数理统计第一次试验报告

1、一.实验题目实验1:经验分布函数（1）取5及2=1, n=l00,产生n个服从N , 2分布的随机数作为取自正态总体N, 2的样本值Xi,L ,Xn,在同一坐标下画出它的经验分布函数，并与总体分布函数进行比较。（2）改变n,重做实验（1）,体会格列文科定理的内涵。实验2:直方图假定某班60个男生身高（单位：cm）,数据如下：166,169,181,173,165,169,170,163,175,164,171,162,156,159,173,168,1 67,165,172,170,180,177,161,170,164,163,172,167,157,165,168,174,165,16 8

2、,162,163,159,163,167,173,161,160,165,160,173,164,166,152,163,164,176 ,160,164,167,158,172,167,168,167,170现在希望通过这些数据来确定该班身高的分布。解：基本步骤：第一步：找出数据的最大值181,最小值152,极差R=181-152=29;第二步：分组定组距。分组没有通用原则，通常数据个数n 50时，分成10组以上，当n 50时，一般5组左右。分组数m确定后，可按E d 上来确m m 1 定组距do第三步：定分点，定区间：取起点a=151.5,终点181.5,从而作图区间为151.5,181.

3、5（取各组的边 界值比身高多一位小数，为的是使每个身高都落在一个组的内部）。第四步：列出样本值落入各组的频数和频率。第五步：做频率直方图。直方图是最常用的一种表现数据的方法，它通常把值域分成若干相等的区 问，于是数据就按区间分成若干组，每组做成一个矩形，其高和该组中数据的多 少成比例，其底为所属区间，这些矩形就是直方图，它给数据的分布一个直观的 形象。直方图以组距为底，以频率为高作矩形。可以想象，若得到的数据很多，这时，直方图的分组增多，组距变得很小，画出的直方图顶端阶梯形近似一条曲线，于是可以用这条曲线近似描述该组数据 的分布规律。（2）改变实验（1）中的组距，将得到的图形与（1）得到的图形

4、比较，你能得到什么结论?实验3:设样本Xi,L Xn取自总体U （a,b） ,a,b为未知参数，试求a, b的矩估计和极大似然估计。由计算可以得出a, b的矩估计量分别为:$1X3 n Xi2X , $1极大似然估计分别为:$2X1 , $2X卜面进行模拟:(1)取 a=0,b=1, N=50,产生N个服从U(a,b)分布的随机数当做样本，分别代入式中计算a, b的估计值,并与理论值 0,1比较;（2）将（1）重复10次，用10次估计值的平均值作为 a, b的估计，并与（1）的结果比较，体会其中包含的概率思想。实验4:设总体X服从正态分布 N ,1 ,取 0,从总体抽取10组容量为20的样本，

5、分别以X和X1作为总体均值的估计量，计算10组估计值并描在图上。（将点描在坐标轴上） 从中你可以得到什么结论?图1 ：以X作为估计量10.5. r . t-0.3-0.2-0.1-0.5-1图2:以Xi作为估计量i .0.5'-2-1.5-1-0.5-0.511.5-0.5:-1 实验5:已知X1,L ,Xn来自正态总体N , 2 ,其中 1,取 0.01,求置信度为0.99的置信区间。.分析与解答实验1:经验分布函数首先产生100个服从N(5,1)分布的随机数作为样本值X1,X2.X100.rnorm(100,mean=5,sd=1)114,83BS430工5.酶第"S.3

6、911T34.2«S4504.翦箝？。4.020857箱514.1MS234.41M44I.376C91UNJ45.7B3B9O5,1475503.27Q6Z5lB 1634173,日日464T5.9Q045146/717J10-4,5(61922144403016.2030923B3E7£094.441773.37£66B5,fil767a4,7(HtnS4/3314225.MH0B5.eeBl 3B134)5.152456M9Em曾父”5.345443«.&610414643083. JOD054 ,5255S.J231543 549502,

7、肥破”45 4.603230 4.72412S1*52719 «d<6C493 3.D12794 2322 营,.白3电号】5.70110 4.472104 3-505773：555C4H”札 5曲鸵.97111?£. 5223"4.5384094 gM髀5.250575.3W78IS；340S9«5*右”23P-59QIM67fi,577M64PQ'OB0636a1573D75,399156=.S0231ZS.L424L27 r 091104T7OB1S50260105.241655d,lB6C2D(7BJ1.5?2L96«.2

8、101734.0«LS633.27295«5.120409i5.&305304.062«6S5,316107石。口含0*35-Y4.051( 30iG9)4, l&SSei2u4«51Ci«1.9C200B5.4K253S.g4702Q3BM374ll5.AM7075.5822205.3324%4B«5l«0d100 4.533643根据产生的数据画出正态分布的经验分布函数：w<-(rnorm(100, mean = 5, sd = 1)curve(pnorm(X,mean(w),sd(w),Xlim=

9、c(0,20),col="blue",lwd=3)与总体正态分布函数进行比较：x <- seq(0,20,length.out=100)lines(x,pnorm(x,5,1),col="red")legend("bottomright",legend=paste("m=",c(5,5),"sd=",c(1,1),lwd=1,col=c("red","blue")m= 5 sd= 1m= 5 sd= 1101520当取n的值为200 ：w=(rnor

10、m(200, mean = 5, sd = 1)curve(pnorm(x,mean(w),sd(w),xlim=c(0,20),col="blue",lwd=3)x <- seq(0,20Jength.out=200)lines(x,pnorm(x,5,1),col="green")legend("bottomright",legend=paste("m=",c(5,5),"sd=",c(1,1),lwd=1,col=c("green","blue"

11、;)oa o<0OCMft om= 5 sd= 1m= 5 sd= 1101520当取n的值为300:w=(rnorm(300, mean = 5, sd = 1)curve(pnorm(x,mean(w),sd(w),xlim=c(0,20),col="blue",lwd=3)x <- seq(0,20Jength.out=300)lines(x,pnorm(x,5,1),col="orange")legend("bottomright",legend=paste("m=",c(5,5),"

12、sd=",c(1,1),lwd=1,col=c("blue","orange")设X1,X2，,Xn是取自总体X的随机样本，Fn(x)是总体X的经验分布函数，当 n8时由 格列汶科定理知：P(lim sup |Fn(x) F(x)| 0) 1n x L该定理当样本容量 n充分大时，经验分布函数Fn(x)可以作为总体分布函数 F(x)的一个良好的 近似。实验二：直方图基本步骤：第一步：找出数据的最大值181,最小值152,极差R=181-152=29;第二步：分组定组距。分组没有通用原则，通常数据个数n 50时，分成10组以上，当n 50时，一般

13、5组左右。分组数m确定后，可按旦d 上来确 m m 1定组距do第三步：定分点，定区间：取起点a=151.5,终点181.5,从而作图区间为151.5,181.5(取各组的边界值比身高多一位小数，为的是使每个身高都落在一个组的内部)第四步：列出样本值落入各组的频数和频率。第五步：做频率直方图。直方图是最常用的一种表现数据的方法，它通常把值域分成若干相等的区间， 于是数据就按区间分成若干组，每组做成一个矩形，其高和该组中数据的多少成比例，其底为所属区间, 这些矩形就是直方图，它给数据的分布一个直观的形象。直方图以组距为底，以频率为高作矩形。可以想象，若得到的数据很多，这时，直方图的分组增多，组距

14、变得很小，画出的直方图顶端阶梯形近似一条曲线，于是可以用这条曲线近似描述该组数据的分布规律。【实验步骤】? 第一步 自定义绘制频数直方图的函数HIST <- function(data,m)res <- 1:m; lable<- 1:m;A <- min(data)-1;B <- max(data)+1;dis <- (max(data)-min(data)%/%m + 1;for(j in 1:m)for(i in 1:length(data)if( datai>A+(j-1)*dis && datai <= B-(m-j)*d

15、is ) resj=resj+1;lablej=paste(as.character(A+(j-1)*dis),"",as.character(B-(m-j)*dis) ;barplot(res,width=1,names.arg=lable);变量data用于存放数据，变量 m表示分组数? 第二步 改变分组个数，多次试验m=5 的结果：IO151 -158 157- 164 163 T70 169-176 175 T82M=10的结果:oCMID151 - 155 157- 161 163- 167 169'173 175-179M=15的结果:151 - 154

16、 157 - 100 163 - 166 169 - 172 175- 178【实验结论】组距越小，分组越细，对数据分布的刻画就越精确，相反的，如果采用较大的组 距，更方便从整体上反应数据的大致分布情况。实验三：(1)首先产生50个服从U (0,1 )分布的随机数 runif(50,min=0,max=1)：1 0,023519307J 0.8966914613 0.7记46955 19 0,12731124 25 0.499777 311 0,46248172 37 0.4e540742 43 0*45964103 491 0.346016480.952132260.11568770.026

17、305675 499 航 1300.119239S0.23504411,右REER42口0.89813197口.990958240.0970161 0,99887672 O.C6990C64 0.458必 44 0.15322103 0.05211966 D,140913 0.45155079 0.02913507 0.25459420 0.64256306 0.26965629 0.73552727 0.88507155 0 P 7450955 0.9C500D15 0,00520253 0.84722507 0.532451 0.59571119 0-75585151 0.340宛专庆 ,

18、0173S MB0 0.10123293 0,05256054 0.239002y8 0.2107155 0.9S295603 0.2£93际0 0.43623904 口 , 4f9S77r9 0.45822gg6矩估计:根据公式$1 X I- n Xi X 2首先计算出均值和方差:x1<-mean(x)x2<-var(x)将计算的结果带入求取a的估计值：a1<-(x1-sqrt(3*x2)> runif (50f ir.in=O,max=l)> 父Iv-klu之ri (x)> print(kI)(1J> x2<-ver(«)

19、> print(x2)(11 0.07873117> al<-(xl-sqrt(3*x2)> print (al)1 -0.000300461同理根据公式$1X 3 Xi X 2可求出b的估计量：,；n i 1> bl<-(xl+sqrt(3*x2)> print(bl)LU 0.971t)31将运算重复10次，用10次估计值的平均值作为a, b的矩估计值a<-vector(mode="numeric",length=0)for(i in 1:10)ai<-ia2=0;for(i in 1:10)x<-runif(

20、50,min=0,max=1)x1<-mean(x)x2<-var(x)ai<-(x1-sqrt(3*x2)a2=a2+aia2/10> a2/：01 0,00393320同理将10次计算的结果求出平均值作为b的估计值a<-vector(mode="numeric",length=0)for(i in 1:10)ai<-ib2=0;for(i in 1:10)x<-runif(50,min=0,max=1)x1<-mean(x)x2<-var(x)ai<-(x1+sqrt(3*x2)b2=b2+aib2/10>

21、; b2/101J 1.004076极大似然估计：x<-runif(50,min=0,max=1)b1=min(x)b2=max(x)> b：1 G .01153014> DZ1 0,9S3S321将运算重复10次，用10次估计值的平均值作为a, b的极大似然估计值a<-vector(mode="numeric",length=0)for(i in 1:10)ai<-i bi<-ib1=0b2=0for(i in 1:10)x<-runif(50,min=0,max=1)ai=min(x)bi=max(x)b1=b1+aib2=b2

22、+bi> bl/LO1 0.007297444> b2/101 D . 97CJ7 62SI实验结论：矩估计法生成的结果是0.003933, 1.004076极大似然估计法生成的结果是0.007297, 0.9797615从而可得出，两种结果都还是比较接近理论值的，在此情况下，极大似然估计的估计效果比矩估计效果更理想实验4:【实验步骤】在R中输入以下代码：r<-matrix(rnorm(10*20),10,20)#抽取 10 组容量为 20 的样本MEAN<-1:10MIN<-1:10#计算每一组样本的均值和最小值plot(0,ylim=c(-5,2),col="white");for(i in 1:10)MEANi=mean(ri,);points(MEANi,pch=1,col="blue");MINi=min(ri,);points(MINi,pch=0,col="green");# 在同一坐标轴上画出图像，蓝色表小均值，绿色表小最小值【实验结论】o 河 _ OT -UO 0.60.81.01.21.4Index若取每次试验的样本容量为200,结论如下图:o0.6