2021年江苏高考数学一轮复习讲义第5章第2节平面向量的基本定理及坐标表示

1、1第二节 平面向量的基本定理及坐标表示最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义 2 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.必备知识填充1.平面向量基本定理定理：如果 ei, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任意向量 a,有且只有一对实数21,龙，使 a=2iei +加.(2) 基底：不共线的向量 ei, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a= (x1, y1), b=(X2, y2),贝Ua+ b= (x1+X2,

2、y1+y2), a b= (x1X2, y1y2),2=(入x y,|a|=, x2+y2.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，贝 U 终点坐标即为向量的坐标.设 A(X1, y” , B(X2, y2),则 AB= (x2 x1, y2 V1.), |AB| = 7 x2 X12+y2 y1_2.3.平面向量共线的坐标表示设 a=(X1, y1), b= (x2, y2),其中 a0, b0 , a , b 共线？X1y2 X2y1= 0. 常用结论1.若 a 与 b 不共线，且2+(JD=0,贝U=尸 0.1 2.若 G ABC 的重心,贝 U GA+ GB+ GC = 0 , A

3、G=(AB + AC).课前自主2学情自测验收一、思考辨析(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2) 在厶 ABC 中，向量 AB, BC 的夹角为/ ABC.()(3) 同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(4) 若 a, b 不共线，且 2ia+ 心=型+浮 b,贝 U 入=2e,小=雳.()答案(1)X(2)X(3)X V二、教材改编131.已知平面向量 a= (1,1), b= (1, 1)，则向量 2a却=()A.( 2, 1)B. ( 2,1)C. ( 1,0)D . ( 1,2)D ta=(1,1),b=(1,1), 2a |

4、b= 2,+1 = ( 1,2),故选 D.2._已知？ABCD 的顶点 A( 1, 2), B(3, 1), C(5,6)，则顶点 D 的坐标 为_ .4= 5 X,(1,5)设 D(x, y),则由 AB= DC,得(4,1)= (5 x,6 y), 即卩解1 = 6 y,x= 1, 得y= 5.3._ 已知点A(0,1), B(3,2),向量 AC= ( 4, 3),则向量 BC=_1 12，2，332b二 2,13(7, 4)根据题意得 AB= (3,1), BC = AC AB= ( 4, 3) (3,1) = (7, 4).44已知向量 a= (2,3), b = (-1,2),若

5、 ma+ nb 与 a 2b 共线，则 m 二_12由向量 a= (2,3), b= ( 1,2),得 ma+ nb= (2m n,3m + 2n), a 2b= (4, 1). 由 ma+ nb 与 a 2b 共线，所以 m=- 2_ 卷缆埜書逹二 课堂考点探究考点 1 平面向量基本定理的应用菸-_平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.睞逊 1如果 e1, e2是平面a内一组不共线的向量，那么下列四组向量中,

6、不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A. e1与 e1+ e2B. e1 2e2与 e1+ 2e2C. e1+ e2与 e1 e2D. e1+ 3e2与 6e2+ 2e11=入D 选项 A 中，设 e1+ ee=匕1,贝 U无解;1 二 0,社1,选项 B 中，设 e1 2e2=+ 2e2),贝 U无解;2= 2 入2mn 得3m+ 2n5社1,选项 C 中，设 ei+ e2=Xei-e2），贝 U无解;1=-人选项 D 中，ei+ 3e2= !（662+ 2ei）,所以两向量是共线向量.故选 D.2.在厶 ABC 中，M为边 BC 上任意一点，N 为 AM 的中点，AN=瓜 B+ 疋,

7、则入 +卩的值为（）1 1 1A.2B.3C.4D. 1A 因为M为边 BC 上任意一点，所以可设 AM = xAB + yAC(x+ y = 1).因为 N 为 AM 的中点,1 1所以 + 尸 2(x+ y)=2.故选A.3.如图，以向量 OA= a， OB= b 为邻边作？OADB， BM = 3BC， CN = gcD，用 a，b 表示 OM，ON, MN.解vBA= OA- OB= a- b，BM =6BA=6a-lb，OM = OB+ BM = a+ b.tOD=a+b，所以 AN=2AM=1xAB+qyAC= AB+ pAC6T T1T1T1TON=OC+3CD=2D+6OD72

8、 2 2二3D二 3a+ 3b，MN = ON O M = |a+ |b 留务=*a- gb.15-22-11OM = ga + gb, ON = 3a + 3b, MN =尹一gb.兰评(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组.(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.観加向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想 的运用及正确使用运算法则.FJk 罰 已知 A( 2,4)，B(3， 1)，C( 3， 4).设 AB=

9、 a，BC= b，CA=c，且 CM = 3c， CN= 2b，(1)求 3a+ b 3c；求M，N的坐标及向量MN的坐标.解由已知得 a= (5， 5)，b= ( 6， 3)，c= (1,8).(1)3a+ b 3c= 3(5， 5)+ ( 6， 3) 3(1,8)=(15 6 3， 15 3 24)= (6,42).设O为坐标原点， CM=OM-OC = 3c，二OM= 3c +OC=(3,24)+ (3，4) = (0,20). M(0,20).又TCN = ON OC=-2b，综上，考点2平面向量的坐标运算8(12,6)+ ( 3, 4) = (9,2), N（9,2）,二 MN =

10、（9, 18）.母题探究（变结论）本例条件不变，若 a= mb+ nc,则 m =_, n11 vmb+nc=(6m+n,3m+8n),a=(5,5),原则，通过列方程（组）来进行求解.Ek药1已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2), B( 1, 2), C(3,1),且BC =2AD,则顶点 D 的坐标为()A. 2,7B. 2,1C. (3,2)D. (1,3)A 设 D(x, y), AD 二(x, y 2), BC= (4,3),a= (2,1), b= ( 3,4)，故选 A.ON= 2b + 0C =6m+ n =5,m= 1,解得n= 1.缶曲 求解此类问题的过程中，常利用向量

11、相等，其对应坐标相同”这4=2x,又 BC = 2AD,二3= 2y2 ,2 .向量 a, b 满足 a+ b= (1,5),A. ( 3,4)C. (3, 4)A va+b=(1,5),ab=(5,x=2,7 故选 A.y= 2，a b= (5， 3)，则 b 为()B.(3,4)D . ( 3, 4)3),93.向量 a, b, c 在正方形网格中，如图所示，若 c= ?a+小（入空 R）,则C.D 以 O 为坐标原点，建立坐标系可得a= (- 1,1),b= (6,2),c= (1,3).Tc= 2a+；Jb(入吐 R).1 = H 6 鸡3 Ad-2 p,1解得2, 尸一 2.覘 3两

12、平面向量共线的充要条件有 2 种形式(1)若 a (x1, y1), b (x2, y2)，则 a/ b 的充要条件是 X1y2 X2y1 0； (2)已知 bM0,则 a/ b 的充要条件是存在唯一实数入使得 aA(圧 R).Fl 利用向量共线求向量或点的坐标酥削一题多解已知点 A(4,0), B(4,4), C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的 坐向量共线的坐标表示10标为_ .(3,3)法一：由 O, P, B 三点共线，可设 OP OB (4 入 4；),则 AP OP11OA= (4A4,4.由 AP 与 AC 共线， 得(4 4)X6 4XX( 2) = 0, 解得 X

13、= 4， 所以 0P =3OB=(3,3),所以点 P 的坐标为(3,3).法二：设点 P(x, y)，则 OP= (x, y)，因为 OB= (4,4)，且 OP 与 OB 共线，所以 4 二 4，即即 x=y.又AP=(x 4, y), AC= ( 2,6)，且 AP 与AC共线，所以(x4)X6 yX( 2) = 0,解得 x=y= 3,所以点 P 的坐标为(3,3).E5 疔，F 利用两向量共线的条件求向量坐标的方法：一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为X(疋 R)，然后结合其他条件列出关于 入的方程，求出入的值后代入Xa 即可得到所求的向量.芒&2 利

14、用向量共线求参数1廊典剖已知向量 a= (1 sin9,1), b= 2, 1 + sinB,若 a/ b,则锐角9根据题意繭AC ,5-4(a 1) 3X( 3) 0, 即 卩 4a 5, a玄玄. .如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a (xi, yi),b (x2, y2),贝Ua/ b 的充要条件是 xiy2 X2yi”解题比较方便.力近 已知 a(1,0), b (2,1).(1)当 k 为何值时，ka b 与 a+ 2b 共线；又AC=OCOA=( 2,6),12若 AB 2a + 3b, BC a+ mb,且 A, B, C 三点共线，求 m 的值.解(1)va (1,0), b (2,1), ka b k(1,0) (2,1) (k 2, 1),a + 2b (1,0)+ 2(2,1) (5,2),vka b 与 a + 2b 共线， 2(k2)(1)X50,二 k 2.(2)AB 2(1,0) + 3(