高数—不定积分_讲解和例题

1、.设设 u (x), v (x) 有连续导数，则有连续导数，则vuvuvu )(vuvuvu )(两边取积分：两边取积分： xduvxdvuxdvu)(vdvudud udvvuvdu. xduvxdvuxdvu)( udvvuvdu xdxf)(即即 xdvu vdu udvvu xduvvu xdxgvu)(要求：要求：较易求。较易求。 xduvxdxg)(如何选择如何选择 v ?.例例1 1： udvvuvduxdvu xdxxsin,xv 若若选选,212xv 则则221sinxdx )sinsin(2122xdxxxxdxx cos2 ,sin xv 现选现选,cos xv 则则 x

2、dxxsin xdx cos )coscos(xdxxx.sincosCxxx = ?.(1) v 要容易求出。要容易求出。易易求求。要要比比 vduudv)2( e x ;次选：次选：sin x , cos x ；再次之：再次之：首选：首选：x 等幂函数；等幂函数；不选：不选：ln x .例例2 2：xdexx 2)(2xdexx xedx 2.222Ceexexxxx xex22xdexx xex 22 xedx xex22xdeexxx . 中中、在在xdaxxxdaxxxdexmmaxmsincos可降低可降低x m 的幂次数。的幂次数。axdxaxdxdxedvxuaxmsin,co

3、s, 令令.例例3 3：xdxxln 2ln21xdxlnln2122 xdxxx1ln2122 xdxxxxln212 xdxxx21ln2122xxx .C .例例4 4： xdxarctan)( vduxxarctan xdxarctan xxarctan xdxx 21xxarctan 221121xdx xxarctan .1ln212Cx . 中中、在在xdaxxxdaxxxdaxxxdaxxmmmmarctanarccosarcsinln可使原来含超越函数的被积函数化为可使原来含超越函数的被积函数化为代数函数的积分。代数函数的积分。.,arctan,arccos,arcsin,l

4、ndxxdvaxaxaxaxum 令令.例例5 5：xdxexcos xedx cosxexcos xdexcos xexcos xdxexsin xexcos xedx sinxexcos xexsin xdexsin xexexxsincos xdxexcos 1)sin(coscos2Cxxexdxexx .)sin(cos2cosCxxexdxexx 再生法再生法.例例6 6：xdx 3secxdxtansec xxtansec xdxsectan xxtansec xdxx sectan2 xxtansec xdxxsec)1(sec2 xxtansec xdx 3secxdx se

5、cxdxxx 3sectansecxxtansecln 由再生法：由再生法：xdx 3sec.tanseclntansec21Cxxxx .例例7 7：xdax 22)( vdu22axx xdaxxx22 22axx xdaxx 222+a 2-a 222axx xdax 22xdaxa 222xdaxaxx 2222222lnaxxa .ln2122222Caxxaaxx xdax 22由再生法：由再生法：. 本例还可用前面讲过的三角代换本例还可用前面讲过的三角代换 tdta 32sec原原式式.)tanseclntansec(22Ctttta .ln2122222Caxxaaxx 令令

6、x = a tan t.ln2122222Caxxaaxx xdax 22.ln2122222Caxxaaxx 同理：同理：xdax 22.ln2122222Caxxaaxx xdax 22所以：所以：. 中中、在在dxaxxdxdxexPdxexPaxax223sec)(cos)(sin经过几次分部积分后，又出现原来的积分，经过几次分部积分后，又出现原来的积分，这时可移项合并求出积分。（再生法）这时可移项合并求出积分。（再生法） 求不定积分往往将换元、分部法结合求不定积分往往将换元、分部法结合起来一起使用！下面再看一些例子。起来一起使用！下面再看一些例子。.例例1 1：xdxxxarcsin

7、12 解一：解一：原式原式 =22arcsin1121xdxx 21sinxdxrca xx arcsin12 11122xdxx .arcsin12Cxxx 解二：解二：.cos,sintdtxdtx 令令原式原式 =tdtt sin tdt cosCttt sincosx121x .arcsin12Cxxx t.例例2 2：xdxx 2sinsinln解：解： 原式原式 =)cot(sinlnxdx xxsinlncot xdx)1(csc2 .cotsinlncotCxxxx xxsinlncot dxx 2cot.例例3 3：xdxx 22arcsin解：解：原式原式 =)2(2arc

8、sin2xdx 412122arcsin2 22xdxxxx 212arcsin2 2xdxxx Cxxx 2arcsin2224.例例4 4：xdx arctan解：解：原式原式 =dxxxxx 121arctandxxx 1其中其中dtttxt 2212Ctt )arctan(2Cxx )arctan(2Cxxxx arctanarctan原原式式.arctan)1(Cxxx .例例5:5:xdxxex 2)1(解：解： 原式原式 =)11(xdxex dxexexxxexxx)(1111 CxeCexxexxx 111.例例6:6:xdxxx cos1sinxdxxx 2cos2sin2

9、xdxx 2cos212xdxxx 2cos2cos2sin22122tan22xdx xdx2tan 2tanxx xdx2tan xdx2tan .2tanCxx .例例7:7:xdxex 232arctan)1(解：解： 原式原式tdttettx23tansecsec tdtetcos Cttet )cos(sin2.)11(22arctanCxxex .例例8 8：已知已知 f (x)的原函数为的原函数为,cosxx dxxfx)(求求解：解： )()(xdfxdxxfx dxxfxxf)()(Cxxxxx coscosCxxxx cos2sin.)()(22为正整数为正整数naxdx

10、Inn 递推公式：递推公式：)32()()1(2111222 nnnInaxxnaI。，递推得递推得由由nIICaxaI,arctan121 例例9 9：.习习 4 3（A）2（5，8，10）习习 4 3（B）1（4，5，10，11，13， 15，16，19，20）.对有理函数、三角函数的有理式及对有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分，仍有规律可循。简单的无理函数的积分，仍有规律可循。一、有理函数的积分一、有理函数的积分有理函数有理函数: :由两个多项式的商所表示的函数。由两个多项式的商所表示的函数。)()()(xQxPxR 形形如如mmmnnnbxbxbaxaxa 1010其中其

11、中 m, n 都是正整数或零都是正整数或零,系数系数 a i , b j 均为实数，均为实数，),1;, 1(mjni . 0, 000 ba且且时时，当当0 mR(x) 为多项式为多项式 (又称有理整函数又称有理整函数)时，时，nm 有理真分式有理真分式时，时，nm 有理假分式有理假分式 =多项式多项式+真分式真分式.性质：性质： 真分式总可分解成若干个最简分式真分式总可分解成若干个最简分式之和之和 部分分式部分分式之和。之和。为真分式，为真分式，设设)()(xQxPa) 若若 Q(x) 能分解成若干个单因式，即能分解成若干个单因式，即)()()(1naxaxxQ nnaxAaxAxQxP

12、11)()(则则),(1为常数为常数naa ),(1待待定定常常数数为为nAA 如：如：23132 xxx)2( )1(13 xxx1 x2 xAB.23132 xxx21 xBxA)2( )1()1()2( xxxBxA13)1()2( xxBxA132)( xBAxBA 123BABA比较系数比较系数,74 BA23132 xxx21 xx.2ln71ln4Cxx 4 7 xd xd xd.b) 若若 Q(x) 能分解若干个能分解若干个k重单因式，即重单因式，即kkaxxPxQxPaxxQ)()()()()()( 则则，kkaxAaxAaxA)()(221 ),(1待定常数待定常数为为kA

13、A 如：如：9124542 xxx2)32(54 xx2)32(32 xBxA比较系数比较系数：BAAxBxAx 32)32(54 5342BAA 12BA.c) 若若 Q(x) 含有二次质因式含有二次质因式)()()()()(12xQqpxxxPxQxP 则则)()(112xQxPqpxxBAx )(),()(),(,(11的多项式的多项式为次数低于为次数低于为待定常数为待定常数xQxPxQxPBA如：如：3243 xxx)3()1)(42 xxCxBAxx 111CBA)(2qpxx )04(2 qp)1)(3(42 xxxx132 xCxxBAx比较系数比较系数：.d ) 若若 Q(x)

14、 含有含有k次质因式次质因式kqpxxxPxQxP)()()()(2 则则kkkqpxxBxAqpxxBxA)(2211 )(2qpxx )04(2 qpkqpxxxQ)()(2 即即.从理论上讲，从理论上讲， 任何有理函数的不定积分都存在。任何有理函数的不定积分都存在。有理函数的不定积分必定是有理有理函数的不定积分必定是有理函数、对数函数或反正切函数。函数、对数函数或反正切函数。 即任何有理函数的不定积分仍是即任何有理函数的不定积分仍是初等函数。初等函数。.(1) 把真分式拆成部分分式之和。把真分式拆成部分分式之和。(2) 化化 假分式假分式 = 多项式多项式 + 真分式真分式例例1 1：x

15、dxx 123+x-xxdxxx)1(2 222112121xdxx .)1(ln212122Cxx .(3)利用恒等变形求某些有理式的不定积分：利用恒等变形求某些有理式的不定积分：例例2 2：xdxx )1(122+ x2 - x2xdx 21xdx 211x1 )1(2xxxd若为若为xdxx )1(12+ x - xxdx 21 2xxd xxd1x1 xln 1ln xx1 .1lnCxx )1(22xxxd.arctanCx xdxx )1(1+ x - x xxdC .例例3 3：xdex 2)1 (1xdex 2)1(1xxee xdex 11xdeexx 2)1(xxee xd

16、eexx 11xxede 2)1(1xex 1ln.11Cex 若令若令 e x = u ,x = ln u ,1uduxd xdex 2)1(1uduu 2)1(1化为有理式的化为有理式的积分。积分。.xdxxx 312求求特点：特点：被积函数的分子的次数比分母低一次，被积函数的分子的次数比分母低一次， 所以分子放入微分号后即与分母同次。所以分子放入微分号后即与分母同次。(4) 利用被积函数自身特点。利用被积函数自身特点。例例4 4：且且 d (x2 + x + 3) = (2x + 1)d xxdxxx 312xdxxx 3122)(2121 xdxxx 312212xdxx 31212解

17、：解：.xdxxx312 3)3(2122xxxxdxdx 411)21(1212)21( 3ln212 xx.1112arctan111Cx xdxxx 312212xdxx 31212. 习习 4 41（1，10），），4（2，21）.三角函数有理式：三角函数有理式：指由三角函数和常数经过有限次四则指由三角函数和常数经过有限次四则).cos,(sinxxR如：如：,5cossin21 xx ,)cos,(sinxdxxR对对总可通过适当变换，总可通过适当变换，化成有理函数的积分。化成有理函数的积分。运算所构成的函数。记成运算所构成的函数。记成xxtan1tan1 . xdxxR)cos,(

18、sin对对.2tanxu 令令uduuuuuR22221211,12 化为化为 u 的有理函数的积分。的有理函数的积分。 xdxxR)cos,(sin.11cos,12sin222uuxuux 则则ududxux212,arctan2 2tanxu .例：例： xxxdcos2sin2tdttttt 22221)1(2122122tanxt 令令tdt 21Ct )2ln(.)2tan2ln(Cx .万能变换并不是最简捷的方法，万能变换并不是最简捷的方法，万不得已而用之。万不得已而用之。一般，常用三角恒等变形，也可用其它变换。一般，常用三角恒等变形，也可用其它变换。另外：若另外：若,)cos,

19、sin()cos,sin(xxRxxR xtcos 可可令令,)cos,sin()cos,sin(xxRxxR xtsin 可令可令,)cos,sin()cos,sin(xxRxxR xttan 可令可令 总之解题要灵活。总之解题要灵活。.例例1 1： xxxdcossinxxcossin xdx)4(csc21 原式原式,)4sin(2 x.)4(cot)4(cscln21Cxx .例例2 2：xdxx 2sin1cot )sin1(sinsin2xxxdtdtttx )1(12sin22tt tdttt)11(2 Ctt 21ln21ln.sin1ln21sinln2Cxx xdxxx )

20、sin1(sincos2.例例3 3： xxdsin1( 分子分母同乘分子分母同乘 1 - sin x )xdxx 2sin1sin1xdxxx 22cossincos1 xxdxdx22cos)(cossec.cos1tanCxx 若为若为 xxdcos1 2cos22xxd)2sin2(2 xxd22sec2xdx .2tanCx . 1.)0(),( axdbaxxRn常利用根式代换，令常利用根式代换，令. tbaxn 2.)0(),( axdbaxbaxxRmntbaxl 令令( l 为为 m , n 的最小公倍数的最小公倍数 )例：例：xdxxx )1(3,6tx 令令,6tx .6

21、5tdtdx tdtttt52636)1( tdtt 1622tdt)111(62 Ctt )arctan(6.)arctan(666Cxx .3.)0(),(2 axdcbxaxxR配方化为形如：配方化为形如：,),(22ydyyR ,),(22ydyyR ydyyR),(22 的不定积分。的不定积分。再作三角代换或倒变换即可。再作三角代换或倒变换即可。4.)0,(),( caxddcxbaxxRn消消去去根根号号。可可令令, tdcxbaxn .例：例：xdxxx 1532解：解：xdxxx 1) 12(2原式原式 = 2327 1)1(2322xxxxd 43)21(272xxd132

22、xx.121ln272Cxxx .例：例：xdxxx 11tdtttt )1(2()1222（原式原式.)11ln(212Cxxxx ,1txx 解解：令令222)1(2,11 ttdtdxtxtdtt 1222Cttt 11ln2.xdxx 11解：解：xdxx 11xdxx 211xdx 211xdxx 21xarcsin 221121xdx (1- )+xarcsin .12Cx 例：例：. ),()(xfxF F(x) 是是 f (x) 的原函数。的原函数。 .)()(CxFxdxf例例1 1：已知已知 f (x) 的一个原函数是的一个原函数是,2xe .)(xdxfx 求求解：解： )(xfdx