAxeyx2)33(3233 BxBAxBAAxeyx2)126()918(9233 xxxeeBAx335)26( . 02, 56BA解得解得 0,65 BA.6533xexy .)65(3123xeCxCxYyy 它的一个特解的形式为它的一个特解的形式为 其中其中A和和B是待定常数；是待定常数； k是一个整数是