1996年全国高中数学联赛试题及解析 苏教版

1、1996年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月13日上午8：009：20)一、选择题(本题满分36分，每题6分)1 把圆x2+(y1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形2 等比数列an的首项a1=1536,公比q=,用n表示它的前n项之积。则n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)133 存在整数n,使+是整数的质数p( ) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个4 设x(，0),以下三个数1=cos(sinx),2=s

2、in(cosx),3=cos(x+1)的大小关系是( ) (A)3<2<1 (B)1<3<2 (C)3<1<2 (D)2<3<15 如果在区间1,2上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( ) (A) 4+ (B) 4+ (C) 1+ (D)以上答案都不对6 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球

3、的个数是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1 集合x|1log10<，xN*的真子集的个数是 2 复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_3 曲线C的极坐标方程是=1+cos，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_4 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是_5 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的

4、六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_种(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同)6 在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为_第二试一、（本题满分25分）设数列an的前n项和Sn=2an1（n=1，2，），数列bn 满足b1=3，bk+1=ak+bk(k=1，2，)求数列bn 的前n项和二、（本题满分25分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意0，恒有 （

5、x+3+2sincos)2+(x+asin+acos)2 三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。EFABCGHPO1。O2四、（本题满分35分）有n(n6)个人聚会，已知：（1）每人至少同其中个人互相认识；（2）对于其中任意个人，或者其中有2 人相识，或者余下的人中有2人相识证明：这n个人中必有三人两两认识1996年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(本题满分36分，每题6分)1 把圆x2+(y1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为(

6、) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形解：99(y1)2=9(y+1)2，Þ8y220y+8=0，Þy=2或，相应的，x=0，或x=±此三点连成一个正三角形选C2 等比数列an的首项a1=1536,公比q=，用n表示它的前n项之积。则n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)13解：n=1536n×()，故11<0，9，12，13>0作商比较：又，=15363´()6636>1，=1536´()7866<1故选C3 存在整数n,使+是整数的质数( ) (A)

7、不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个解：如果p为奇质数，p=2k+1，则存在n=k2(kN+)，使+=2k+1故选D4 设x(,0)，以下三个数1=cos(sinx),2=sin(cosx),3=cos(x+1)的大小关系是( ) (A)3<2<1 (B)1<3<2 (C)3<1<2 (D)2<3<1解：1= cos(sin|x|)>0，2=sin(cos|x|)>0，3=cos(1|x|)<0，排除B、D sin|x|+ cos|x|=sin(|x|+)<，于是cos|x|<sin|

8、x|， sin(cos|x|)<cos(sin|x|)，故2<1，选A又解：取x=，则1=cos，2=sin，3=cos<0由于<<，故1>25 如果在区间1,2上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( ) (A) 4+ (B) 4+ (C) 1+ (D)以上答案都不对解：g(x)= x+=x+x+3=当且仅当x=即x=时g(x)取得最小值=，=，Þp=2，q=+由于1<2故在12上f(x)的最大值为f(2)=4+故选B6 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的

9、轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：O2与下底距离=3，与O1距离=2+3=5，与轴距离=4，问题转化为在以4为半径的圆周上，能放几个距离为6的点？右图中，由sinO2HC=3/4>0707，即O2HO3>90°，即此圆上还可再放下2个满足要求的点故选B二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1 集合x|1log10<，xN*的真子集的个数是 解 由已知，得<l

10、ogx101Þ1lgx<2Þ10x<100故该集合有90个元素其真子集有290-1个2 复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_解：z1满足|zi|=1；argz1=，得z1=+i，=cos()+isin()设z2的辐角为(0<<)，则z2=2sin(cos+isin)·z2=2sincos()+isin()，若其实部为0，则=，于是=z2=+i3 曲线C的极坐标方程是=1+cos，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_

11、。解：只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可设P(1+cos，)，则|AP|2=22+(1+cos)22·2(1+cos)cos=3cos22cos+5=3(cos+)2+且显然|AP|2能取遍0，内的一切值，故所求面积=4 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是_。解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b取CD中点G，则AGCD，EGCD，故AGE是二面角ACDE的平面角由BDAC，作平面BDF棱AC交AC于F，则BFD为二面角BACD的平面角AG=

12、EG=，BF=DF=，AE=2=2由cosAGE=cosBFD，得= =Þ9b2=16a2，Þb=a，从而b=2，2a=3AE=2即最远的两个顶点距离为35 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_种。(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同。)解：至少3种颜色：6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有(41)!=6种方法，共计30种方法

13、；用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：C(41)! =30；6×30÷2=90种方法；用4种颜色：CC=90种方法用3种颜色：C=20种方法共有230种方法6 在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为_解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果故问题即求x2+y2=1992的整数解数显然x、y一奇一偶，设x=2m，y=2n1且1m，n99则得4m2=1992(2n1)2=(198+2n)(2002n)m2=(99+n)(100n)(n1)(n) (mod 4)由于m为正整数，m20，1 (mod 4)；(n1)(

14、n)二者矛盾，故只有(0，±199)，(±199，0)这4解 共有4个(199，±199)，(0，0)，(398，0)第二试一、（本题满分25分）设数列an的前n项和Sn=2an1（n=1，2，），数列bn 满足b1=3，bk+1=ak+bk（k=1，2，)求数列bn 的前n项和解：a1=2a11，a1=1； an=(2an1)(2an11)=2an2an1，Þan=2an1Þan是以1为首项，2为公比的等比数列an=2n1bk+1bk=2k1，Þbnb1=(bnbn1)+(bn1bn2)+(b2b1)=2n2+2n3+20=2n11

15、 bn=2n1+2 bi=2n+2n1二、（本题满分25分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意0，恒有 （x+3+2sincos)2+(x+asin+acos)2 解：令sin+cos=u，则2sincos=u21，当0，时，u1，并记f(x)= (x+3+2sincos)2+(x+asin+acos)2 f(x)=(x+2+u2)2+(x+au)2=2x2+2(u2+au+2)x+(u2+2)2+(au)2=2x+(u2+au+2)2+(u2au+2)2 x=(u2+au+2)时，f(x)取得最小值(u2au+2)2 u2au+2，或u2au+2 au+，或au+当u1，时，u+，；

16、u+， a或a三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。证明 设ABC的三边分别为a、b、c，三个角分别为A、B、C，则CE=BF=CG=BH=(a+b+c)BE=(a+b+c)a=(b+ca)EF=(a+b+c)+(b+ca)=b+c连CO1,则CO1平分ECG,CO1EG,ÞFEP=90°C同理EFP=90°B,EPF=(B+C)= ，EP=(b+c)。设P、A在EF上的射影分别为M、N，则EM=EPcosFEP=(b+c) 又BN=ccosB，故

17、只须证ccosB+ (b+ca)= (b+c) ,即sinCcosB+ (sinB+sinCsin(B+C) =(sinB+sinC) 就是2coscossin=sinCcosBsinBcosCcosBsinC+sincos 右边= sin(CB)+sincos=cos(sinsin) =2cos cos sin 。故证。四、（本题满分35分）有n（n6）个人聚会，已知：（1）每人至少同其中个人互相认识；（2）对于其中任意个人，或者其中有2 人相识，或者余下的人中有2人相识证明：这n个人中必有三人两两认识证明：作一个图，用n个点表示这n个人，凡二人认识，则在表示此二人的点间连一条线问题即，在题

18、设条件下，存在以这n点中的某三点为顶点的三角形设点a连线条数最多，在与a连线的所有点中点b连线最多，与a连线的点除b外的集合为A，与b连线的点除a外的集合为B1° 设n=2k，则每点至少连k条线，A、B中都至少有k1个点若存在一点c，与a、b都连线，则a、b、c满足要求；若没有任何两点与此二点都连线(图1)， 则由AB=Ø，|AB|2k2，|A|k1，|B|k1， 故得 |A|=|B|=k1，且图中每点都连k条线若A(或B)中存在两点，这两点间连了一条线，则此二点与a连出三角形，若A中任何两点间均未连线，B中任两点也未连线，则Ab中不存在两点连线，Ba中也不存在两点连线与已知矛盾2° 设n=2k+1则每点至少连k条线，A、B中都至少有k1个点若存在一点c，与a、b都连线，则a、b、c满足要求；若没有任何两点与此二点都连线，且|A|k，则由|B|k1时(图2)，则由AB=Ø，|AB|2k1，|A|k，|B|k1， 故得|AB|=2k1，|A|=k，|B|=k1，若A(或B)中存在两点，这两点间连了一条线，则此二点与a连出三角形，若A中任何