微分方程习题答案(2)

1、第十二章微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题答案 (二) (28) 第十二章 12.6 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 1. 求下列微分方程的通解(1)0 xyy,yp令.yp0.dpxpdx则.dpdxpx 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原方程变为分离变量:两边积分:1lnln.cpx1.cpx1,cyx两边积分:12ln.ycxc2(2)1 ( )yy 解: 令,yp则.yp原方程变为21.dppdx 分离变量:2.1dpdxp两边积分:即有1arctan pxc也即有1tan().pxc两边积分得:1tan().yxc解:12lncos().yxcc

2、22(3)()0.1yyy原方程变为:.yp 令.dpdp dydpyppdxdy dxdy机动 目录 上页 下页 返回 结束 220.1dpppdyy即为:2.1dppdyy 分离变量:2.1dpdypy两边积分:21lnln(1) .pc y即有21(1) .pc y也即有21(1) .yc y分离变量:两边积分:原方程的通解为:21.(1)dydxc y2111.1xcc y121.1c xcy1211.yc xc (1)2 yy 01y 02y即为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二.求下列微分方程满足初始条件的特解解:令,yp,yp原方程变为2 .pp分离变量:2.dpdxp两边

3、积分:1ln2.pxc把初始条件代入上式得1ln2.c 即有ln2ln2.px也即有ln2 .2px2.2xpe22.xye两边积分:22.xyec把初始条件代入得:20.c 2.xye解:2(2)(1) 0 xyxy满足初始条件的特解为 00y令 01y分离变量:2.1dpxdxpx2(1) .xpxp原方程变为:.yp,yp两边积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 211lnln(1)ln2pxc12.1cpx12.1cyx把初始条件代入上式得:11.c 21.1yx则有:两边积分:2arcsin.yxc把初始条件代入上式得:20.c 满足初始条件的特解为:arcsin .yx12.3

4、 高阶线性微分方程高阶线性微分方程1 .验证1cos,xyekx都是方程2sinxyekx的解,2 2 (1)0yyky并求此方程的通解.1(cossin).xyekxkkx21(1)cos2 sin.xyekkxkkx解:111,yy y将2(1)cos2 sinxekkxkkx2(cossin)xekxkkx2(1)cosxkekx代入方程中有0左边=机动 目录 上页 下页 返回 结束 =右边所以1cosxyekx是所给方程的解.同样可验证2sinxyekx也是所给方程的解.由于12cotykxy常数,12yy与线性无关,所以12(cossin)xye ckxckx是所给方程的通解.2.验

5、证12cos,sinyx yx都是方程20yy 的解,并写出该方程的通解.解:1sin,yx 21cos,yx 11,yy22coscos0 xx12cotyxy将12yy与左边=12cossinycxcx代入所给方程有:机动 目录 上页 下页 返回 结束 =右边所以1cosyx是所给方程的解.同样可验证2sinyx也是所给方程的解.由于常数,线性无关,因此所给方程的通解为:,yy y 20,mmp xq x2,mxym e12.8 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程1.填空题 0yp x yq x y(1) 若 mxye,mxyme则微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有

6、一条过点(0,1)的积分曲线是 _.解: 假设 是所给微分方程的解, 由于 将 代入所给微分方程得: 2mxmxmxm ep x meq x e 2mxemmp xq x00mxe左边= =右边 又由于 00|1,mxye这表明曲线 mxye过点(0,1). 因此应填mxyemxye1Q=_.121,1.rr (2)若方程0ypyqy12,xxyeye则依题意知2(p , q均为实常数)P=_,(1)(1)0.rr210,r 0.yy有特解解 :0,1.pq特征方程为0机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)若方程0ypyqy(p , q均为实常数)有特解12cos ,sin ,xxyex

7、yex则 P=_,Q=_.解 :依题意知1,21,ri 特征方程为2(1)10.r 2220,rr2,2.pq 2(4)若方程0ypyqy(p , q均为实常数)有特解21210,xyye则P=_,Q=_.解 : 依题意知120,2.rr 特征方程为(2)0.r r 2 20.yyy应填4240,r 00,4.pq解:应填1,22ri 机动 目录 上页 下页 返回 结束 220.rr 2 0.yy2,0.pq2,0.pq(5)若方程0ypyqy(p , q均为实常数)有特解12cos2 ,sin2 ,yx yx则P=_,Q=_.依题意知特征方程为 40.yy(6)若方程0ypyqy(p , q

8、均为实常数)有特解312,xxyeye则 P=_,Q=_.解:依题意知121,3,rr 特征方程为(1)(3)0,rr2230,rr 2 30.yyy应填2,3.pq 23(7)若某二阶常系数齐次方程的通解为12ycc x其中12,c c为独立的任意常数,则该方程为_.0y (8) 若某二阶常系数线性齐次微分方程的通解为其中12,xyc ec则该方程为_. 12,c c为独立的任意常数,121,0.rr(1)0.r r 20,rr0.yy解:依题意有:机动 目录 上页 下页 返回 结束 即有特征方程:应填0.yy0yy(9) 若某二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12cossin,yckxck

9、x其中12,c c为独立的任意常数,k为实常数,则该方程为_. 解:依题意有:1,2.rki 即有特征方程:220.rk0.yky应填0.yky0yky解:依题意有:120.rr20.r0.y应填0.y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (10) 若某二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12,xxyc ec e其中为独立的任意常数,12,c c则该方程为_. 解:依题意有:121,1.rr 即有特征方程:(1)(1)0.rr210,r 0.yy应填0.yy0yy二.求下列微分方程的通解22(1)280d xdxxdtdt解:特征方程:2280.rr(4)(2)0,rr14,2.rr 通解为42

10、12.xxyc ec e(其中12,c c为独立的任意常数)解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 特征方程: 250.r 5.r 5512.xxycec e22(2)50d yydx通解为(其中12,c c为独立的任意常数)(3)2 100.yyy解: 特征方程: 22100.rr2(1)9,r 1,21 3.ri 通解为12(cos3sin3 ).xyecxcx(其中12,c c为独立的任意常数)(5)(4)8 16 0.xxx特征方程: 538160.rrr42(816)0.r rr22(4)0.r r12,34,50,2,2.rrr 通解为2212345()().ttxccc

11、t ecc t e机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 2 0yyy 01y三. 求下列微分方程的特解 解: 特征方程为 00y把初始条件2210.rr 通解为: 2(1)0.r1,21.r 12().xycc x e 01y代入通解得 11.c 则有: 2(1).xyc x e22(1).xxyc ec x e把初始条件 00y代入上式得 21.c 满足初始条件的特解为:(1).xyx e2.0yyy 01y 00y解: 特征方程为 210.rr 213().24r 1,213.22ri 题 目录 上页 下页 返回 结束 将初始条件 (0)1y代入通解得:11.c 即有: 通解为: 12

12、1233(cossin).22xyecxcx12233(cossin).22xyexcx112222133333(cossin)( sincos).222222xxyexcxec 将初始条件 (0)0y代入上式得:21.3c 满足初始条件的特解为 12333(cossin).232xyexx四.设函数 x二阶连续可微, 且使曲线积分 3 2Lxxydxx dy与路径无关, 求函数 .x解:由于曲线积分与路径无关,也即有即有特征方程为所以有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,3 2P x yxxy 3 2Pxxy ,Q x yx Qxx.QPxy 3 2xxx 3 20.xxx2320.rr

13、(1)(2)0.rr121,2.rr 212.xxxc ec e12.9 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程一.选择题 (以下各题中的A ,B ,C ,D是待定常数)1.微分方程 的特解应具有形式( ).sinyyxx( )()sin()cos ;Bx AxBxx CxDx特征方程为 ( )()sin ;AAxBx解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )()(cossin );Cx AxBxx()()(sincos ).Dx AxB CxDx210.r 特征根为 1,2.ri 自由项为 sin .f xxx0,1.ii 是特征方程的根, 故可设 ()sin()cosyx A

14、xBxx CxDxB解:对于 1,fxx0,不是特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.微分方程 cosyyxx的特解应具有形式( ).( )cos ;AAxBCx( )cossin ;BAxBCxDx( )(cossin );CAxBx CxDx()cos .DAxBCxx特征方程为 210.r 特征根为 1,2.ri 自由项为 12cos .f xfxfxxx可设 1.yAxB对于 2cos ,fxx0,1.ii 是特征根. 可设 2(cossin ).yx CxDx即设 12(cossin ).yyyAxBx CxDxC解:把机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.微分方程 1

15、yyxx的特解应具有形式( ).( );AAxB2( );BAxBxC( )();Cx AxB3().DAx方程为变系数二阶线性非齐次方程 .根据方程解 的概念将(A) , (B) ,(C) ,(D) 选项的函数分别代入方程.3323,()3,()6,AxAxAxAxAx代入方程有: 2163AxAxxx1.3A因此选项(D)是正确的. D4.微分方程 3 3 xyyyyxe的特解应具有形式( ).( );xAAxe3( );xBAx e3( )();xCxAxB e32()().xDAxBxCx eC解:323331(1)0.rrrr 特征根为1231.rrr 自由项为特征方程为是特征方程三

16、重根, .xf xxe故可设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 3().xyxAxB e因此选项(C)是正确的. 5.微分方程 2yyx的特解应具有形式( ).2( );AAx2( );BAxBxC3( );CAx2()().Dx AxBxC解:特征方程为2(1)0.rrr r特征根为120,1.rr自由项为 2.f xx0是特征方程单根,故可设 2().yx AxBxC因此选项(D)是正确的. D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.微分方程 2 5 6xyyyxe的特解应具有形式( ).2( );xAAxe2( )();xBAxB e22( )();xCAxBxC e2()().

17、xDx AxB e解:特征方程为256(2)(3)0.rrrr特征根为122,3.rr自由项为 2.xf xxe2 是特征方程单根,故可设 2().xyx AxB e因此选项(D)是正确的. D 7.微分方程 1xyye的特解应具有形式( ).( );xAAeB( );xBAxeBx( );xCAeBx().xDAxeB解:特征方程为210.r 特征根为121,1.rr 自由项为 121.xf xfxfxe是特征方程的单根,故可设即可设12xyyyAxeB 1,xfxe11.xyAxe机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于自由项对于自由项 21,fx 0不是特征根,故可设2.yB因此选项(D

18、)是正确的. 8.微分方程 2 6 8xxyyyee的特解应具有形式( ).2( );xxAAeBe2( );xxBAeBxe2( );xxCAxeBe2().xxDAxeBxe解:特征方程为268(2)(4)0.rrrr特征根为122,4.rr自由项为 212.xxf xfxfxee对于自由项 1,xfxe1不是特征方程的根,故可设1.xyAe对于自由项 22,xfxe2方程的单根, 故可设22.xyxBe即可设2xxyAeBxe是特征B机动 目录 上页 下页 返回 结束 9.微分方程 22 4 468xyyyxe的特解应具有形式( ).22( );xAAxBxCe222( );xBAxBx

19、CDx e22( );xCAxBe22()().DAxBxCx解:特征方程为2244(2)0.rrr特征根为122.rr自由项为 221268.xf xfxfxxe0不是特征方程的根,故可设 21.yAxBxC因此选项(B)是正确的. B 即可设对自由项 216,fxx对自由项 228,xfxe2是特征方程的二重根,故可设 222.xyx De22212.xyyyAxBxCDx e机动 目录 上页 下页 返回 结束 10.微分方程 sincos2yyxx的特解应具有形式( ).( )sincoscos2 ;AAxBxCx( )( sincos )cos2sin2 ;Bx AxBxCxDx( )

20、sincos2sin2 ;CAxBxCx()sincos2 .DAxxBxx解:特征方程为210.r 特征根为1,2.ri 自由项为 12sincos2 .f xfxfxxx0,1,ii 是特征根,故可设 1( sincos ).yx AxBxB 对自由项 1sin ,fxx对自由项 2cos2 ,fxx0,2,ii 不是特征根,故可设 2cos2sin2 .yCxDx即可设 12( sincos )cos2sin2 .yyyx AxBxCxDx解:1.2 2.xyyye特征方程为特征根为121,1.2rr 对应的齐次方程的通解为自由项为1212.xxYc ec e二.求下列微分方程的通解: 221(21)(1)0.rrrr 不是特征方程的根.故可设机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.xf xe1.xyAe.xyyAe,yyy把代入原方程得22.xxxxAeAeAee1.A.xye1212.xxxyYyc ec ee非齐次方程的特解为方程的通解为解:2. 4cos.yyx特征方程为特征根为1,22 .ri 对应的