17374《测试信号分析与处理》宋爱国-第2章-连续信号处理

1、测试信号分析与处理测试信号分析与处理课程课程 第二章第二章 连续时间信号分析连续时间信号分析 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析第三节第三节 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换第四节第四节 采样信号分析采样信号分析 介绍周期信号的分解和傅立叶级数，从频域来描述和介绍周期信号的分解和傅立叶级数，从频域来描述和分析连续时间信号。分析连续时间信号。第一节第一节 周期信号分析周期信号分析v如何求解复杂信号作用于线性系统后的响应？由如何求解复杂信号作用于线性系统后的响应？由此分析，要解决什么样的关键问题？此分析，要解决什么样的关键问题？-

2、信号分解。信号分解。v信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 v只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信号的研究往往是在一个周期内进行。号的研究往往是在一个周期内进行。 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析v一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在各基函数中的分量；各基函数中的分量；v一个基

3、函数集即可构成一个信号空间，常用的则一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则是是正交函数集正交函数集 。v从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在定义域里用某个正交函数集来表示。定义域里用某个正交函数集来表示。v若此函数集不仅是若此函数集不仅是正交而且完备正交而且完备，则用他来表示，则用他来表示信号时将没有误差。信号时将没有误差。 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析（一）用完备正交实变函数集来分解信号v函数f(t)与g(t)在区间 上正交的条件是v例例2-12-1在 内， 与 是正交的。v两个函数是否正交，必须指明在什么区间内。21( ) (

4、)0ttf t g t dt 21tt，t1sint1cos/201 t第一节第一节 周期信号分析周期信号分析（二）用完备正交复变函数集来分解信号复变函数集 ,r=1,2,.,n在区间 上是正交函数集的条件是v例例2-2若 ，在 内，指数函数集 是正交函数集。证明：v三角函数集三角函数集和指数函数集指数函数集是应用最广的完备正交集。21tt，)(tgrjikjidttgtgdttgtgttjittji，0)()()()(2121*111Ttt，112T2101，netjnmnmnTdteedteetjmTtttjntjmTtttjn，0)(1*1111111111第一节第一节 周期信号分析周期

5、信号分析一、三角函数形式的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数 用完备正交函数集对周期信号分解，即可得到周期信号的傅里叶展开式。进行傅立叶展开的周期函数进行傅立叶展开的周期函数f(tf(t) )必须满足必须满足狄里赫利狄里赫利（DirichletDirichlet）条件）条件，即即在周期 内，函数f(t)1）若有间断点存在，则间断点数目必须有限； 2）极大值和极小值数目应该是有限个； 3）应是绝对可积的，即 在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条件。 , 3 , 2 , 1sincos111ntntn，111Ttt，dttfTtt111)(第一节第一节 周期信号分析周期信号分析周期

6、信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展开式其中，0112111210111( )coscos2sinsin2(cossin)nnnf taatatbtbtaantbnt1111111110111111( )2( )cos (1, 2, 3, , )2( )sin tTttTnttTntaf t dtTaf tntdtnTbf tntdtT111Tttt结论：结论： 任何周期信号，可以分解为直流分量和无穷多个弦波分量的任何周期信号，可以分解为直流分量和无穷多个弦波分量的叠加。叠加。幅度谱幅度谱相位谱相位谱周期信号幅度谱和相位谱的特点周期信号幅度谱和相位谱的特点第一节第一节 周期信号分析周期信号分析

7、例例2-3 2-3 周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间内的数学表达式为 1, /2( )0, /2/2Etf ttT11/2, /2TT第一节第一节 周期信号分析周期信号分析二、指数函数形式的傅里叶级数二、指数函数形式的傅里叶级数在在 内可以用指数函数集来表示周期信号内可以用指数函数集来表示周期信号f(tf(t) )。式中式中 111Ttt，11111( )() jntnf tF netttT 111111111111111( )1()( )tTjnttTtjnttTtjntjnttf t edtF nf t edtTeedt第一节第一节 周期信号分析周期信号分析例例2-4 2-4 周期对称

8、方波如图所示。它在一个周期内的表达式为111, /4( ), /4/2EtTf tETtT第一节第一节 周期信号分析周期信号分析三、三、 周期信号的功率谱周期信号的功率谱信号能量信号能量能量有限信号能量有限信号 ：平均功率：平均功率：功率有限信号：信号功率有限信号：信号f(tf(t) )在时间（在时间（-,+）上的平）上的平均功率均功率 0F x (a t ) d1e)(axajataXa1for a 0F x (a t ) de)(1d1e)(ajajatxaaxaXa1That is ,如果如果 a = - -1,有有x (- t ) X( - -) aXaatx|1)(aXaatx|1)

9、( 尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频谱函数的扩展与压缩。域频谱函数的扩展与压缩。 若要压缩若要压缩信号持续信号持续时间，提时间，提高通信速高通信速率，则不率，则不得不以展得不以展宽频带作宽频带作代价代价例如例如若若 x (t) X() 则则其中其中“t0” 为实常数。为实常数。)(e)(00Xttxtj证明：证明： F x (t t0 ) tttxtjde)(000ede)(tjjttx)(e0Xtj4. 时移性质时移性质(Timeshifting Property) 时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱时移性质表明，信

10、号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移 。0t若若 x (t) X() 则则证明：证明：其中其中 “0” 为实常数。为实常数。F e j0t x(t)ttxtjtjde)(e0ttxtjde)()(0= X(- -0) end)(e)(00txXtj5. 频移性质频移性质(Frequency Shifting Property)频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右移右移 单位，在时域就对应于其时间信号单位，在时域就对应于其时间信号x(t)乘以乘以 。 00jet例例1x(t)

11、= ej3t X() = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)例例2x(t) = cos0t X() = ?Ans:X() = (+0)+ (- -0)tjtjeetx002121)(例例3Given that x(t) X() The modulated signal x(t) cos0t ? Ans: 0000011FcosF2212jtjtx ttx t ex t eXX 6. 时域微分时域微分(Differentiation in time domain)()()()(jXjtxnn证明：证明：( )F( )dx tj Xdt F x tX若若 则则 1( )( )2j

12、 tx tXed( )1( )2j tdx tj Xeddt两边对两边对t求导，得求导，得 所以所以 ( )F()dx tjXdtx(t)= 1/t2 ?例例1Ans:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12t例例 2Determine x (t) X ()Ans:x ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)X2()= F x”(t) = (j )2 X ()= e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 X () =222)2cos(22)()(jX7. 卷积定理卷积定理(Convolution Propert

13、y)时域卷积（时域卷积（Convolution in time domain）：）：If x1(t) X1()， x2(t) X2()Then x1(t)*x2(t) X1()X2()频域卷积（频域卷积（Convolution in frequency domain）：）：If x1(t) X1()， x2(t) X2()Then x1(t) x2(t) X1()*X2()21证明：证明：d)()()(*)(2121txxtxtx F x1(t)*x2(t) =dde)()(ded)()(2121ttxxttxxtjtj利用时移性质，利用时移性质，jtjXttxe)(de)(22所以所以 F

14、x1(t)*x2(t) =de)()(de)()(1221jjxXXx= X1()X2()已知已知)(tx为矩形脉冲信号为矩形脉冲信号, ,求求)(*)()(txtxty的傅里叶变换。的傅里叶变换。根据时域卷积定理，有根据时域卷积定理，有22()Sa ()2Y( )Sa()2X( )( )x tg t的傅里叶变换为的傅里叶变换为门函数门函数其实，其实，y(t) 是是脉宽为脉宽为2 2、脉高为脉高为的的三角脉冲。三角脉冲。例例 1Ans:t22O)(tx1Ot)(ty例例 2?)(sin2XttAns:)Sa(2)(2tg利用对偶性，利用对偶性，)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)

15、(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -200( )( )cos()y tf tt00001( )( )* ()()21 ()()2YFFF y(t)0cos() ty1(t)10( )( )cos()y ty tt100001( )( )* ()()21 ()()2YYYY F()OMM1O00)()(0Fcos()tY()O000+M0M21例例3Y1()O00214141调制调制解调解调第三节第三节 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换v周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个问题，我们可同样借助于复指

16、数函数的傅里叶变换问题，我们可同样借助于复指数函数的傅里叶变换对。对。 傅立叶级数展开式式中，两边傅立叶变换 1( )jntTnnftF e111/2/211( )TjntnTTFft edtT11( )jntTnnjntnnftF eFeFFF1( )2()TnnftFn F（1）周期信号的傅里叶变换是由冲激函数组成的冲激串周期信号的傅里叶变换是由冲激函数组成的冲激串。特点特点：冲激串的频率间隔为冲激串的频率间隔为1=2/T ，冲激位于周期信，冲激位于周期信 号的谐频处，冲激强度为号的谐频处，冲激强度为Fn的的2倍。倍。Fn易求时F0(n1)易求时ntjnnTFtf1e)(22de)(11T

17、TtjnTnttfTFnntjnnntjnnnTkFeFeFF)(2FF)(011nnTnnFnnFTF)()()()(2)(1101110第三节第三节 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换v周期信号傅里叶变换所得到的是频谱密度函数，在这里它是冲激函数，它表示在无穷小频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱值，而不像傅里叶级数的相应系数所表示的是谐频分量的幅值。 例例2-5：周期为：周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)= mmTt)(TdtetxTXTTtjkk1)(1220解解： 冲激周期函数的傅里叶系数冲激周期函数的傅里叶系数O TTt( )Tt(1)0002( )(

18、)()kkPkkT 周期信号如图，求其傅里叶变换。周期信号如图，求其傅里叶变换。解解：周期信号：周期信号x(t)也可看作一时限非周期信号也可看作一时限非周期信号x0(t)的周期拓展。的周期拓展。)2(1)(20000TnXTkXXk周期信号傅里叶级数的系数周期信号傅里叶级数的系数0( )Sa()2XA0000( )() ()kXXkk 00Sa() ()2kAk 第四节第四节 采样信号分析采样信号分析 一、连续时间信号的采样过程 第四节第四节 采样信号分析采样信号分析v连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号 的频谱的频谱 的幅值将是连续时间信号频谱的幅值将是连续时间信号频谱 的的 倍，并倍，并 从开始，沿频率轴正、负方从开始，沿频率轴正、负方向，每隔一个采样频率向，每隔一个采