第十三部分导数的概念及其运算

1、第十三部分导数的概念及其运算一、基本知识点1. 函数y = f(x)从x到X2的平均变化率函数y= f(x)从Xi到X2的平均变化率为 ,若x= X2 x, Ay= f(x2) f(x),贝9平均变化率可表示为 .2. 函数y = f(x)在X = xo处的导数(1) 定义称函数 y= f(x)在X= Xo处的瞬时变化率 =为函数 y= f(x)在X =xo处的导数，记作f' (o),即 f' (xo) =AmO Ay=.(2) 几何意义函数f(x)在点Xo处的导数f' (XO)的几何意义是在曲线y = f(x)上点处的.相应地，切线方程为 .3. 函数f(x)的导函数

2、称函数f' (X) =为f(x)的导函数，导函数有时也记作y'.4. 基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x) = C (C是常数)f' (X)=f(x) = X( 是实数)f' (X)=f(x)= Sin Xf' (X)=f(x) = CoS Xf' (X)=f(x) = ax (a>o, a 1)f' (X)=f(x)= exf' (X)=f(x) = IogaX(a>o, a 1)f' (X)=f(x) = ln Xf' (X)=5. 导数运算法则(1) f(x) ±(x)'

3、=；(2) f(x) g(x)' =；f X'= (g(x) 0).二、内容扩充1 .深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1) 函数f(x)在点xo处的导数f' (xo)是一个常数；函数y= f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点X而言的.如果函数y= f(x)在区间(a, b)内每一点X都可导，是指对于区间(a, b)内的每一个确定的值Xo都对应着一个确定的导数f' (X0)这样就在开区间(a, b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f' (X)在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数2曲线y= f(x) “在点

4、P(xo, yo)处的切线”与“过点P(xo, yo)的切线”的区别与联系(1)曲线y= f(x)在点P(xo, yo)处的切线是指 P为切点，切线斜率为k= f' (xo)的切线，是唯一的一条切线.曲线y= f(x)过点P(xo, yo)的切线，是指切线经过P点.点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.三、小练习11 . f' (x)是函数f(x) = 3x3 + 2x+ 1的导函数，贝U f' ( 1)的值为2 .如图，函数y= f(x)的图像在点P处的切线方程是y= x+ 8f(5) + f' (5) =.3已知 f(x)= x2+ 3x

5、f' (2),贝U f' (2) =.4 .已知点P在曲线f(x)= X4 X上，曲线在点P处的切线平行于3x y = 0 ,则点P的坐标为.5.已知曲线y= x2 3ln X的一条切线的斜率为一壬，则切点的横坐标为()1 A . 3B . 2C . 3 或 2D.?四、题型分析题型一利用导数的定义求函数的导数例1求函数y= ,x2 + 1在Xo到xo + x之间的平均变化率.探究提高 求函数f(x)平均变化率的步骤： 求函数值的增量f = f(X2) f(X1)；ff X2 f X1 计算平均变化率=-.xX2 X1解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算

6、过程就可以了.练习利用导数的定义求函数的导数：(2)f(X)=Lx+ 21(1)f(x)= 一在X= 1处的导数；VX题型二导数的运算例2求下列各函数的导数：1 I1x- 1(1)y= ex ln x; (2)y= X x2+ J+ 产；(3) y= X Sin cos X (4)y= ( x+1)探究提高(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用 商的求导法则，减少运算量.练习求下列各函数的导数：TX

7、+ X5+ Sin X(1)y=X2; (2)y= (X+ 1)(x+ 2)(X + 3);XOX11(3) y Sin21 2cos4 ；W 1X+ K； i c： 2 .SIn x+ CoS X题型三导数的几何意义14例3已知曲线y= 3x3 +(1) 求曲线在点P(2,4)处的切线方程；求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程.探究提高利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可 求切点的坐标.(2) 切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点.练习 已知

8、抛物线y= ax2+ bx + C通过点P(1,1),且在点Q(2, - 1)处与直线y= X- 3相切， 求实数a、b、C的值.练习(12分)设函数y= X2- 2x+ 2的图像为 6 ,函数y= x2+ ax+ b的图像为C2,已知过 C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.(1)求a, b之间的关系;求ab的最大值.解(1)对于 C1： y= X2 2x + 2,有 y' = 2x 2, 对于 C2: y = X2+ ax+ b,有 y' = 2x+ a, 设CI与C2的一个交点为(X0, y0),由题意知过父点(X0, y°)的两条切线互相垂直. (2X0 2)

9、 ( 2X0+ a)= 1,+ 2a 1 = 01分2分即 4x0 2(a + 2)X0又点(X0, y0)在C1与C2上，y0 = X2 2x0 + 2故有2? 2x0 (a + 2)X0+ 2 b= 0y0 = x0+ ax0+ b5由消去X0,可得a+ b=夕(2)由(1)知：b = 5 a,5 c5 0252416.525当a= 5时,(ab)最大值=254167分10 分12 分点评 本题的切入点是：两曲线有交点(xo, yo),交点处的切线互相垂直.通过审题路线图可以较为清晰地看到审题的思维过程方法与技巧1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意f' (X0)与(f(xo)&

10、#39;是不一样的，f'(X0)代表函数f(x)在X= X0处的导数值，不一定为 0 ；而(f(X0)'是函数值f(X0)的导数，而函数值 f(X0)是一 个常量，其导数一定为 0,即(f(X0)' = 0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的 应用， 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用， 在实施化简时， 首先必须注意变换的等 价性，避免不必要的运算失误3利用导数定义求导数时，要注意到x 与 x 的区别，这里的 x 是常量， x 是变量4利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆 5求曲线切线时，要分清在

11、点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者 包括了前者6曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别限时训练A组(时间：60分钟)、选择题曲线y= X3+ 11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是D . 15A . 9B . 3C. 9已知 f(x)= xln x,若 f'(X0)= 2,则 X0等于2ln 2eB. eC.2若曲线y= x4的一条切线I与直线x+ 4y 8= 0垂直，则B. eIn 2I的方程为4x y 3 = 0B . x+ 4y 5= 04x y+ 3 = 0C.二、填空题D. x+ 4y+ 3 = 0

12、4. 设函数 f(x)的导数为 f' (x),且 f(x)= f'2 Sin x+ CoS x,5. 已知函数 f(x), g(x)满足 f(5) = 5, f' (5)= 3, g(5) = 4, g' (x) = 1,则函数 y =像在X= 5处的切线方程为.x36. 设点P是曲线y= x3 x2 3x 3上的一个动点，则以 P为切点的切线中，斜率取得最小3值时的切线方程是 .三、解答题7. 已知曲线y= x3+ x 2在点P0处的切线I1平行于直线4x y 1 = 0,且点P°在第三象限. (1)求P0的坐标；若直线1丄|1 ,且I也过切点P0,

13、求直线I的方程.8. 如右图所示，已知 A( 1,2)为抛物线C: y= 2x2上的点，直线I1过点A,且与抛物线 C相切，直线I2： X= a (a< 1)交抛物线C于点B,交直线1于点D.(1)求直线I1的方程； 求 ABD的面积S.限时训练B组、选择题曲线y=一Sjn-Z一 1在点M 0处的切线的斜率为Sin x+ cos X 241 1-2B.2.,2 .'2GF一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为1 3S= 3t t2+ 2t ,那么速度为零的时刻是A . 0秒C . 2秒末B. 1秒末D . 1秒末和2秒末3.已知函数f(x)= X2+ bx的图像在点 A

14、(1, f(1)处的切线I与直线3x y+ 2 = 0平行，若数1列Fn的前n项和为Sn,贝y S2 012的值为()B 2 011B.2 0122 012D.2 013A 2 009A.2 0102 010C 2 011二、填空题4.设函数f(x) = si33 + 3COSJX2 + tan ,其中 0, ,则导数f' (1)的取值范围是5. 已知函数y= f(x)及其导函数y= f' (x)的图像如图所示，则曲线y= f(x)在点P处的切线方程是 .6 .曲边梯形由曲线y = x2+ 1, y= 0, X= 1, X = 2所围成，过曲线y= x2+ 1, x 1,2上一

15、点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为 .三、解答题7 .设函数f(x)= ax 2曲线y= f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为7x 4y 12 = 0.X(1)求f(x)的解析式； 曲线f (x)上任一点处的切线与直线X= 0和直线y = X所围成的三角形面积为定值，并求此定值.答案yx要点梳理f X2 f X11.-X2 X12 (1) Iim00f o+ x f XOX.ylim0XlXmOf o+ x f XO(2)(X0, f(o)切线的斜率y yo= f' (xo)(x X0)3.liXmof x+ x f XxX* 1 Co

16、S XSin X axn aex1Xln a5. (1)f' (x) ±' (x)(2) f' (x)g(x) + f(x)g' (X)XgX f X gg 2基础自测1 . 32.2 3 2 4.(1,0)5.B题型分类深度剖析例 1 解 T y= ： Xo+ x 2+ 1 ,Xo+ 1 =xo+ x 2+ 1 X0 1寸 xo + x 2 + 1 + Xo+ 12o x+ x 2一：xo+ x 2 + 1+ .,xO+ 1,.Ay2xo + x11x212X12"X123变式训练X x5 sinx23 Sin X2 解(1) Vy=2=

17、X 2 + x3+,XX3y' = (X 2)' +(X3)' + (X-2sin X)'53_-=2 X 2 + 3x2- 2x 3sin x+ X 2cos X.X(3) I y=- Sin 2 y' 1 . y = sin X1 I(4) V y= K ., 2 , y =三cos 2x(2)y= (X2+ 3x + 2)(x+ 3) = X3 + 6x2+ 11x+ 6, y'= 3x2+ 12x+ 11.X 1cos 2 = sin x,1 , 1 =2(sin x) = cos x.1 = 21+ ,x 1-x,-2 1-X1 - X

18、2(5)y= CoS X Sin X,Sin x+ cos X y '=- Sin X- cos x.14例 3 解 V P(2,4)在曲线y = -X3+ 4上，且y' = x2, 在点P(2,4)处的切线的斜率为：f' (2) = 4.曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y 4 = 4(x 2),即4x y-4= 0.设曲线y= x3 + £与过点P(2,4)的切线相切于点 A xo, $0 + -,则切线的斜率为:f' (Xo)=X2.切线方程为 y 1×3+ 4 = x0(x- X0),即 y= x0 - x3+3.V点P(2,4)

19、在切线上， 4 = 2x0 -刼 + 4,即 X3 3x0+ 4 = 0, x0 + x0 4x2+ 4= 0, x2(x0 + 1) 4(x0 + 1)(x0 1) = 0,(X。+ 1)(X0 2)2= 0,解得 X0= 1 或 X0= 2,故所求的切线方程为4x y 4= 0 或 x y+ 2=0.(3) 设切点为(X0, y0),则切线的斜率为： x0= 1, X0= ±1.切点为(-1,1)或1, 5 ,切线方程为y 1 = x+ 1或y 3 = X- 1,3即 X- y+ 2= 0 或 3x- 3y+ 2 = 0.变式训练3 解 V y' = 2ax+ b,抛物线

20、在Q(2, - 1)处的切线斜率为k= f' (2) = 4a+ b. 4a+ b = 1.又:P(1,1)、Q(2, - 1)在抛物线上，° a + b + C= 1,4a+ 2b + c=- 1.a = 3,联立解方程组，得b = 11,C = 9.实数a、b、C的值分别为3、一 11、9.课时规范训练A组1 . C 2.B3.A4. -,25.5x- 16y+ 3= 06. 12x+ 3y + 8 = 07. 解(1)由 y = x3 + X- 2 ,得 y' = 3x2 + 1,由已知令3x2+ 1 = 4,解之得X= ±.当 X= 1 时，y= O

21、;当 x=- 1 时，y=- 4.又T点PO在第三象限，切点P0的坐标为(1 , 4).直线l1, 1的斜率为4,1直线l的斜率为一1.4过切点P0,点P0的坐标为(-1,- 4),1直线I的方程为y+ 4=- 4(x+ 1),即 x+ 4y+ 17= 0.&解(1)由条件知点A( - 1,2)为直线l1与抛物线C的切点,T y' = 4x, 直线l1的斜率k=- 4,所以直线l1的方程为y- 2=- 4(x+ 1),即 4x+ y+ 2= 0.点A的坐标为(一1,2),由条件可求得点 B的坐标为(a,2a2),点D的坐标为(a, 4a - 2), ABD的面积为S= 2 × |2a2- (-4a-2)| × |- 1-a|=|(a + 1)3=- (a+ 1)3.B 2. A 3.BX- y- 2= 04.