（整理版）例析导数在函数中的应用

1、例析导数在函数中的应用有关导数在函数中的应用主要类型有：判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，求参数的范围，前面几种类型的综合及与解析几何等综合题.这些类型成为近两年最闪亮的热点,是高中数学学习的重点之一,预计也是“新课标下高考的重点.一利用导数判断函数的单调性 例1求函数的单调区间。分析：求出导数y,令y>0或y<0，解出x的取值范围，便可求出单调区间。 解：y，由定义域知x>0，y>0，y<0,故所求单调增区间为，单调减区间为。方法总结：利用导数判断函数的单调性的步骤是：1确定的定义域；2求导数f(x)；3在函数的定义域内解不等式f

2、(x)>0和f(x)<0；4确定的单调区间.假设在函数式中含字母系数，往往要分类讨论.二利用导数求函数的极值 例2求函数的极值解：的定义域为r. f(x).令y=0，解得x=1或x=1.当x变化时，y、y的变化情况如下：x(, 1)1(1, 1)1(1,+)y0+0y极小值3极大值1当x=1时，y有极小值3，当x=1时，y有极大值1.方法总结：求可导函数极值的步骤是：1求导数f(x)；2求f(x)= 0的所有实数根；3对每个实数根进行检验，判断在每个根如x0的左右侧，导函数f(x)的符号如何变化，如果f(x)的符号由正变负，那么f(x0)是极大值；如果f(x)的符号由负变正，那么f

3、(x0)是极小值. 注意：如果f(x)= 0的根x = x0的左右侧符号不变，那么f(x0)不是极值.三.利用导数求函数的最值例3求函数f(x)在0，2上的最大值和最小值.解：f(x)令，化简为，解得x1=2(舍去)，x2x<1时, f(x)>0，f(x)单调递增；当1<x2时, f(x)<0，f(x)单调递减.所以, f(1)=为函数f(x)的极大值.又因f(0)=0,>0, f(1)> f(2),f(0)=0为函数f(x)在0，2上的最小值，f(1)=为函数f(x)在0，2上的最大值.方法总结：求f(x)在a，b内的最大值和最小值的步骤：1求f(x)在a

4、，b内的极值；2求f(x)在区间端点的值f(a)与f(b)；3将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.四.证明不等式r，exx+1.分析：应首先构造函数，对函数进行求导，并判断函数的单调性.证明：令f(x)= exx1，f(x) =ex1.x,ex10恒成立，即f(x)0. (,0)时，f(x) =ex1<0，f(x)为增减数.又f(0)=0,当xr时，f(x)f(0)，即exx10，exx+1.五求参数的值或范围：这种类型往往是函数的单调性，通过逆向思维，判断导函数的符号，再求参数的值或范围.例5向量在区间1，1上是增函数，求t的取值范围.解法1：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间1，1上恒成立.解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，六.综合型，点p，0是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点p处有相同的切线.用表示a，b，c；假设函数在1，3上单调递减，求的取值范围.解：i因为函数，的图象都过点，0，所以， 即.因为所以.又因为，在点，0处有相同的切线，所以而将代入上式得 因此故，ii解法一：.当时，函数单调递减.由，假设；假设由题意，函数在1，3上单调