23等比数列（1）

1、名称名称等差数列等差数列概念概念常数常数性质性质通项通项通项通项变形变形dnaan) 1(1 dknaakn)( ),(*Nkn从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的差差等等同一个常数同一个常数公差公差(d)d可正可负可正可负,且可以为零且可以为零（2） 一位数学家说过：你如果能将一张纸对折一位数学家说过：你如果能将一张纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。以上两个实例所包含的数学问题以上两个实例所包含的数学问题:（1）“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”1 ， ， ， ， ， 214181161(1) 1

2、 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ， (2)新新课讲授课讲授 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，项起，每一项与它的每一项与它的前前一项的一项的 比比 等于等于同一个同一个常数常数，那么这个数列就叫做等，那么这个数列就叫做等比比数列数列 ，这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的公比公比（q）。 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，项起，每一项与它的每一项与它的前前一项的一项的 差差 等于等于同一个同一个常数常数，那么这个数列就叫做等，那么这个数列就叫做等差差数列数列 ，这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的公差公差（d）。）。等比数列等比数

3、列等差数列等差数列(1) 1，3，9，27，81， (3) 5，5，5，5，5，5，(4) 1，-1，1，-1，1，是是,公比公比 q=3是是,公比公比 q= x 是是,公公 比比q= -1(7) 2341, , , , , (0)x x x xx(2) ,161,81,41,21是是,公比公比 q=21观察并判断下列数列是否是等比数列观察并判断下列数列是否是等比数列: :是是,公比公比 q=1(5) 1，0，1，0，1，(6) 0，0，0，0，0，不是等比数列不是等比数列不是等比数列不是等比数列）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann1. 1. 各项不能为零各项不能为零, ,即即 0na

4、 2. 2. 公比不能为零公比不能为零, ,即即0q4. 4. 数列数列 a, a , a , a, a , a , 0a时时, ,既是等差数列既是等差数列又是等比数列又是等比数列; ;0a时时, ,只是等差数列只是等差数列而不是等比数列而不是等比数列. .3. 3. 当当q0q0，各项与首项同号，各项与首项同号 当当q0q0，各项符号正负相间，各项符号正负相间对概念的更深理解对概念的更深理解等差数列通项公式的推导等差数列通项公式的推导: :(n-1)个个 式子式子daa12daa23daa34daann21daann1 dnaan) 1(1方法一方法一:(叠叠加法加法)daa12dnaan)

5、 1(1dda)(1daa23da21dda)2(1daa34da31 方法二方法二:(归纳法归纳法)1nnaadqaann1等比数列通项公式的推导：等比数列通项公式的推导：2n(n-1)个个 式子式子11 nnqaa方法一方法一:叠乘法叠乘法qaa12qaa23qaa34qaann1qaa12qqa)(1qaa2321qaqqa)(21qaa3431qa 方法二方法二:归纳法归纳法11 nnqaa等比数列的通项公式11nnqaa当当q=1时，这是时，这是一个常函数。一个常函数。0na等比数列等比数列 ，首项为首项为 ,公比为公比为q,则通项公式为则通项公式为 na1a在等差数列在等差数列 中

6、中na()nmaanm d*( ,)n mN试问：在等比数列试问：在等比数列 中，如果知道中，如果知道 和公比和公比q，能否，能否求求 ？如果能，请写出表达式。？如果能，请写出表达式。 namanan mnmaa q*( ,)n m N等比中项的定义等比中项的定义 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a,G,b成等比数列，成等比数列，那么那么G就叫做就叫做a与与b的等比中项的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得在这个定义下，由等比数列的定义可得2GbaGGa bGa b 即（2 2）一个等比数列的第）一个等比数列的第2 2项是项是10,10,第第3 3项是项是20

7、,20,求它的第求它的第1 1项与第项与第4 4项项. .(1)(1)一个等比数列的第一个等比数列的第5 5项是项是 , ,公比是公比是 ，求它的第，求它的第1 1项；项；9431例例1：例例2、等比数列等比数列 a n 中，中， a 4 a 7 = 512，a 3 + a 8 = 124,公比公比 q 为整数，求为整数，求 a 10.)()(2112111211111qqqqbaqqbababannnnnn它是一个与它是一个与n n无关的常数，无关的常数， 所以所以 nnba 是一个以是一个以 为公比的等比数列为公比的等比数列 21qqnnnnqbqaqbqa2111121111与例例3：

8、已知已知 nnba,是项数相同的等比数列，是项数相同的等比数列，nnba 是等比数列是等比数列.求证求证证明证明:设数列设数列 na首项为首项为 1a,公比为公比为 ; 1qnb首项为首项为 1b,公比为公比为 2q那么数列那么数列的第的第n n项与第项与第n+1n+1项项分别为：分别为：nnba 11 1121 112()()nna b q qa b q q与即为即为等比数列等比数列名称名称等差数列等差数列概念概念常数常数性质性质通项通项通项通项变形变形dnaan) 1(1 dknaakn)( ),(*Nkn回顾小结回顾小结11nnqaaknknqaa ),(*Nkn从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的比比等等