二项式定理教案(绝对经典)(共11页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第3讲二项式定理基础梳理1二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式其中的C(r0,1，n)叫二项式系数式中的Canrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Canrbr.2二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3二项式系数的性质(1)对称性：与首

2、末两端“等距离”的两个二项式系数相等即CC.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn，Cn取得最大值(3)各二项式系数和：CCCCC2n； CCCCCC2n1.双基自测1(12x)5的展开式中，x2的系数等于() A80 B40 C20 D10 2若(1)5ab(a，b为有理数)，则ab() A45 B55 C70 D803.若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为() A9 B8 C7 D64(13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的

3、系数相等，则n() A6 B7 C8 D95设(x1)21a0a1xa2x2a21x21，则a10a11_.考向一二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】的展开式中常数项是 ；含x2的项的系数是 【训练1】 1、 已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项2、若6展开式的常数项为60，则常数a的值为_考向二二项式的和与积【例2】 1、在的展开式中，含项的系数是 2、(12x)3(1x)4展开式中x项的系数为_【训练2】1、的展开式中的系数是_. 2、的展开式中，的系数为_.考向二二项式定理中的赋值【例3】二项式(2x3y)9的展开式中

4、，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和【训练3】 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.【例4】 若多项式x3x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则a9() A9 B10 C9 D10【训练4】1、 2、= 【例5】除以9的余数为 。【训练5】设n为奇数，则除以9的余数为 。A组专项训练一、选择题1、的展开式中常数项是第 （ ）A5项 B6项 C7项 D8项2、使得的展开式中含有常数项的最小的是（ ） A.4 B.5 C.6

5、 D.73、（+）5展开式的常数项为80，则a的值为（）A1B2C D44、的展开式中的系数是（ ） A. B. C.5 D.205、在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是()A297 B207 C297 D2526、若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则n为（）A 4B5C6D77、已知的展开式的各项系数之和为32，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 8、在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（ ）A56B35C 35D56二、填空题1、设二项式的展开式中常数项为A，则A_2、已知的展开式中的系数为5，则_.3、在的展开式中，项的系

6、数是_. 4、若则a3= . 5、的展开式中的系数为 .6、展开式中系数最大的项的系数为 7、的展开式中的系数是_.第3讲二项式定理基础梳理1二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式其中的C(r0,1，n)叫二项式系数式中的Canrbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Canrbr.2二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项

7、增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等即CC.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn，Cn取得最大值(3)各二项式系数和：CCCCC2n；CCCCCC2n1.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr1Canrbr，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后

8、者是字母外的部分前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(2)展开式的应用：利用展开式可证明与二项式系数有关的等式；可证明不等式；可证明整除问题；可做近似计算等三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结双基自测1(12x)5的展开式中，x2的系数等于() A80 B40 C20 D10答案B 解析Tr1C(2x)r

9、2rCxr， 当r2时，T340x2. 2若(1)5ab(a，b为有理数)，则ab() A45 B55 C70 D80答案C 解析(1)51510()210()35()4()54129由已知条件a41，b29，则ab70.3.若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为() A9 B8 C7 D6答案B 解析令x1，则a0a1a2a3a40令x1，则a0a1a2a3a416 a0a2a48.4(13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n() A6 B7 C8 D9答案B 解析Tr1C(3x)r3rCxr 由已知条件35C36C即C3C3 整理得n7

10、5设(x1)21a0a1xa2x2a21x21，则a10a11_.答案0 解析Tr1Cx21r(1)r(1)rCx21r由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10C，a11C，a10a11CC0 考向一二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】的展开式中常数项是 ；含x2的项的系数是 【答案】A令得,故展开式中常数项为; 含x2的项的系数是-12【训练1】 1、 已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项解通项公式为Tr1Cx(3)rx(3)rCx.(1)第6项为常数项，r5时，有0，解得n10.(2)令2，得r(

11、n6)2，x2的项的系数为C(3)2405.(3)由题意知令k(kZ)，则102r3k，即r5k，rZ，k应为偶数，k2,0，2，即r2,5,8.第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，61 236,295 245x2. 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可2、若6展开式的常数项为60，则常数a的值为_答案4 解析二项式6展开式的通项公式是Tr1Cx6r()rx2rCx63r()r，当r2时，Tr1为常数项，即常数项是Ca，根据已知Ca60，解得a4.

12、考向二二项式的和与积【例2】 1、在的展开式中，含项的系数是 2、(12x)3(1x)4展开式中x项的系数为_1、答案：152、答案2 解析(12x)3(1x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C(2x)0·C(x)1C(2x)1·C14(x)0，其系数为C03·C(1)C·2462. 对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化

13、成二项式定理的形式去求解【训练2】1、的展开式中的系数是_. 答案：15602、的展开式中，的系数为_. 答案：30考向二二项式定理中的赋值【例3】二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和解设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CC19CC29.(2)各项系数之和为a0a1a2a9(23)91(3)由(2)知a0a1a2a91，令x1，y1，得a0a1a2a959，将两式相加，得a0a2a4a6a8，即为所有奇数项系数之和 二项式定理给出的是一个恒等式，对a，b赋予一些特定的值，是解决二

14、项式问题的一种重要思想方法赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f(a，b)(ab)nCanCan1bCanrbrCbn.对a，b赋予一定的值，就能得到一个等式【训练3】 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()÷2，得a1a3a5a71 094.(3)()÷2，得a0a2a4a61 093.(4)(12x)7展开式中，

15、a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.【例4】 若多项式x3x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则a9() A9 B10 C9 D10【训练4】1、 答案：2402、= 【例5】除以9的余数为 。答案：7 ，展开后只有最后两项不能整除【训练5】设n为奇数，则除以9的余数为 。答案：7 原式=A组专项训练一、选择题1、的展开式中常数项是第 （ ）A5项 B6项 C7项 D8项【答案】C ：，令，常数项为第7项2、使得的展开式中含有常数项的最小的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 答案：.B3、（+）5展开式的常数项为80，则a的值为（）A1B2C D4 答案：.B4、的展开式中的系数是（ ） A. B. C.5 D.20 答案：.A5、在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是()A297 B207 C297 D252 答案：B6、若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则n为（）A 4B5C6D7 答案：C7、已知的展开式的各项系数之和为