第1章矢量分析与场论PPT课件VIP

1、第第1 1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论黄丘林黄丘林电子工程学院电子工程学院西安电子科技大学西安电子科技大学1 1本章提纲1 矢性函数2 矢性函数的导数与微分3 矢性函数的积分4 场的基本知识5 哈密尔顿算子6 正交曲线坐标系2 21 矢性函数矢性函数设t是一数性变量， 为变矢，如果对于某一区间内Ga，b 的每一个数值t，都以一个确定的矢量 与之对应，则称 为数性变量t的矢性函数。 记为： 。而G为其定义域。矢性函数 在直角坐标系中的三个分量（或投影）都是变量t的函数，分别为 ， ， 。则矢性函数也可用其分量表示为：其中 ， ， 为x，y，z轴正向的单位矢量。A)(tAA)(tAA)(tA

2、)(tAx)(tAy)(tAzztAytAxtAAzyx)()()(x y z 3 31 矢性函数矢端曲线认为所有的 的起点都在坐标原点，这样，当t变化时， 的终点M就描绘出一条曲线l，该曲线称为矢性函数 的矢端曲线或图形。 或 称为曲线l的矢量方程。)(tA)(tA)(tA)(tAAztAytAxtAAzyx)()()(4 41 矢性函数 的端点M是l上的一个动点，其三个坐标x，y，z随t的变化规律分别为： 这就是曲线 l 的参数方程。)(tA)(tAxx)(tAyy)(tAzz5 52 矢性函数的导数与微分矢性函数的导数设 是t的矢性函数，当数性变量t在其定义域内从t变到 时，对应的矢量从

3、 变化到 ，则称 为 对应于 的增量。 在 时的极限存在， 则称 在点t可导，并 称此极限为 在点t处 的导数。 )(tA)0(ttt)(tA)(ttA)()(tAttAA)(tAtttAttAtA)()(0t)(tA)(tA6 62 矢性函数的导数与微分设矢性函数 的三个分量 ， ， 在t处均可导，则有： 这样就把一个矢性函数导数的计算转化为三个标量函 数的导数的计算。)(tA)(tAx)(tAy)(tAzztAytAxtAtAdtAdztytxttlimlimlimlim0000zdtdAydtdAxdtdAzyx7 72 矢性函数的导数与微分例例 设二矢性函数 ，证明： , ,且证：证：

4、( )cossinexy1( )sincosexy 1( )( )ee1( )( )ee 1( )( )ee( )(cos )(sin )exyyxcossin1( )e1( )( sin )(cos )exy yxsincos( )e 1( )( )cos( sin )sincos0ee1( )( )ee8 82 矢性函数的导数与微分当 时， 指向与 一致，指向t值增大的一方；当 时，其指向与 相反，但因此时 指向t减小的一方，故它仍指向t增大的一方。0ttAA0tAA9 92 矢性函数的导数与微分当 时，由于割线MN绕点M转动，其极限位 置为M处（即t点）的切线，因为 在MN上，故 当 时

5、的极限位置也在M处的切线上，即 是点M处（即t处）的切线上指向t增大一方的矢量。即：导数是矢端曲线在t处的切向矢量，其指向对应t增大的一方。0ttA0ttAdtAdt0lim10102 矢性函数的导数与微分性质设 ， 和 可导，则有：1 （ 常矢量）23 （k 常数）4)(tAA)(tBB)(tuu 0cdtdcdtBddtAdBAdtd)(dtAdkAkdtd)(dtAduAdtduAudtd)(11112 矢性函数的导数与微分567 复合函数的导数 设 ， ，则：dtBdABdtAdBAdtd)(dtBdABdtAdBAdtd)()(uAA)(tuu dtduduAddtAd12122 矢

6、性函数的导数与微分13132 矢性函数的导数与微分例例 已知 与一非零常矢量 满足 ，又知 与 之间的夹角 为常数，试证明 )(tABtBtA)()(tAB)()(tAtA 14142 矢性函数的导数与微分矢性函数的微分 在t处的微分定义为：显然 是一个矢量，且也在 的矢端曲线l在t处的切线方向上，但不恒指向t增大的一方，当 时，与 方向一致（t增大一方）；而当 时，与 相反（t减小一方）。由微分的定义可以将其用各分量的微分表示出来：)(tAdttAAd)( Ad)(tA0t)(tA0t)(tAdtztAytAxtAdttAAdzyx )()()()(zdttAydttAxdttAzyx)()

7、()(zdAydAxdAzyx15153 矢性函数的积分不定积分若在t的某个区间a，b上， ，则称 为 在该区间上的一个原函数，而 的全体原函数称为 在此区间上的不定积分。记为：因为常矢量 的导数 ，故若 为 的一个原函数，则 的全体原函数为 ，其中 为任意常矢。所以：)()(tAtB)(tB)(tA)(tA)(tAdttA )(c0 c)(tB)(tA)(tActB)(cctBdttA)()(16163 矢性函数的积分性质1 （k 常数）23 （ 常矢量）45dttAkdttAk)()(dttBdttAdttBtA)()()()(dttuadtatu)()(dttAadttAa)()(dtt

8、AadttAa)()(a17173 矢性函数的积分6 换元积分法：设 具有原函数 ， 可导，则 为 的原函数，即：7 分部积分法：)(uA)(uB)(tu)(tB)()(tutuActBdtttA)()()(dttBtAtBtAdttBtA)()()()()()(18183 矢性函数的积分若 ，则根据2，3有 这样，求一个矢性函数的不定积分，就转化为求三个数性函数的不定积分。ztAytAxtAAzyx)()()(dttAzdttAydttAxdttAzyx)()()()(19193 矢性函数的积分20203 矢性函数的积分定积分定积分的计算类似于数性函数牛顿莱布尼兹公式的计算公式：若 是 在区

9、间 上的一个原函数，则：)(tB)(tA,21TT)()()(2112TTTBTBdttA21213 矢性函数的积分更一般的方法是象不定积分一样，把矢性函数的定积分转化为三个数性函数定积分的计算：22224 场的基本知识在许多科学问题中，常常需要研究某种物理量（如温度、密度、电位、力等等）在某一空间区域的分布和变化规律。为此，在数学上引入了场的概念。什么是场？物理量在空间的分布就构成场。如教室中每一点都对应一个确定的温度，教室中确立一个温度场。地球周围空间任一点对应一个重力加速度值，在此空间就存在一个重力场。23234 场的基本知识场的分类按照物理量的不同，可以分为数量场和矢量场。如果物理量是

10、数量，则称此场为数量场；如是矢量，则称此场为矢量场。例如：温度场、密度场等是数量场，力场、速度场等为矢量场。按场中物理量是否随时间变化，又可分为恒定场和时变场。数量场的等值面一般地，数量场中各点处的数量u是位置的函数，在直角坐标系中，是点的坐标x，y，z的函数，即：),(zyxuu 24244 场的基本知识一个数量场可以用一个数性函数来表示。场存在的空间即为其定义域。此后，我们总假定这个函数单值、连续且一阶可导。等值面在数量场中，使函数u取相同数值的所有点所组成的曲面称为该数量场的等值面。如温度 场的等温面，电场的等位面等。等值面方程为：给定不同的常数c，就得到不同的等值面。如图，c取遍所有可

11、能的值时，这族等值面就充满数量场所在的空间，而且这族等值面两两互不相交。czyxu),(25254 场的基本知识26264 场的基本知识数量场的等值线与三维数量场的等值面对应，在函数 所表示的平面数量场中，具有相同数值的所有点所连成的曲线称为此数量场的等值线。其方程为： 如地形图上的等高线等。数量场的等值面或等值线，可以帮助我们直观地了解场中物理量的分布状况和变化快慢。矢量场的矢量线矢量场中的场矢量 ，是场中点的位置的函数。在直角坐标系中，即为x，y，z的函数：),(yxucyxu),(A27274 场的基本知识 或 其中 以后一般都假定为单值、连续且一阶连续可导。为了直观地描述矢量场的分布情

12、况，引入矢量线的概念：在其上每一点处，它都与该点的场矢量 相切的曲线，称为该矢量场的矢量线。如静电场中的电力线，磁场中的磁力线等。矢量线方程),(zyxAAzzyxAyzyxAxzyxAAzyx),(),(),(zyxAAA,AzyxAdzAdyAdx28284 场的基本知识数量场的方向导数和梯度数量场的分布情况，可以借助于等值面或等值线来了解，但这只能大致地了解数量场中物理量u的整体分布情况。而要详细地研究数量场，还必须对它作局部性的了解，即要考察物理量u在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数的概念。方向导数29294 场的基本知识数量场的方向导数和梯度30304 场的

13、基本知识数量场的方向导数和梯度可见，方向导数 是函数 在点 处沿 l方向对距离的变化率。当 时，表示在 处u沿l方向是增加的，反之就是减小的。在直角坐标系中，方向导数有以下定理所述的计算公式：【定理】 若函数 在点 处可微， ， ， 为 方向的方向余弦。则u在 处沿 方向的方向导数必存在，且：0Mlu)(Mu0M0lu0M),(zyxuu ),(0000zyxMcoscoscosll0Mcoscoscoszuyuxulu31314 场的基本知识数量场的方向导数和梯度32324 场的基本知识数量场的方向导数和梯度33334 场的基本知识数量场的方向导数和梯度34344 场的基本知识数量场的方向导

14、数和梯度梯度方向导数为 在给定点处沿某方向变化率。但从场中一点出发无穷多方向，通常不必要更不可能研究所有方向的变化率。人们往往只关心沿何方向变化率最大，此变化率为多少？下面从方向导数的计算公式出发来讨论此问题。 ， ， 为 方向的方向余弦 方向的单位矢量可表示为：)(Mucoscoscoszuyuxulucoscoscosllzyxlcoscoscos35354 场的基本知识数量场的方向导数和梯度若把 ， ， 看成是某矢量 的三分量。即：则： 在给定点处为一常矢量。由上式， 在 方向上的投影恰等于函数u在该方向上的方向导数。xuyuzuGzzuyyuxxuG),cos(lGGlGluGGl36

15、364 场的基本知识数量场的方向导数和梯度显然，当 与 的方向一致时，即 时，方向导数取得最大值，或说沿 方向的方向导数最大，此最大值为：这样即找到了一个矢量 ，其方向为 变化率最大，且其模即为最大变化率，该矢量称函数 在给定点处的梯度，记为：梯度的定义与坐标系无关，它由数量场的分布所决定，在不同的坐标系中只是表达形式不同。Gl1),cos(lGGGlumaxG)(Mu)(MuGugrad37374 场的基本知识数量场的方向导数和梯度梯度在直角坐标系中的表达式：引入一个矢量微分算子哈密尔顿算子 则梯度可表示为zzuyyuxxuugradzzyyxxu38384 场的基本知识数量场的方向导数和梯

16、度梯度的性质1 梯度与方向导数的关系：在某点M处沿任一方向的方向导数等于该点处的梯度在此方向上的投影。 2 梯度与等值面的关系：场u(M)中每一点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向u(M)增大一方。lGlu39394 场的基本知识数量场的方向导数和梯度40404 场的基本知识数量场的方向导数和梯度41414 场的基本知识数量场的方向导数和梯度梯度的运算法则42424 场的基本知识数量场的方向导数和梯度例例 已知位于原点处的点电荷q在其周围空间任一点 处产生的电位为 （ ）， 且知电场强度 ，求 。),(zyxMrq4222zyxrrEE4343TO BE CONTINUED作业：p31:

17、1.21.5,1.8,1.11,1.1244444 场的基本知识矢量场的通量及散度通量有向曲面：取定了正侧的曲面，常规定其一侧为曲面的正侧，另一面为其负侧。对于封闭曲面，习惯上总是取其外侧为正侧。在研究实际问题时，常规定有向曲面的法向矢量 恒指向研究问题时所取的一侧。设 为一矢量场，沿其中有向曲面s正(负)侧的曲面积分： 称为矢量场 向s正（负）侧穿过曲面s的通量。n)(MAssnsdAdsA)(MA45454 场的基本知识矢量场的通量及散度 以流速场为例设s为流速场 中一有向曲面，考虑单位时间流体向正侧穿过s的流量Q。（ 指向s正侧） 在s上取ds， 。因ds甚小， 可认为 和 在ds上均不

18、变，分 别与M处 和 相同。流体穿过 ds的流量为：其中 为M处单位法向矢量。则单位时间内沿正向穿过s的总流量为：)(MvndsM nvnvsdvdsnvdsvdQn)(nssnssdvdsvdQQ46464 场的基本知识矢量场的通量及散度通量的叠加性若某一矢量场是由两个以上的矢量场迭加而成，则总场穿过某曲面的通量等于每个矢量场穿过该曲面的通量之和。 即若 ，则：直角坐标系中通量的表达式 若 可表示为： 其中 ， ， 是 的方向余弦 则miimAAAA11miimisissdAsdA11A( , , )( , , )( , , )AP x y z xQ x y z yR x y z zcosc

19、oscosdsn dsdsxdsydsz coscoscosndsdydz xdxdz ydxdy zssdxdyRdxdzQdydzPsdA47474 场的基本知识矢量场的通量及散度48484 场的基本知识矢量场的通量及散度49494 场的基本知识矢量场的通量及散度总流量 为单位时间内向上侧穿过s的正流量和负流量的代数和。当 Q0 时表示向正侧流量多于向负侧流量；当 Q1)个变量（常量作为特殊情况包含在内）的乘积时（包含数乘，点乘，叉乘以及复合乘积），结果可写成n项之和，每一项形式上与原式的差别在于 算子的微分性依次仅对一个变量起作用，而每一项中的 算子的矢量性则如同一般矢量起作用，最后应设

20、法把算子不起作用的变量提到 算子之前。79795 哈密尔顿算子还应注意： 算子对数性函数起作用，其结果一定为梯度即 ； 算子对某个变量起作用时，其它变量可看作常矢（常数）； 算子起作用的变量一定要紧跟在 算子后面。u80805 哈密尔顿算子例例 证明：验证：（以直角坐标系为例）uvuvvu()ccuvu vuv ccuvvu vuv u xyzuvxyzuvxuvyuvzuvxyz81815 哈密尔顿算子uvvu?uA ccuAuAu Accu AuA u AuA vvuvuvux uvy uz uvxxyyzzvvvuuuu xyzv xyzxyzxyz例例82825 哈密尔顿算子 例例 证

21、明：A BBAAB （）ccA BA BABabccabccABBA cccABB AABccA BBAAB()BAAB 8383证明：5 哈密尔顿算子证明：()ABBAA BB AAB ()abca c ba b c ()c a bb a c ccABABAB cccA BBAA BBAA B cccABB AABB AAB （）A BBAA BB AAB （）84845 哈密尔顿算子 例例 证明：ccA BA BAB ()b c aab ca b c cccA BBABA cccA BABAB A BBABAABAB （）85855 哈密尔顿算子rxryrrxyzzxyzyzrrrxrr3

22、xyzrxyz 0zyxzyxrxyzyzzxxy 例例 证明几个常用公式 其中 rrr 3r0rrxxy yzz222rrxyz86866 正交曲线坐标系曲线坐标 如果空间里的点，其位置不是用直角坐标系 来 表示，而是用另外三个有序数 来表示，即每三个有序数 就确定一个空间点；反之，空间里的每一个点都对应着三个这样的有序数，则 为空间点的曲线坐标。 由于空间点与坐标间存在一一对应关系，故 与 之间就构成了单值函数关系： , ,x y z1,2,3()q q q1,2,3()q q q1,2,3()q q q1,2,3()q q q, ,x y z11, , )(qq x y z22, , )

23、(qq x y z33, , )(qq x y z1,2,3)xx q q q（1,2,3)yy q q q（1,2,3)zz q q q（87876 正交曲线坐标系 坐标曲线与坐标曲面 表示函数 的等值面，随着 的不同取值 ，即构成 的一族等值的曲面，总共三族等值面，合称为坐标曲面，显然，在空间的各点上，每族曲面正好都只有一个曲面经过。 由不同族曲面两两相交而成的曲线，称为坐标曲线。 与 相交 坐标曲线q1或q1曲线 与 相交 坐标曲线 或 曲线 与 相交 坐标曲线 或 曲线 显然，在 曲线只有 变化。,(, )iiiqq x y zc(1,2,3)i,)(,iq x y zic,)(,iq

24、 x y z33, ,()q x y zc33, ,()q x y zc11, ,()q x y zc2q2q22, ,()q x y zc11, ,()q x y zc22, ,()q x y zc3q3qiqiq88886 正交曲线坐标系l正交曲线坐标系 过空间一点，显然恰有三条坐标曲线，都对空间任意点，三条坐标曲线均两两正交，则称这种坐标曲线为正交曲线坐标系。 以 , , 表示坐标曲线上的切向单位矢量，并分别指向增大的一方，一般取 , , 构成右手螺旋法则。 值得注意的是，与直角坐标系不同，在曲线坐标系中， , , 的方向一般随空间点位置的变化而变化的，而直角坐标 系中则为常矢，这是曲线

25、坐标系与直角 坐标系的根本区别。1e2e3e1e2e3e1e2e3e,xyz，89896 正交曲线坐标系 90906 正交曲线坐标系 在M点处的任一矢量均可表示为（分解）l坐标曲线的弧微分，拉梅系数 在直角坐标系中，弧微分 采用曲线坐标系表示 对于 曲线 即 同理有 1 12 23 3AAeA eAe222()()()dsdxdydz123123xxxdxdqdqdqqqq1q230dqdq11xdxdqq11ydydqq11zdzdqq91916 正交曲线坐标系 所以， 曲线上的弧微分为 曲线上的弧微分为 曲线上的弧微分为 定义拉梅系数： 则 22211111()()()xyzdsdqqqq

26、2q1q22222222()()()xyzdsdqqqq3q22233333()()()xyzdsdqqqq222()()()iiiixyzHqqq(1,2,3)i iiidsH dq(1, 2,3)i 92926 正交曲线坐标系对于正交曲线坐标系，过M点的微小体积 面元为：123123123dvds ds dsH H H dq dq dq12121212dsds dsH H dq dq13131313dsds dsH H dq dq23232323dsds dsH H dq dq93936 正交曲线坐标系l 一般曲线的弧微分 对一般曲线上的点，其矢径 为 的函数，对 曲线则 （矢性函数的导数

27、与矢端曲线相切） 同理 rxxyyzz1,2,3q q q123123rrrdrdqdqdqqqq1q230dqdq11 111rreH eqq222rH eq3 33rH eq94946 正交曲线坐标系故对正交曲线坐标一般曲线的弧微分为由此得到计算拉梅系数的又一种方法：20()()iijijrrHijqq22222()()()dsdxdydzdrdr dr222222112233()()()HdqHdqHdq222123()()()dsdsds222222222112233()()()()()()dxdydzHdqHdqHdq95956 正交曲线坐标系 例例 证明柱坐标系为正交曲线坐标系，并

28、求其拉梅系数。 证明：在柱坐标系中， 柱坐标系为正交曲线坐标系 求拉梅系数 cosxsinyzzcossinrxx yy zzxy zzcossinrxycosrsin xyrzz0rrz0rrz96960rr6 正交曲线坐标系 方法一22222cossin01xyzH2222222cossin0 xyzH2220011zxyzHzzzcossindxdd coscosdysinsin dd dzdz2222222()()()()()()dxdydzdddz1HH1zH方法二97976 正交曲线坐标系正交曲线坐标系中的Gauss公式及stokes公式l 高斯公式：设空间区域的边界曲线是光滑的，

29、若函数 , 或 , , 在 及S上具有一阶连续偏导数，S的方向为外法向，则直角形式：曲线形式：, , , ( , , )P x y z Qx y z( , , )R x y z12,3( ,)P q q q12, 3( ,)Q q q q12, 3( ,)R q q qSPQRpdydz QdzdxRdxdydxdydzxyz233112123123SPQRPdq dqQdqdqRdqdqdqdq dqqqq98986 正交曲线坐标系l斯托克斯公式：若光滑曲面S的边界为光滑曲线,函数 ， ， 或 , , 在曲面S及上有连续偏导数，则( , )R x y z, ,P x y z( , )Q x

30、y z1, 2, 3P q q q1, 2, 3Q q q q1,2,3R q q qlSRQPRQPPdx QdyRdzdydzdzdxdxdyyzzxxy123233112233112lSRQPRQPPdq QdqRdqdqdqdqdqdqdqqqqqqq99996 正交曲线坐标系梯度、散度、旋度及调和量在正交曲线坐标系中的表示 l 梯度数性函数沿坐标曲线切线方向的方向导数为同理，沿坐标曲线 和 的方向导数分别为 沿一般的曲线 ，设 在 , , 方向上的投影分别为1111limsuusHq 1111(),udusdsH dq2q3q221uHq331uHqll1e2e3ecoscoscos，及1001006 正交曲线坐