变化率与导数、导数的计算

1、高二数学迎期中专题复习变化率与导数、导数的计算1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率li li 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)li li .(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)·(xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)li 为f(x)的导函数2几种常见函数的导数原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn

2、(nQ)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)3导数的运算法则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1f(x)与f(x0)有何区别与联系？提示：f(x)是一个函数，f

3、(x0)是常数，f(x0)是函数f(x)在x0处的函数值2曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点，y0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(2)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条3过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数yf(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点1下列求导运算正确的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2

4、cos x)2sin x2若f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)()A4 B2 C2 D43曲线y2xx3在x1处的切线方程为()Axy20 Bxy20 Cxy20 Dxy204曲线yax2ax1(a0)在点(0,1)处的切线与直线2xy10垂直，则aA. B C. D5(教材习题改编)如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)_.考点一导数的计算 例1求下列函数的导数：(1)y(1)； (2)y；(3)ytan x； (4)y3xex2xe；(5)y.【互动探究】若将本例(3)中“tan x”改为“sin ”，应如何求解？ 【方法规律】导数的计算方法

5、(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导求下列函数的导数：(1)y；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)y；(4)y；(5)ye2x. 例2(1)已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)Ae B1 C1 De(2)等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)

6、83;(xa2)··(xa8)，则f(0)()A26 B29 C212 D215(3)(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.【方法规律】导数运算的两个技巧(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，预防犯运算错误1若函数f(x)cos x2xf，则f与f的大小关系是()AffBf>f Cf<f D不确定2已知f1(x)sinxcosx，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x

7、)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 014(x)等于()Asin xcos x Bsin xcos x Csin xcos x Dsin xcos x高频考点考点二 导数的几何意义1导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题2高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；(3)已知曲线求切线倾斜角的取值范围例3(1)(2012·新课标全国卷)曲线yx(3lnx1)在点(1,1)处的切线方程为_(2)(2013

8、·广东高考)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.(3)(2013·江西高考)若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.(4)(2014·南京模拟)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略(1)已知切点求切线方程解决此类问题的步骤为：求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为yy0f(x0)·(xx0)(2)已知斜率求切点已知斜率k，求切点(x1，f(x1)，即解方程f(x

9、1)k.(3)求切线倾斜角的取值范围先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决1已知直线ykxb与曲线yx3ax1相切于点(2,3)，则b的值为()A3 B9 C15 D72已知a为常数，若曲线yax23xln x存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.3若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为_课堂归纳通法领悟1个区别“过某点”与“在某点”的区别曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点4个注

10、意点导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆(2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线yx3在其过(0,0)点的切线y0的两侧. 易误警示(三)导数几何意义应用的易误点典例若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于A1或B

11、1或 C或 D或7 名师点评1.如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B.2解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；(3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提已知曲线f(x)2x33x，过点M(0,32)作曲线f(x)的切线，则切线的方程为_全盘巩固1函数yx2cos x在x1处的导数是()A0 B2cos 1sin 1 Ccos 1sin 1 D12已知t为实数，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，则

12、t等于()A0 B1 C. D23已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A1 B3 C4 D84若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b15直线yxb是曲线yln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A2 Bln 21 Cln 21 Dln 26(2014·抚州模拟)已知f(x)是函数f(x)的导函数，如果f(x)是二次函数，f(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线yf(x)上任意一点处的切线的倾斜

13、角的取值范围是()A. B. C. D.7已知函数f(x)1，g(x)aln x，若在x处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为_8已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_9(2014·延安模拟)若曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_10求下列函数的导数(1)y(2x23)(3x1)；(2)y(2)2；(3)yxsin cos ；(4)设f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f(x)xcos x.11已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线y

14、f(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程12设函数yx22x2的图象为C1，函数yx2axb的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值高频滚动1一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A B C D2给出下列命题：在区

15、间(0，)上，函数yx1，yx，y(x1)2，yx3中有3个是增函数；若logm3<logn3<0，则0<n<m<1；若函数f(x)是奇函数，则f(x1)的图象关于点A(1,0)对称；已知函数f(x)则方程f(x)有2个实数根，其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4变化率与导数、导数的计算答案1.解析：选Bx1；(3x)3xln 3；(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x.2.解析：选Bf(x)ax4bx2c，f(x)4ax32bx，又f(1)2，4a2b2，f(1)4a2b2.3.解析：选Af(x)2xx3，f

16、(x)23x2.f(1)231.又f(1)211，切线方程为y1(x1)，即xy20.4.解析：选Byax2ax1，y2axa，y|x0a.又曲线yax2ax1(a0)在点(0,1)处的切线与直线2xy10垂直，(a)·(2)1，即a.5.解析：由题意知f(5)1，f(5)583，f(5)f(5)312.答案：2例1 自主解答(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y.(3)y.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)·ex3xex2xln 2(ln 31)·(3e)x2xln 2.(5)y.解：ysin sin cos

17、 sin x，ycos x解：(1)yxx3，y(x)(x3)(x2sin x)x3x22x3sin xx2cos x.(2)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.(3)y，y.(4)ycos xsin x，ysin xcos x.(5)y(3x)(3x)e2x(2x)(3x)2e2x. 例2自主解答(1)f(x)2xf(1)ln x，f(x)(ln x)2f(1)，f(1)2f(1)1，即f(1)1.(2)因为f(x)x··x(xa1)(xa2)(xa8)·x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比

18、数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.(3)令tex，故xln t，所以f(t)ln tt，即f(x)ln xx，所以f(x)1，所以f(1)2.答案(1)B(2)C(3)2解析：选C依题意得f(x)sin x2f，fsin 2f，f.f(x)cos xx，即fcos ，fcos，f>f.解析：选Cf1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)(sin xcos x)cos xsin x，f3(x)f2(x)(cos xsin x)sin xcos x，f4(x)f3(x)sin xcos x，f5(x)f4(x)sin xcos x.故fn(x)是

19、以4为周期的周期函数，又2 014503×42，f2 014(x)f2(x)sin xcos x.自主解答(1)y3ln x1x·3ln x4，ky|x14，故切线方程为y14(x1)，即y4x3.(2)f(x)ax2ln x，则f(x)2ax，f(1)2a10，得a.(3)求导得yx1，切线的斜率k，由点斜式得切线方程为y2(x1)切线经过原点(0,0)，2×(1)，2.(4)y，y.ex>0，ex2，y1,0)，tan 1,0)又0，)，.答案(1)y4x3(2)(3)2(4)解析：选C将点(2,3)分别代入曲线yx3ax1和直线ykxb，得a3,2kb

20、3.又ky|x2(3x23)|x29，b32k31815.解析：选A由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y2ax31有正根，即2ax22x10有正根当a0时，显然满足题意；当a<0时，需满足0，解得a<0.综上，a.解析：设P(x0，y0)到直线yx2的距离最小，则y|xx02x01，得x01或x0(舍)P点坐标为(1,1)P到直线yx2的距离d.答案：解题指导由于点(1,0)不在曲线yx3上，故点(1,0)不是切点，因此应设直线与曲线yx3相切于点(x0，x)，通过直线与yx3相切求得切点坐标，然后再求a的值解析设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为y

21、x3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1，所以选A.答案A解析：设切点坐标为N(x0,2x3x0)，由导数的几何意义知切线的斜率k就是切点处的导数值，而f(x)6x23，则切线的斜率kf(x0)6x3，所以切线方程为y(6x3)x32.又点N在切线上，所以有2x3x0(6x3)x032，解得x02.故切线方程为y21x32.答案：y21x321解析：选By(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x，y|x12cos 1sin 1.2解析：

22、选Cf(x)3x22tx4，f(1)32t40，t.3解析：选C由题意得P(4,8)，Q(2,2)y，yx，在P处的切线方程：y84(x4)，即y4x8.在Q处的切线方程：y22(x2)，即y2x2.A(1，4)4.解析：选Ay2xa，因为切线xy10的斜率为1，所以2×0a1，即a1.又(0，b)在直线xy10上，因此0b10，即b1.5解析：选Cyln x的导数为y，解得x2，切点为(2，ln 2)将其代入直线yxb得bln 21.6.解析：选B由题意知f(x)a(x1)2(a>0)，所以f(x)a(x1)2 ，即tan ，所以.7.解析：由题意可知fx|xg，可得a，经检

23、验，a满足题意答案：8.解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.答案：xy209.解析：曲线f(x)ax5ln x存在垂直于y轴的切线，即f(x)0有正实数解又f(x)5ax4，方程5ax40有正实数解5ax51有正实数解a<0.故实数a的取值范围是(，0)答案：(，0)10.解：(1)y(2x23)(3x1)6x32x29x3，y(6x32x29x3)18x24x9.(2)y(2)2x44，yx(4)414×x12x.(3)yxsincos xsin x，yx1cos x.(4)由已知f(x)(axb) sin x(cxd)cos x(axb)sin x(cxd)cos x(axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x)asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x(acxd)sin x(axbc)cos x.f(x)xcos x，必须有即ad1，bc0.11解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.