高等结构动力学(云大土木系)04-无限自由度体系r

1、第四章第四章 无限自由度系统无限自由度系统4-1 杆的横向振动杆的横向振动4-2 弦线的横向振动弦线的横向振动4-3 圆轴的横向振动圆轴的横向振动4-4 梁的振动微分方程梁的振动微分方程 实际的工程结构实质都是由实际的工程结构实质都是由连续分布的质量和连续分布连续分布的质量和连续分布的刚度的刚度所组成，即所组成，即连续体连续体，在一定条件下简化成离散的多自，在一定条件下简化成离散的多自由度系统，是必要的合理的。由度系统，是必要的合理的。 但在某些条件下用连续体模型描述更合理。例如细长飞但在某些条件下用连续体模型描述更合理。例如细长飞行器（导弹，火箭结构），细长比大于行器（导弹，火箭结构），细长

2、比大于4时可用连续的变截时可用连续的变截面梁模型描述，小于面梁模型描述，小于4时可用弹簧质量块模型描述。时可用弹簧质量块模型描述。u 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此因此连续体是具有无限多自由度的系统。连续体是具有无限多自由度的系统。u 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组二阶常微分方程组，而是而是偏微分方程偏微分方程。 这些主振型之间也存在着关于质量和刚度的正交性；这些主振型之间也存

3、在着关于质量和刚度的正交性；注意注意：在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差：在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。完全类似的。例如：例如： 任何一个弹性体具有无限多个固有频率及与之相应的主振型；任何一个弹性体具有无限多个固有频率及与之相应的主振型； 弹性体的自由振动也可以表示为各主振动的线性叠加；弹性体的自由振动也可以表示为各主振动的线性叠加； 对于弹性体的动响应分析振型叠加法仍然是适用的。对于弹性体的动响应分析振型叠加法仍然是适用的。 本章讨论本章讨论

4、理想弹性体理想弹性体的振动，即满足以下三个条件的连续的振动，即满足以下三个条件的连续系统模型：系统模型： 均匀分布均匀分布 各向同性各向同性 服从虎克定律服从虎克定律4-1 杆的纵向振动杆的纵向振动该方程为一维波动方程，该方程为一维波动方程，a a为纵波在杆内的传播速度。为纵波在杆内的传播速度。 Ea显然第显然第n个振型有个振型有n-1个节点。个节点。 4-1 弦线的横向振动弦线的横向振动 设理想柔软的细弦张紧于两个固定点之间，张力为设理想柔软的细弦张紧于两个固定点之间，张力为 T ，跨，跨长为长为 l ，弦单位长度的质量为，弦单位长度的质量为 ，两支点连线方向取为，两支点连线方向取为 x 轴

5、轴，与，与 x 轴垂直的方向取为轴垂直的方向取为 y 轴，如图，轴，如图，波动方程波动方程弦振动示意图弦振动示意图4.1 弦的振动弦的振动 弦振动示意图弦振动示意图 设弦的振动发生在设弦的振动发生在xoy平面内，弦的运动可表示为平面内，弦的运动可表示为y = y(x,t) 。并假设弦的。并假设弦的振动幅度是微小的振动幅度是微小的，即，即 y 与与 均为小量；在均为小量；在这些假设下，弦的张力这些假设下，弦的张力 T 可近似地看作常量。再设重力与阻尼可近似地看作常量。再设重力与阻尼的影响均可略去不计。的影响均可略去不计。yx在自由振动中，弦的微元在自由振动中，弦的微元 dx 的受力图如下的受力图

6、如下, , 运动微分方程运动微分方程为为22sin()sinydxTdxTtxxytansin又因为：又因为：22yt整理得整理得 设设Tc 波动方程波动方程弹性波沿弦向的传播速度弹性波沿弦向的传播速度具有具有m/s的量纲的量纲22222yyctx2222yTytx即即 2222yydxTdxtx故有故有 描述弦振动的函数描述弦振动的函数y(x,t) 可以分解为空间函数与时间函数的乘积可以分解为空间函数与时间函数的乘积)()(),(tYxXtxy其代入波动方程可得其代入波动方程可得:22222d Yd XXc Ydtdx要使上式对任意的要使上式对任意的 x 与与 t 都成立，必然是二者都等于同

7、一个常数都成立，必然是二者都等于同一个常数。设这一常数为。设这一常数为 ，得如下两个常微分方程，得如下两个常微分方程频率方程频率方程22222211d Yd XcY dtXdx分离变量法求解波动方程分离变量法求解波动方程即即 其中：其中： X(x) 是是振型函数振型函数，它表示整个弦的振动形态；，它表示整个弦的振动形态； Y(t) 表征点的振动规律。表征点的振动规律。于是，上述方程可改写为于是，上述方程可改写为0222YdtYd2220d XXdxc可解得可解得 ( )sinY tAt( )sincosX xCxDxcc 其中：其中： Y(t) 表征点的振动规律，表征点的振动规律， 为固有频率

8、，为固有频率， 相位角相位角 X(x) 是是振型函数振型函数，它表示整个弦的振动形态，它表示整个弦的振动形态弦振动（波动方程）的通解为弦振动（波动方程）的通解为( , )( ) ( )sincossinsincossiny x tX x Y tCxDxAtccCxDxtcc 其中：其中： C 、D 、 、 由边界条件和运动的初始条件确定。由边界条件和运动的初始条件确定。0),(), 0(tlytyl两端固定：边界条件边界条件由边界条件得由边界条件得得得sin00DtD，即sinsin0Cltc由此可确定一系列由此可确定一系列固有频率固有频率nlc, 2, 1n0),(), 0(tlytysin

9、0lc只能是只能是 弦振动的弦振动的频率方程频率方程即即nn cnTll, 2, 1n可见，张紧弦的自由振动，除了基频（最低频率）振动外，还包可见，张紧弦的自由振动，除了基频（最低频率）振动外，还包含频率为基频整数倍的振动。这种含频率为基频整数倍的振动。这种倍频振动倍频振动亦称为亦称为谐波振动谐波振动。 弦对应于各阶固有频率的弦对应于各阶固有频率的主振动主振动为为( , )( )( )sinsinnnnnnnnyx tXx Y tCxtl而弦的而弦的自由振动自由振动可以表示为这些主振动的叠加：可以表示为这些主振动的叠加： 11( , )( , )sinsinnnnnnnny x tyx tCx

10、tl与此相应，可确定一系列与此相应，可确定一系列主振型主振型，即，即( )sinsinnnnnnXxCxCxcl1, 2,n 其中各个其中各个Cn 与与 由运动的初始条件确定。由运动的初始条件确定。n4-3 圆轴的扭转振动圆轴的扭转振动2221122PpImrr dx rJ dx441J322Pdr( , )(sincos)sin()x tAxBxtaa它的解为 由系统的边界条件和初始条件确定。一般解为：1( , )(sincos)sin()nnnnnnnx tAxBxtaa一维波动方程一维波动方程式中四个待定常数,A B及综上所述，弦的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的波动综上所述，弦

11、的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的波动方程。它们的运动具有共同的规律，如表方程。它们的运动具有共同的规律，如表4-14-1。 弦的横振弦的横振杆的纵振杆的纵振轴的扭振轴的扭振物物理理参参数数 弦的张力弦的张力 弦的线质量弦的线质量弹性模量弹性模量 截面积截面积 密度密度剪切弹性模量剪切弹性模量截面极惯性矩截面极惯性矩 密度密度 截面的截面的位移位移横向位移横向位移纵向位移纵向位移转转 角角单位长度单位长度的质量或的质量或转动惯量转动惯量 截面处力截面处力（或扭矩）（或扭矩） ApJTEGpJxyxxyTxyEAxyGJpAc/T/E/G22222xycty)()(tYxXyyiiicxDcxCxXiAtYiiiiiiiicossin)(,sin)(0)()0(lXX0)( )0( lXX0)( )0(lXXlcii/3,2,1ilc