（整理版）例析反正法的应用

1、例析反正法的应用我们知道，反证法是先否认结论成立，然后依据条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、定理，公理或条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的.反证法是间接证明的一种根本方法，是解决某些“疑难当结论为“否认性“不可能、“不能表示为、“不是、“不存在、“不等于、“不具有某种性质等否认形式出现时，可考虑使用反证法进行证明。例1、试证不是有理数。分析：要求证的结论是以否认的形式出现的，因此可应用反正法来进行证明。证明：假设是有理数，注意到，可设、为互质的正整数，且，两边平方，得， 说明，是2的倍数，因为是正整数，故当是奇数时，令，那么，即是奇数，与是2的倍数矛盾。当是偶数

2、，又可设，代入式，整理后得，式说明，是2的倍数。这样与都是2的倍数，它们至少有公因数2，与所作假定、为互质的正整数相矛盾。因此不是有理数。点评：在应用反证法证题时，必须按“反设归谬结论的步骤进行，反正法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。此题从假设中推出的结论是与自身相矛盾例2、直线与双曲线：的右支交于不同的两点，求实数的范围；是否存在实数使得以线段为直经的圆经过双曲线的右焦点？假设存在求出的值；假设不存在，说明理由。分析：第1提示求参数范围的常规题，第解：略可求得。 由消去得，设两点的坐标为，那么时方程的两解所以，假设存在实数使得以线段为直经的圆经过双曲线的右焦点，那么，得，

3、即整理得，将及带入上式，得 ，解得或 舍去从而存在实数使得以线段为直经的圆经过双曲线的右焦点。点评：在此题在假设的条件下推导出的结果并没有出现矛盾，而是验证了存在符合题设条件的实数，从判断结论存在，对于探究具有某种性质的存在性问题，一般先由特例探求结果的存在性，然后进行论证。三 “至少、“至多“至多、“至少的形式出现时，可考虑应用反证法来解决。例3、设均为实数，且，求证：中至少有一个大于0。分析：如果直接从条件出发推证，方向不明，思路不清，不移入手，较难，说证结论是以“至少形式出现，因而可用反证法证明。证明：设中都不大于0，即而 ，这与矛盾，故中至少有一个大于0“至多“至少等形式给出时，一般是

4、多用反证法；应注意 “至少有一个 “都是的否认形式分别是“一个也没有 “不都是，此题是一个自相矛盾的题目类型。四 “唯一“唯一、“ 有且只有一个等形式出现时，可用反证法进行证明。例4、求证：两条相交直线有且只有一个交点。分析：此题是含有“ 有且只有一个证明：假设结论不成立，那么有两种情况：或者没有交点，或者不只一个交点。（1） 如果直线没有交点，那么，这与矛盾；（2） 如果直线不只有一个交点，那么至少交于点，这样经过两点就有两条直线，这与两点确定以直线矛盾。由1和2可知，假设错误，所以，两条相交直线有且只有一个交点。“都有“所有 “都是等形式出现时，我们在进行证明时，也往往采用反证法。例5、设

5、函数对定义域上任意实数都有，且成立。求证：对定义域内的任意都有。证明：假设满足体设条件的任意都有部成立，即存在某个有， ， ，又因为，这与假设矛盾。假设不成立，故对定义域内的任意都有。“任意都有的否认是“存在某个有六 证明不等式对于证明不等式，有时直接进行证明因较抽象、不明朗，一时还难以找出解题思路，其反面常却出现的条件较多、较具体，又较容易寻找解题思路，因此也常考虑用反证法进行证明。例6、函数是上的增函数，试“假设，那么“假设，那么。 用反证法进行证明：假设，那么 因为函数是上的增函数， 所以有， 两式相加得，这与矛盾， 故只有点评：反正法常用于直接证明较困难的不等式，也是不等式证明的一种常用方法。反证法就为一些从正面入手,无法使条件和结论找出联系的问题,提供了一条解题途径，它是通过给出合理的