信号与系统第二章连续系统的时域分析

1、信号与线性系统分析 第二章 连续系统的时域分析第第第 2 2 2页页页2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 二、关于二、关于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应 二、阶跃响应二、阶跃响应2.3 2.3 卷积积分卷积积分 一、信号时域分解与卷积一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解二、卷积的图解2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 一、卷积代数一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性

2、 三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性第第第 3 3 3页页页引言引言时域法：不通过任何变换，直接时域法：不通过任何变换，直接求解求解系统的系统的微分微分、积分、积分方程方程。系统的分析与计算全部在系统的分析与计算全部在时域时域内进行。内进行。时域分析法优点：直观，物理概念清楚，是学习各种变换域时域分析法优点：直观，物理概念清楚，是学习各种变换域 分析方法的基础。分析方法的基础。目前计算机技术的发展，各种算法软件的开发，使这一经典目前计算机技术的发展，各种算法软件的开发，使这一经典的方法的方法重新重新得到广泛的关注和应用。得到广泛的关注和应用。第第第

3、4 4 4页页页 LTILTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分建立并求解线性微分方程方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为，故称为时时域分析法域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。变换域分析法的基础。 2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) +

4、bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)第第第 5 5 5页页页微分方程的经典解：微分方程的经典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特解）齐次解齐次解是齐次微分方程是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。的解。yh(t)的函数形式的函数形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根确定。确定。例例 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）当）当f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=

5、2，y(0)= - -1时的全解；时的全解； （2）当）当f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。 特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。表的函数形式与激励函数的形式有关。表2-1、2-2齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的的函数形式无关，称为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应；特解特解的函数形式由激励确定，称为的函数形式由激励确定，称为强迫响应强迫响应。第第第 6 6 6页页页解解: (1) 特征方程为特征方程为2 + 5+ 6 = 0 其特征根其

6、特征根1= 2，2= 3。齐。齐次解为次解为 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t由表由表2-2可知，当可知，当f(t) = 2e t时，其特解可设为时，其特解可设为 yp(t) = Pe t将其代入微分方程得将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 P=1于是特解为于是特解为 yp(t) = e t全解为：全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中待定常数其中待定常数C1,C2由初始条件确定。由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3

7、C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 第第第 7 7 7页页页（2）齐次解同上。当激励）齐次解同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为由表知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以所以 P1= 1 但但P0不能求得。全解为不能求得。全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2

8、t将初始条件代入，得将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一项的系数上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分，不能区分C1和和P0，因而也不能区，因而也不能区分自由响应和强迫响应。分自由响应和强迫响应。 第第第 8 8 8页页页二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值 若输入若输入f(t)是在是在t=0时接入系统，则确定待定系数时接入系统，则确定待定系数Ci时用时用t

9、= 0+时刻的时刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1),简称简称0+ 值。值。 而而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。信息。 在在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了反映了系统系统的历史情况的历史情况而与激励无关。称这些值为而与激励无关。称这些值为初始状态，简称初始状态，简称0-值。值。 通常，对于具体的系统，初始状态通常，对于具体的系统，初始状态0-值一般容易求得。如值一般容易求得。如果激励包含冲激函数及其导数，则果激励包含冲激函数及其导数，

10、则t=0时激励接入系统，响应时激励接入系统，响应及其导数及其导数y(j)(0-)到到y(j)(0+)可能发生跃变。这样为求解微分方程，可能发生跃变。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得设法求得y(j)(0+)。第第第 9 9 9页页页在系统分析中，定义在系统分析中，定义：响应区间响应区间：确定激励信号：确定激励信号e(t)加入后系统的状态变化区间。加入后系统的状态变化区间。一般激励一般激励e(t)都是从都是从t=0时刻加入，此时系统的响应区间定为：时刻加入，此时系统的响应区间定为：0t 一、响应区间一、响应区间第第第 101010页页页系统在

11、激励信号加入前瞬间的一组状态：系统在激励信号加入前瞬间的一组状态：称为系统的称为系统的起始状态起始状态，简称，简称0-状态状态.11(0 ), (0 ), (0 ), (0 ),(0 )nndyyyyydt起始状态包含了计算未来响应的全部起始状态包含了计算未来响应的全部“过去过去”信息。信息。由于受激励的影响，这组状态从由于受激励的影响，这组状态从t= 0-到到t=0+时刻可能发生变化。时刻可能发生变化。系统系统0-状态：就是系统中储能元件的储能情况。状态：就是系统中储能元件的储能情况。二、起始状态二、起始状态第第第 111111页页页确定系统完全响应：确定系统完全响应：11(0 ),(0 )

12、,(0 ),(0 ),(0 )nndyyyyydt通常为了确定系统的待定系数，须根据系统的通常为了确定系统的待定系数，须根据系统的0-状态和激励状态和激励信号情况求出信号情况求出0+的状态。的状态。初始条件初始条件：（导出的起始状态）：由响应区间：（导出的起始状态）：由响应区间t=0+时刻组时刻组成的一组状态：成的一组状态：1( )( )( )( )inthpipiy ty tytCeyt式中式中为待定系数，是由响应区间内为待定系数，是由响应区间内t=0+时刻的一组状态确定的。时刻的一组状态确定的。iA三、初始条件三、初始条件第第第 121212页页页0,C(0 )(,00 )(0 )(0 )

13、(0 )(0 )cLccLLuiuiiLu 定定：储能元件的储能情况或状态当无冲激电流或阶跃电压强迫作用于 时或当无冲激电压或阶跃电流强迫作用实际电路的初始条件于 时或状态00t 决定一般系统：微分方程右端自由项函数式中有无状态的初始条（）及状态件其导数有无跳变四、初始条件的求取四、初始条件的求取 第第第 131313页页页冲激函数匹配法原理：根据冲激函数匹配法原理：根据t=0时刻微分方程左右两端时刻微分方程左右两端的的 (t)及其各阶导数应该平衡相等。及其各阶导数应该平衡相等。系统的系统的0-状态到状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含自由项

14、是否包含 (t) 及其各阶导数及其各阶导数。如果包含有如果包含有 (t)及其各阶导数，说明相应的及其各阶导数，说明相应的0-到到0+状态状态发生了跳变，即发生了跳变，即等等或)0( )0( )0()0(rrrr五、冲激函数匹配法五、冲激函数匹配法 第第第 141414页页页例例：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：将输入：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) +

15、2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）利用利用冲激函数匹配法冲激函数匹配法分析：分析： 由于等号右端为由于等号右端为2(t)，故，故y”(t)应包含冲激函数，从而应包含冲激函数，从而y(t)在在t= 0处将发生跃变，即处将发生跃变，即y(0+)y(0-)。 但但y(t)不含冲激函数，否则不含冲激函数，否则y”(t)将含有将含有(t)项。由于项。由于y(t)中不含中不含(t)，故，故y(t)在在t=0处是连续的。处是连续的。故故 y(0+) = y(0-) = 2 第第第 151515页页页对式对式(1)两端积分有两端积分有 0000000000)(6)(2)(2)( 3)( dttdt

16、tdttydttydtty由于积分在无穷小区间由于积分在无穷小区间0-，0+进行的，且进行的，且y(t)在在t=0连续，故连续，故 00000)(, 0)(dttdtty于是由上式得于是由上式得 y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2考虑考虑 y(0+) = y(0-)=2 ，所以，所以 y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2由上可见，由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应数）时，响应y(t)y(t)及其各阶导数中，有些在及其各阶导数中，有些在t=0t=0处将发生跃变。处

17、将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变但如果右端不含时，则不会跃变。 第第第 161616页页页例例：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 2y(t) + y(t) = f(t) + 2f(t)已知已知y(0-)=1，y(0-)= -1，f(t)= (t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：将输入：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 2y(t) + y(t) = (t) + 2 (t) （1）利用利用冲激函数匹配法冲激函数匹配法分析：分析： 由于等号右端为由于等号右端为(t) ，故，故y”(t)必包含必包含(t)，否则等号

18、两端，否则等号两端关于关于 (t)及其导数的系数不可能平衡，可令：及其导数的系数不可能平衡，可令： y”(t) = a(t)+b (t)+c (t)+r0(t) （2）其中其中a,b,c为待定常数，函数为待定常数，函数r0(t)不含不含冲激函数及其任何导数。冲激函数及其任何导数。对（对（2）式两端积分，得，）式两端积分，得，110( )( )( )( ),( )( )( )ty tatbtr tr tctr x dx其中第第第 171717页页页对上式再次积分得到：对上式再次积分得到：可见可见r2(t) 也不含也不含 (t)及其导数，将上述各式代入微分方程，稍及其导数，将上述各式代入微分方程，

19、稍加整理：加整理： a(t)+(2a+b) (t)+(a+2b+c) (t)+r0(t)+2r1(t) +r2(t) = (t)+2(t)上式两端上式两端(t)及其各阶导数系数相等，故有及其各阶导数系数相等，故有 a=1 2a+b=0 a+2b+c=2可得可得a=1,b=-2,c=5。221( )( )( ),( )( )( )ty tatr tr tbtr x dx其中第第第 181818页页页回带入回带入2式并从式并从0-到到0+区间积分可得：区间积分可得：由于由于r1(t) 不含不含 (t)及其导数，最终可得：及其导数，最终可得：已知已知得：得：同样地，将同样地，将a,b,c的值回代到以

20、上各方程，可得的值回代到以上各方程，可得 0001000(0 )(0 )( )2 ( )( )yyt dtt dtr t dt(0 )(0 )2yy (0 )1y(0 )(0 )21yy (0 )(0 )5,(0 )1,(0 )(0 )54yycyyy 所以第第第 191919页页页三、零输入响应和零状态响应 y(t) = yx(t) + yf(t) ,也可以分别用经典法求解。也可以分别用经典法求解。 注意注意：对：对t=0时接入激励时接入激励f(t)的系统，初始值的系统，初始值 yx(j)(0+), yf(j)(0+) (j = 0，1，2，n-1)的计算。的计算。 y(j)(0-)= yx

21、(j)(0-)+ yf(j)(0-) y(j)(0+)= yx(j)(0+)+ yf(j)(0+)对于对于零输入响应零输入响应，由于激励为零，故有，由于激励为零，故有 yx(j)(0+)= yx(j)(0-) = y (j)(0-)对于对于零状态响应零状态响应，在，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有时刻激励尚未接入，故应有 yf(j)(0-)=0下面举例说明下面举例说明。第第第 202020页页页例例：描述某系统的微分方程为：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输

22、入响应和。求该系统的零输入响应和零状态响应。零状态响应。 解解：（：（1）零输入响应零输入响应yx(t) 激励为激励为0 ，故，故yx(t)满足满足 yx”(t) + 3yx(t) + 2yx(t) = 0 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=0该齐次方程的该齐次方程的特征根特征根为为1， 2，故，故 yx(t) = Cx1e t + Cx2e 2t 代入初始值并解得系数为代入初始值并解得系数为Cx1=4 ,Cx2= 2 ，代入得，代入得 yx(t) = 4e t 2e 2t ,t 0 第第第 212121页页页（2）零状态响应零状态响应

23、yf(t) 满足满足 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yf(0-) = yf(0-) = 0由于上式等号右端含有由于上式等号右端含有(t)，故，故yf”(t)含有含有(t)，从而，从而yf(t)跃变，跃变，即即yf(0+)yf(0-)，而，而yf(t)在在t = 0连续，即连续，即yf(0+) = yf(0-) = 0，积，积分得分得 yf(0+)- yf(0-)+ 3yf(0+)- yf(0-)+2 0000d)(62d)(ttttyf因此，因此，yf(0+)= 2 + yf(0-)=2 对对t0时，有时，有 yf”(t) + 3yf(

24、t) + 2yf(t) = 6不难求得其齐次解为不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数，其特解为常数3，于是有于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 yf(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 第第第 222222页页页2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应 由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位冲激响单位冲激响应应，简称冲激响应，记为，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t) 例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统

25、的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其求其冲激响应冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 第第第 232323页页页因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。，故利用系数平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0连续，即连续，即h(0+)=h(0-)。积分得。积分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 100)( dtth考虑

26、考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1对对t0时，有时，有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为一齐次解。故系统的冲激响应为一齐次解。 微分方程的特征根为微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 第第第 242424页页页 例例2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+

27、5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t)故令故令 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 为不含为不含(t) 的某函数的某函数 h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t)代入式代入式(1)，有，

28、有第第第 252525页页页a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系数匹配，得系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) +

29、12(t)+ p3(t) （4）对式对式(3)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-) = 3对式对式(4)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+) =12第第第 262626页页页微分方程的特征根为微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始条件代入初始条件h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0结合式结合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e

30、3t)(t) 还可以利用线性系统的性质来求，见教材还可以利用线性系统的性质来求，见教材54页页二、阶跃响应二、阶跃响应g(t)= T (t) ，0d ( )( )( )d , ( )dtg tg thh tt由于由于(t) 与与(t) 为微积分关系，故为微积分关系，故第第第 272727页页页图图 2-3-1 将信号分解为脉冲之和将信号分解为脉冲之和 f (t)f (t)f (0)f (kt)误差fk(t)tkt (k1) t2tt当 t0时, 误差0。02.3 卷积积分卷积积分第第第 282828页页页如图如图2-3-1所示，所示，f(t)可以分解为冲激信号之和，这种分解思可以分解为冲激信号

31、之和，这种分解思路是先把信号路是先把信号f(t)分解成宽度为分解成宽度为t的矩形窄脉冲之和，任意的矩形窄脉冲之和，任意时刻时刻kt的矩形脉冲幅度为的矩形脉冲幅度为f(kt)。001( )( )( )()( )()()(2).( )()()(1)kf tf ttttf tfttttf tf k ttktkt 第第第 292929页页页01200( )( )( )( )( )() ()(1)1() ()(1)knknkf tf tf tf tf tf k ttk ttktf k ttk ttkttt 信号信号f(t)可近似表示为可近似表示为令窄脉冲宽度令窄脉冲宽度t0， 并对其取极限，并对其取极限

32、， 得到得到 0001( )lim() ()(1)() ()ntknkf tf k ttk ttktttf k ttk tt ()(1)()tk ttkttk tt ）第第第 303030页页页-00-000,() ( -)( )( ) ()() ( -)( )( ) ()limlimntkntkttdt k tf k tt k ttf tftdtLTIf k t h t k ttf tfh tdt 在的情况下，将写成写为 ，可以得到在以上一系列冲激函数作用下，系统的零状态响应：第第第 313131页页页卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函

33、数f1(t)和和f2(t)，则定义，则定义积分积分 dtfftf)()()(21为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参为参变量。结果仍为变量。结果仍为t 的函数。的函数。 )(*)(d)()()(thtfthftyf第第第 323232页页页例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求，求yf(t)。解：解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt

34、当当t t时，时，(t -) = 0ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232第第第 333333页页页卷积积分图解法：可以把卷积运算中一些抽象的关系形象化，卷积积分图解法：可以把卷积运算中一些抽象的关系形象化，便于理解卷积的概念及方便运算。便于理解卷积的概念及方便运算。卷积积分图解法五个步骤：卷积积分图解法五个步骤：、反褶、平移、相、反褶、平移、相乘、相加乘、相加 具体地：具体地：()改换图形中的横坐标，由改换图形中的横坐标，由t改为改为 ， 变成函数的自变量；变成函数的自变量；()把其中一个信号反折（反褶）。把其

35、中一个信号反折（反褶）。()把反折后的信号做位移，移位量是把反折后的信号做位移，移位量是t，这样，这样t是一个参变量。是一个参变量。在在 坐标系中，坐标系中，t0图形右移；图形右移；t0图形左移。图形左移。()两信号重叠部分相乘两信号重叠部分相乘e( )h(t- );()完成相乘后图形的积分。完成相乘后图形的积分。卷积积分图解法卷积积分图解法第第第 343434页页页)()(ete或01211或t)()(hth或021或t（）改换图形中的横坐标，由（）改换图形中的横坐标，由t改为改为 ， 变成函数的自变量；变成函数的自变量；v 例例2.8.1，用图解法求下列两个函数的卷积，用图解法求下列两个函

36、数的卷积)(h021（）先反褶，然后平移（先左移到与另一信号没有重合后，再开始右移。这么（）先反褶，然后平移（先左移到与另一信号没有重合后，再开始右移。这么做是为了确定积分区间）做是为了确定积分区间）)(th0t1第第第 353535页页页)(e0t1)(th21121)(ta1( ),2( ) ()ate t h t 两个函数没有重合，因此为零，积分也就为零0)(*)(thte121)(tb)(e0t1)(th211121)(tb16144)(211)(*)(221tdtthtet（3）图形中的重叠部分相乘，再积分）图形中的重叠部分相乘，再积分第第第 363636页页页231)(tc1634

37、3)(211)(*)(121tdtthte)(e0t1)(th211231)(tc323)(td)(e0t1)(th211323)(td4324)(211)(*)(212ttdtthtet第第第 373737页页页)(e0t1te3)()(th211 te3)(0)(*)(thte（4 4）相加：以上各图中的相加：以上各图中的阴影面积阴影面积，即为即为相乘积分的结果相乘积分的结果。最后，若以。最后，若以t t为为横坐标，将与横坐标，将与t t对应积分值描成曲线，对应积分值描成曲线，就是卷积积分就是卷积积分e(t)e(t)* *h(t)h(t)函数图像。函数图像。)(*)(thte023169t

38、)(th211161523卷积积分结果第第第 383838页页页( )( )( )( )u tv tu tv t（1）互换律：卷积性质可以使卷积运算简化。卷积性质可以使卷积运算简化。作为一种数学运算，卷积运算具有某些特殊性质，这些性作为一种数学运算，卷积运算具有某些特殊性质，这些性质在信号分析中有重要作用。质在信号分析中有重要作用。卷积性质卷积性质( )( )( ) (),( ) ()( ) ()( )( )u tv tuv tdxtddxv x u tx dxv x u tx dxv tu t ，令则第第第 393939页页页( )( )( )( )( )( )( )u tv tw tu t

39、v tu tw t（2）分配律：113( ) ( )( )( ) ()()( ) ()( ) ()( )( )( )( )u tv tw tuv tw tduv tduw tdu tv tu tw t12( )( )( )( )r te th tht实际的意义：并联系统第第第 404040页页页( )( )( ) (),t( )( )( )( )( ) (),( )( )( )( )() ()v tw tvw tdu tv tw tuvw td dxxddxu tv tw tuv xw tx dd 记住是 的函数；因此令代入上式，得到交换卷积次序，并依据卷积定义得v 3. 结合律结合律 u(t

40、)*v(t)*w(t)=u(t)*v(t)*w(t) 证明：证明：第第第 414141页页页( )( )( )( )() ()( ) () () ( )( ) ()( )( )( )u tv tw tuv xw tx dx duv xdw tx dxu xv x w tx dxu tv tw t第第第 424242页页页 ( )( ) ( )( )( ) ( )dddu tv tu tv tu tv tdtdtdt卷积的微分、卷积的微分、 积分性质积分性质与信号的运算相似，卷积也有微分、积分性质，但与信号与信号的运算相似，卷积也有微分、积分性质，但与信号的微分、积分运算有所区别。的微分、积分运

41、算有所区别。(1) 微分微分第第第 434343页页页( ) ()( )()( )( )duv tddtduv tddtdu tv tdt由卷积的互换律性质，由卷积的互换律性质， 同理可证同理可证 ( )( )( )( )ddu tv tu tv tdtdt证明证明：第第第 444444页页页 ( )( )( )( )( )( )tttu xv x dxu tv x dxv tu x dx积分：积分：1( )( )( ) ()( )()( )( )ttttu xv x dxuv xddxuv xddu tv x dx根据卷积的定义证明：根据卷积的定义证明：根据卷积的互换律同样可以证明后式。根据

42、卷积的互换律同样可以证明后式。第第第 454545页页页( )( )( )( )( )( )( )ttdu tdv ty tu tv tvduddtdt微、积分性微、积分性: 若y(t)=u(t)*v(t) 则y(i)(t)=u(j) (t)*v(i-j)(t) 其中其中, i、 j取正整数时为导数的阶次；取正整数时为导数的阶次； i、 j取负整数时为积取负整数时为积分的阶次。分的阶次。 特别地特别地, 第第第 464646页页页( )( )( )()( )()( ) ()( )( )tttdu tdvduvddtdtduvddtuv tu tv tv证明：证明：第第第 474747页页页函数延时后的卷积函数延时后的卷积121122121122112211122121212( )( )( )()()()()()()()()()( )()()f tftf tf ttfttf tttf ttfttftfttdtxf ttfttf xftttx df ttt证明：令则 两个函数经延时后的卷积，等于两函数卷积后延时，其两个函数经延时后的卷积，等于两函数卷积后延时，其延时量为两函数分别延时量的和。延时量为两函数分别延时量的和。第第第 484848页页页00( )(