直线方程的概念与直线的斜率教学设计

1、直线方程的概念与直线的斜率【教学目标】知识与技能目标（1） 了解直线的方程和方程的直线的概念.（2）理解掌握直线的倾斜角、斜率的概念和过两点直线的斜率公式.（3）掌握直线的倾斜角和斜率的相互关系.过程与方法目标（1）引导学生进行数学阅读，激发学生阅读的动机和兴趣，指导学生掌握数学阅读的方法，循序渐进， 使学生从愿读转变到会读,最后上升为乐读.培养学生独立获取知识的自学能力.（2）初步培养学生数形结合的思想，提高学生联系、转化、归纳、概括的思维能力，进一步培养学生的 创新意识和分析问题、解决问题的能力.情感、态度与价值观目标通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知

2、欲，培养探索精神.【教学重点和难点】重点：理解立线的斜率概念，探索如何通过两点求立线的斜率公式.难点：斜率的几何意义，即直线的斜率和倾斜角的相互关系【教法与学法】教法上本着“教是为了不教”的教学思想，主要采用阅读探窕式教学方法。通过鼓励学生阅读课本， 引导学生捕捉数学问题并解决问题，让学生自主探索与合作交流相结合，使学生从懂到会到悟，提高解决 问题的能力.同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率.【教学程序】教学教学过程师生设计意图环节互动新展示数学教育家波利亚的名言：教师多通过声情并茂的激课学习任何东西，最好的途径是自己去探究发现.媒体展励语，鼓励学生认导示名人真阅读，自主探索

3、，入语录大胆尝试！学生尝充分发挥学生学习概自学生阅读课本第74页试自读的主动性，改变以学自主探窕直线方程的概念自悟，教往被动单纯的听讲阅师调控的学习方法，让学读阅读时生在自己阅读实践念间中进行自悟.教师引导学生探讨以下问题：学生分在学生读书思考的概问题1：本部分内容阐述了哪些概念?你是析讨论，基础上，通过教师探如何理解这些概念的？师生共的指点，围绕重点念一.强调直线方程的概念：1.直线上点的坐同总结。展开讨论和交流，标都是方程的解，2.以方程的解为坐标的点鼓励学生发表独立形都在直线上，两者缺一不可.见解。层层深入，完一学生可能会发现：有的力程不一定是函与学生共同体会概成数，引导学生举例说明如x

4、= 2 ,教师指出，念的严谨，感受学用函数表示直线不全面，用方程更全面习的乐趣。(一)概思考：如图，(1)直线1的J方程是丫 = 1吗？为什J学生思考讨论，加深对直线方程的概念的理解，使学念深化X*,么？/ (2)直线1的方程是x(x-y) = O吗?为什么？学生讨论得出：(1)Z = 1不满足直线上所有点的坐标是方 X程的解(2) x(x-y) = O不满足以方程的解为坐标的点都在直线上，所以均不是该直线的方程生生互 动，师互 动，教师 多媒体 展示结 果生明确，概念的两 部分缺一不可.教学环节教学内容师生互动设计意图概念探究自学阅读如何通过方程研窕直线的问题,我们需要哪些工具？请学生带着问

5、题阅读课本第75页内容学生边 读边思 考，教师 合理安 排阅读 时间，控 制阅读 进程.根据不同的阅读任 务和性质，向学生 提出阅读要求，让 学生带着问题边阅 读边思考，使阅读 更有效.本部分内容主要涉及哪些概念？(斜率和倾 斜角).问题2：能谈谈你对斜率的认识吗？学生可能会回答直线斜率的定义，以及己知 直线上两点火升，力),892，丫2),% #七, 如何求斜率的公式.在学生 读书思 考的基 础上，通 过教师 的指点，以问题研讨的形式 替代教师的讲解， 分化知识点、解决 重点，给学生“数 学创造”的体验， 有利与学生对知识概教师进一步引导：两点间斜率公式有什么注意事项吗？围绕重点展开的掌握，

6、并强化对斜率的理解,学生（二）引导学生讨论，学生代表发言：（一）垂直讨论和在讨论、合作中解念于X轴的直线无斜率（二）斜率公式与直交流，鼓决问题，充分体会线上点的位置无关,学生一般会想到用相似励学生成功的愉悦.形三角形的相似比来证明该问眶，此处渗透了发表独数形结合的思想（三）斜率的几何意义立见解。成关于对思考：关于斜率，你还有其它认识吗？斜率公这是一个发散性问题，学生一般会联系物理式的注思考题是发散性问学中S = vt,速度就是斜率，意事项，题，鼓励学生注意教师引导学生发现斜率与函数单调性的关其他学学科间以及所学知系生补充，识前后的联系.教师完问题3:反映直线倾斜程度的量，除了代数善总结.角度的

7、斜率，还有别的量吗？请一名同学谈引导他谈对倾斜角的认识.们在交流中主学生回答得出倾斜角的定义和范围动获取知识，形成能力.教学教学内容师生设计意图环节互动概念探究(三)问题4:斜率与倾斜角分别从代数和几何的角度反 映了直线的倾斜程度,两者之间有什么关系？学生思考，小组讨论，可能发现以下思路思路一：特值验证：己知 AQ,0)B(3Q C (2JL) , D QJ)E (1,0) , F (-2 J)求直线 AB, AC, AD, AE, AF 的斜率， 并判断这些直线的倾斜角是锐角，直角还是钝角。 并观察出倾斜角随斜率变化的情况.思路二：以斜率为正值的两条不平行的立线为例，分别取两 点使得/x相同

8、，比较Zly的大小关系，进而判断 斜率大小，再观察倾斜角的大小，进而得出结论.教师提供思路三：教师演示几何画板作出的动画.思考：斜率与倾斜角之间还有别的关系吗？ 学生结合初中所学直角三角形知识回答：在倾斜角 为锐角情况卜.，斜率等于倾斜角的正切值.教师补充：钝角情况同样适用，但目前超出了我们 的知识范围,关于斜率和倾斜角的关系，我们将在必 修4中再次讨论.以学生 为主体， 进行交 流、讨 论，相互 学习，相 互补充。 教师给 予适当 的指导， 可请小 组代表 到讲台 讲解，教 师及时 点、评补 充,最后 教师可 借助动 画展示， 让学生 为更直 观深刻 的印象这是本节课的难 点.学生在自主探

9、索，自由想象和相 互交流的过程中， 充分感受到成功和 失败的情感体验， 深刻地领会到数形 结合思想在解决问 题中所起的作用.第一种特值验证方 法学生容易想到， 第二种方法体现了 斜率公式的应用， 第三种动画演示可 以使学生有更直观 深刻的印象 通过讨论交流演 示，层层深入，突破 本节课难点.教学环节教学内容师生互动设计意图知识应用L求下列直线的斜率(1) V = -X-1 3(2) 3x+5y-2 = 0(3)已知直线上两点A(a,c),B(b,c)a wb2 .求斜率为-上且过点(2,-)的直线方程，并 23画出图象3 .判断正误：(1)任一条直线都有倾斜角，也都有斜率(2)直线的倾斜角越大

10、，斜率也越大(3)平行于x轴的直线的帧斜角是0°或18(T4 .如图所示，直线的斜率分别为匕*2*3, RIJ：()< k3/，XV学生回 答.教师 对学生 的回答 进行评 价。在整 个练习 过程中. 教师做 好课堂 巡视，加 强对学 生个别 指导.巩固所学知识，有 助于保持学生自主 学习的热情和信 心。，第一题总结求 直线斜率的方法， 第二题总结已知斜 率和一点可以确定 一条直线，为卜.节 研究直线的点斜式 方程做好准备.第 三即是概念辨析， 第四题体现本节课 难点，考察直线斜 率与倾斜角的关、A、a2/C.k3 < & < k,1Dlq < k3

11、< k3X系.问题由学生解决，解题后的反思总结 由学生自主完成， 教师作出补充和总 结。培养学生自主 获取知识的能力.课堂小结知识上：1 .直线方程的概念2 .倾斜角与斜率的概念，过两点的直线的斜率公式3 .倾斜角与斜率的关系方法上：数形结合的思想自主学习的重要方法：阅读探究一名学 生小结 其他补 充，师生 共同总 结完善.让学生大胆发言， 归纳总结本节课的 收获，教师及时点 评。充分肯定学生 的学习成果，鼓励 学生阅读思考，进 一步提高自主学习 的能力作业必做题；课本p76练习A , B选做题：.研究魔术师的地陵问题分层次布置作业布置作业避免一刀 切，使学有余力的 同学的创造力得到 进

12、一步发挥.板书设计课即一.直线方程的概念三斜率与倾斜角关系例题二.斜率 倾斜角§2.2.1直线方程的概念与直线的斜率教学设计说明一【教材分析】本节课选自普通高中课程标准实验教课书数学必修2 （B版）第二章第二节第一课时，直线方程的 概念与直线的斜率，教学内容有直线方程的概念、直线倾斜角、斜率以及直线倾斜角与直线斜率的关系等 概念。直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角从几何角度刻画了直线的倾斜程度，斜率是 从数最关系上刻画了直线的倾斜程度。直线的倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的 纽带：而斜率则是代数量，建立斜率公式的过程，体现了解析法的基本思想：把几何问

13、题代数化，通过代 数运算研究几何图形的性质，而且它在以后建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起到核心作用,是本节课的重点.同时，本节课是第一次用方程研究宜线，为后续研究曲线起到一个示范作用.二【目标分析】(1)、理解直线的倾斜角和斜率的定义：掌握斜率公式，并会求直线的斜率.(2)、通过直线侦斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、 化归的数学能力，使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能 力.(3)、帮助学生进一步了解分类讨论思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在 联系，体现数、形的统一美，激发学生学习

14、数学的兴趣.三.【教学问题诊断】学情分析之知识储备：L学生之前己经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通 过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识也足以让学生理解直线的方程概念，教材是由一次函 数的图像引入的，是将一次函数与其图像的对应关系，转换成直线方程和直线的对应关系。这样引入比较 自然，符合学生的认知特点。2.直线方程的学习安排在三角函数之前，因此，倾斜角的正切等于斜率，这 一事实还不能直接引入。在研究斜率与倾斜角的关系时，由于没有三角函数的知识,学生接受起来比较困难, 这是本节课的难点.在这部分内容的研窕中，鼓励学生小组讨论，尽多的给学生动手的机会，让学生在实

15、 践中体脸二者的联系，学生充分利用特值验证，或斜率公式作出解释，教师再利用几何画板演示变化关系， 给学生更加深刻的直观印象,从而突破难点.学情分析之心理准备：对现在的高中生来说，他们的思维能力、阅读能力已基本成熟。其中相当部分学 生可以把握正确的阅读方法来理解材料内容的大意和结构，付目的的检索有关的阅读信息。而由于数学语 言的特殊性，数学阅读要求学生在阅读中必须不断的同化和顺应新的数学概念、术语及符号，不断进行假 设、预测、检验、推理和想象，不断的观察、比较、分析、综合、抽象和概括。所以教师要适时指点，M 绕重点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解，引导他们在阅读探究中主动获取知识，形成能力.

16、四.【教法分析】综合以上分析，教法上本着“教是为了不教”的教学思想，主要采用自学、阅读、问题探究式教学与 学习方法。通过鼓励学生阅读课本，引导学生捕捉数学问题并解决问题，让学生自主探索与介作交流相结 合，使学生从情到会到悟，提高解决问题的能力。同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课 堂效率。教学过程设计如下：环节一新课引入展示数学教育家波利亚名言：学习任何东曲，最好的途径是自己去探究发现.提出阅读是探窕知识的重要手 段.揭示本节课研究方式：自主阅读,探索研究！【设计意图】通过声情并茂的激励语，鼓励学生认真阅读，自主探索，大胆尝试!环节二 概念探究（-）自学阅读:阅读课本74页内容，自

17、主探究直线方程的概念.概念形成：教师提出问题1问题1：本部分内容阐述了哪些概念?你是如何理解这些概念的？学生活动：学生分析讨论，师生共同总结。强调直线方程的概念：L直线上点的坐标都是方程的解，2.以方程的解为坐标的点都在直线匕两者缺一 不可.学生可能还会发现：有的方程不一定是函数，引导学生举例说明如x= 2,教师指出，用函数表示直线不 全面，用方程更全面【设计意图】在学生读书思考的基础上，通过教师的指点，悯绕重点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立 见解。层层深入，与学生共同体会概念的严谨，感受学习的乐趣。概念深化：思考：如图，（1）直线1的方程是丫 = 1吗？为什么？X（2）直线1的方程是x（x

18、-y） = O吗？为什么？学生讨论交流得出：（1）= 1不满足直线上所有点的坐标是方程的解（2） x（x- y） = 0不满足以方程的解为坐标的点都在直线上，所以均不是直线的方程.教师及时强调定义的两部分内容缺一不可。【设计意图】加深对百线方程的概念的理解,使学生明确白线方程的概念的两部分缺一不可.环节三概念探究（二）自学阅读:如何通过方程研究直线的问题,我们需要哪些工具?请学生带着问题阅读课本第75页内容.学生边读边思考，教师合理安排阅读时间，控制阅读进程【设计意图】根据不同的阅读任务和性质，向学生提出阅读要求，让学生带着问题边阅读边思考，使阅读 更有效.概念形成本部分内容主要涉及哪些概念？

19、（斜率和倾斜角）.问题2：能谈谈你对斜率的认识吗？学生可能会回答直线斜率的定义，以及已知直线上两点板均,必）,832，丫2）,天工x”如何求斜率的公式。教师进一步引导：两点间斜率公式有什么注意事项吗？引导学生讨论，学生代表发言：（一）垂直于x轴的直线无斜率（二）斜率公式与直线上点的位置无关, 学生一般会想到用相似三角形的相似比来证明该问题，此处渗透了数形结合的思想（三）斜率的几何意义.教师总结点评.思考：关于斜率，你还有其它认识吗？这是一个发散性问题，学生一般会联系物理学中s = vt,速度就是斜率，教师引导学生发现斜率与函数单调性的关系学生活动:在学生读书思考的基础上，通过教师的指点，围绕重

20、点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见 解。关于对斜率公式的注意事项，其他学生补充，教师完善总结。引导他们在交流中主动获取知识，形成 能力.问题3:反映直线倾斜程度的量,除了代数角度的斜率,还有别的量吗？请一名同学谈谈对倾斜角的认识. 学生不难回答出倾斜角的定义和范围.【设计意图】以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化知识点、解决重点，给学生“数学创造”的体验， 有利于学生对知识的掌握，并强化对斜率的理解.学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦.思 考题是发散性问即，鼓励学生注意学科间以及所学知识前后的联系.环节四概念探究(H)问题4:斜率与倾斜角分别从代数和几何的角度反映了直线的倾斜程度

21、,两者之间有什么关系？学生活动：教师给学生提供一个交流、讨论的氛围，相互学习，相互补充.请小组代表到讲台讲解,教师及 时点评补充,最后教师可借助动画展示,让学生有更直观深刻的印象.思路一：特值脸证：已知 AQ,0)B(3J) C(2J) , D(U) EQ,O), F(-2Q 求直线 AB, AC, AD. AE, AF 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角，直角还是钝角。并观察出倾斜角随斜率变化的情况.思路二：以斜率为正值的两条不平行的直线为例，分别取两点，使得/x相同，比较/y的大小关系，进而判断斜率 大小，再观察倾斜角的大小，进而得出结论.教师提供思路三：教师演示几何画板做出的动画.思考

22、：斜率与倾斜角之间还有别的关系吗？学生结介初中所学直角三角形知识回答：在倾斜角为锐角情况下，斜率等于倾斜角的正切值.教师补充：钝角情况同样适用，但目前超出了我们的知识范胤关于斜率和倾斜角的关系，我们将在必修4 中再次讨论。【设计意图】斜率与倾斜角的关系是本节课的难点.学生在自主探索，自由想象和相互交流的过程中，充 分感受到成功和失败的情感体验，深刻地领会到数形结合思想在解决问题中所起的作用.第一种方法学 生容易想至第二种方法体现了斜率公式的应用，第三种动画演示可以使学生有更直观深刻的印象.通过讨 论交流演示,层层深入,突破本节课难点.环节五知识应用1.求卜列直线的斜率(1) y = -x-13

23、(2) 3x+5y-2 = 0(3)已知直线上两点A(a,c),B(b,c)a*b2.求斜率为-L且过点(2,-)的直线方程，并画出图象233 .判断正误：(1)任一条直线都有倾斜角，也都有斜率(2)直线的倾斜角越大，斜率也越大(3)平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°4 .如图所示，直线I1,bb的斜率分别为KM,k3,则：()Aki <k2 <k3 B.k3 < K <k2C.k3 < k2 v & DR < k3 <k2学生回答，教师对学生的回答进行评价。在整个练习过程中，教师做好课堂巡视，加强对学生个别指导。【设计意图】巩固所学知识，行助于保持学生自主学习的热情和信心。，第一题总结求直线斜率的方法,第 二题总结已知斜率和一点可以确定一条直线,为下节研究直线的点斜式方程做好准备.第三题是概念辨析， 第四题体现本节课难点,考察直线斜率与倾斜角的关系。问题由学生解决，解题后的反思总