导数导数的概念

1、亚弗发林鞭型提木学鹏第一节导数的概念一实例分析二、导数的概念三、利用定义求导数举例八导数的几何意义:五、可导与连续的关系六、小结与作业旭菊农林鞭里携木争腐一、实例分析1.变速直线运动中某时刻的瞬时速度问）设描述质点运动位置的函数为s = f（t）则力0到t的平均速度为，：-=/（，）一/（，。）t。f t _ tot °而在ro时刻的瞬时速度为v = lim'于，幺） 7777777Z77ZZ>i镀菊麻林鞭电摭木要隆2.切线问题割线的极限位置切线位置距黄发林触电想木学鹏如图如果割线MN绕点M旋 转而趋向极限位置MT,直 线MT就称为曲线C在点M处.的切线极限位置即|MN

2、|f 0,Z2VMTf 0.设 Af(x(”yo),N(x,y).割线MN的斜率为tan(p = N喇婴->x(”切线MT的斜率为A=tana=lim £(肛二八功J二、导数的概念1.定义2.1设函数y = f (x)在点光o的某邻 域 U(%)内有定义.Xo + Are(xo)AV = /(Xo + -)-，(/)若 lim 生=lim ”入 + )-(1)Ax>0 AxArfO人丫值为函数y=/(x)在点处的导数,产(%)= 1加 /(1。+ 3-八/)Ax-»O Ax近弗农林鞭电盘木争旗存在,则称函数/(X)在点X。处可导，并称此极限J .dy ； d/(

3、x)dx x = Xq dx x = x0也可记作： y x=xq ；注1、若极限不存在，则称在点x次不可导.特别地，当lim 电十)二%)=8时，则称/(X) Ar->0At在点x(处的导数为无穷大.此时，导数不存在；若/(X)在巧)处连续，则有几何意义:曲线上对应点有垂直于X轴的切线.J2、，(Xo+，)一/(Xo)3、函数在一点的导数是变量在点X。处的变化率,导数定义的其它表达形式产(Xo)= Um 也+-(?)Arf 0Axx = / +与im一/(.0)xf X。 X Xq它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度一.I 对于任一 X e，都对应着/(x)的一个确定的导数值.

4、这个函数叫做原来函数f(x)的导函数.记作y'j'(x),字或等2 ax ax即 y，=lim ”" + .)二八工) At0Ax或 /'(%) = lim.5 h注意：1，(X°) =7(x)X=Xo范弟农用鞭亶携木争腐2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数.范弟农用鞭亶携木争腐单侧导数1 左导数：r（x0）= lim "X-= lim ”。）；Xfx。- 0x XQArf-oAr2 .右导数：f：（Xo）= lim r（x）-/（x0）= lim “X。+"）-/（/）；。x x0AreoAr函数/（x）在点/处可

5、导=左导数/二（40）和右 导数/（X。）都存在且相等.亚弗席稼鞭曲摭木争谯如果/J）在开区间（。,力）内可导，且£3）及£S）都存在，就说""）在闭区间明句上可导.设函数/（x） =X-X0,讨论在点x。的 力（x）, X V X。若limAx->-0/(x0 + Ar)-/(x0)=limAtt-0Ax (Xo+Ax)-p(Xo)= £'(%)存在,亚弗席稼鞭曲摭木争谯若limAr->4-0/(x0+Ar)-/(x0)Ax=limAtt+O。(工0 + Ar) 0(x°)AxK/(x0) = /；(x0)=a,

6、则/（X）在点X。可导, 且/（0）=。,迓菊席林鞭第摭木强震三、由定义求导数步骤:求增量 Ay = f(x + Ax) -/(x);算比值 Aj=/(x + Ar)-/(x)； AxAx(3)求极限y'=lim，. - Ar例1求函数x) = C(。为常数)的导数.解/(X)= lim £(%,无)-/(X)= lim=力f。h，to h例2 设函数 f(x) = sin x,求(sin x)，及(sin x粒 / .、， r sin(x + /i)-sinx用华(smx) =hmh u=lim cos(x + -) . =cos x.力 to2 h2即 (sin xY =

7、 cos x.A (sinxY冗=cos xn x=4 /2范薨发稼融第盘次第馈例3求函数y = x（为正整数）的导数./ , r (x+/2) 一X 解(x)=想一%一=limlnx加TO+ n(n 1)x.2!即 (x'')' = x'i更一般地（炉），=产(pe/?)例如，（e，=吴i志.范薨发稼融第盘次第馈求函数/（*） =。、3 >0,。工1）的导数.(axy =ax Ina.(ex)f = ex.(axY = lim%tO例5求函数y = log” >0,a。1)的导数.yr = lim力-0log.(x + )- log。Xlog/1

8、+ )1 lim x，t0= -lim loga(l + -), = k)g e.x dx x 牛(lo8flx)-llogfle.(如") = ；.例6 讨论函数x) = |x|在x = 0处的可导性解./(0 + 7)-/(0)=0h h 9lim= lim /ito*hh50 +叱“0)=5心=_1f。-h力f。- h即/；(0)工£(0),二函数y = /(x)在x = 0点不可导.!1!I、导数的几何意义正赤发株鞭电搏术学席/'（与）表示曲线y = /（x） 在点拉（x°J（x。）处的 切线的斜率，即_/'（X。）= tana, （a 为

9、倾角）°切线方程为 J-Jo =/U0)(x-x0).法线方程为J-Jo =-7；;（X70）. f（X。）过第府林事业报木学集例7求等边双曲线y = 上在点（总2）处的切线的 x 2斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解由导数的几何意义，得切线斜率为k = yf t = （）z 尸7 i = -4.x=- x x=-v x=-2 -2人 2所求切线方程为y-2 = -4（x-1）,即4x + y-4 = 0.法线方程为y-2 = ；（x-；）,即2x-8y + 15 = 0.旭第跟林鞭第提木争展五、可导与连续的关系定理证凡可导函数都是连续函数.设函数/（X）在点X。可导，H

10、m ?=.（工0）?=/（0）+。Ar.。ArAxa f 0 （Ax -» 0） Ay = ff（xQ）Ax + aAxlim Ay = lim /）Ax + aAx = 0AttO ArfO函数/（X）在点X。连续.旭第跟林鞭第提木争展注意：该定理的逆定理不成立. 连续函数不存在导数举例1.函数/（X）连续，若£。）工£（与）则称点/为函数"X）的角点，函数在角点手可导.例如，'x2, x <0/U） =在x = 0处不可导， = 0为/（%）的角点.J亚菊派棒融电找木争谯2.设函数/(x)在点x。连续，但lim 包=lim/(x°+=) /6)AtfO Av Ax->0Ay=00,称函数/(X)在点X。有无穷导数.(不可导)六、小结与作业L导数的实质：增