线性代数课件 向量组的秩

1、-1-2-O),(zyxP三维空间的向量三维空间的向量: 有向线段。有向线段。建立标准直角坐标系后，建立标准直角坐标系后，它由一点它由一点 P 或一个三元数组或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。唯一确定。 我们还定义了向量的我们还定义了向量的加法加法(即平行四边形法则即平行四边形法则)和向量的和向量的数数乘乘两种运算。两种运算。 k-3-建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标坐标)的运算的运算.),(,),(222111zyxzyx ),(212121zzyyxx ),(111kzkykxk 由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中

2、由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广的向量进行推广(把几何向量代数化把几何向量代数化)。直接把。直接把 n 元的数组叫做元的数组叫做(代数中的代数中的)，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。量坐标的运算。-4-n 个数组成的有序数组个数组成的有序数组称为一个称为一个 或或 , 其中其中 称为该行称为该行(列列)向向量的第量的第 i 个个. 行向量与列向量统称为行向量与列向量统称为. 分量全是实数分量全是实数(复数复数)的向量称为实的向量称为实(复复)向量向量, n 维实维实(复复)向向量的全体记为量的全体记为 .

3、 以后如无特殊说明以后如无特殊说明, 向量均指实向量向量均指实向量.:所书写的向量如无特殊说明均指列向量所书写的向量如无特殊说明均指列向量,而行向量而行向量用列向量的转置表示用列向量的转置表示. 向量的向量的运算和运算和运算同矩阵的这两种运算一样运算同矩阵的这两种运算一样.)(CRnnia naaa21),(21naaa或或-5- 向量是矩阵的特例，向量的相等、加、减、数乘向量是矩阵的特例，向量的相等、加、减、数乘运算对应于矩阵的相应运算。运算对应于矩阵的相应运算。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算。在在Rn中的向量满足以下中的向量满足以下8

4、 8条规律：条规律：其中其中 、 、g g 都是都是n维向量维向量，k、l为实数为实数。 g g g g 1 )8(0)()4()()()7(0)3()()6()()()2()(5()1(kllkkkklklk-6-解解 123101231 12320231 12531313235)2(3121 3221 2122 212 1011 1232 ，求，求使使 212例例1-7- 由若干个同维数的列由若干个同维数的列(行行)向量组成的集合称为一个向量组成的集合称为一个. 如无特殊说明如无特殊说明,向量组总是指含有限个向量的向量组向量组总是指含有限个向量的向量组. : mn 的矩阵的矩阵 A 全体列

5、向量是含全体列向量是含 n 个个 m 维列向量的向维列向量的向量组量组, 简称简称 ; 全体行向量是含全体行向量是含 m 个个 n 维的行向量组维的行向量组,简称简称 .: 解的全体是一个含无穷多个解的全体是一个含无穷多个 n 维列向量的向量组维列向量的向量组.)(0nArxAnm mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211-8-1 3 2 g g如图三维空间中的向量如图三维空间中的向量, 必有必有332211 kkk 2211 g gkk 3 2211 ll 不可能不可能 )5(17133)4(632)3(1533)2(94

6、32)1(3321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx TTTTTA543211713316321153394323111 下面方程组增广矩阵的行组下面方程组增广矩阵的行组TTT124 TTT3252 有如下关系有如下关系这说明第这说明第(4)和第和第(5)个方程都是多余的个方程都是多余的,可以去掉可以去掉.-9-对于向量组对于向量组 , 表达式表达式nA ,:21)(2211Rkkkkinn nn 2211则称向量则称向量 可由向量组可由向量组 A . nn 2121,通常写成通常写成称为向量组称为向量组 A 的一个的一个.又如果又如果 是向量组是向量组 A 的一个线的一个

7、线性组合性组合, 即存在数即存在数 使使 n ,21-10-1零向量可由任一组向量线性表示。零向量可由任一组向量线性表示。120000m 中每个向量都可由向量组本身中每个向量都可由向量组本身m,212向量组向量组miiii00100111线性表示，线性表示，(1,2,)im 注意注意Tnaaa,213任一任一n元向量元向量都可由都可由n元单位向量组元单位向量组线性表示，即线性表示，即 121,0,0,0,1,0,TTee ,0,0,1,Tne 1 122nna ea ea e -11- n元线性方程组元线性方程组 可以用向量形式表示为可以用向量形式表示为a11x1a21x1 am1x1a12x

8、2a22x2 am2x2 a1nxna2nxn amnxnb1b2 bm (1)其中其中对应齐次方程组对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为可用向量形式表示为02211 nnxxx , , ， ， 121111maaa 222122maaa mnnnnaaa21 mbbbB21Bxxxnn 2211线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示-12-向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示 nA ,:21 nn2211存在数存在数 使使n ,21即即 ,21nAAx 有解有解|)( ArAr 注意注意:符号混用符号混用另外另外, 如果解唯一如果解唯一, 则表示方法是唯一的则表示方法是唯一的

9、. (按定义按定义)(转换为方程组转换为方程组)(用矩阵的秩用矩阵的秩)方程组方程组 nnxxx2211-13-例2：判断向量，)11, 0 , 3 , 4()11, 1, 3 , 4(21) 1 , 1 , 1, 2()5 , 1, 2 , 1 (21，是否是向量组的线性组合？例3：设向量，113531101111212121，线性表示？是否可以由，问21-14-例例4解解,321 A记记 不能由不能由 A 线性表示线性表示; 能由能由 A 唯一表示唯一表示; 能由能由 A 有有无穷多种表示无穷多种表示, 并求所有表示方法并求所有表示方法. ,)1 , 1 ,1(1T ,)1 ,1 , 1(2T 设向量组设向量组 A:问问 为何值时为何值时,), 3 , 0(T ,)1 , 1 , 1(3T 向量向量 只需讨论只需讨论 Ax解的情况解的情况.具体解方程组过程略。具体解方程组过程略。0 时时,方程组无解方程组无解, 不能由不能由 A 表示表示. 30 且且时时, 方程组有唯一解方程组有唯一解, 可由可由