《二元一次方程组》全章复习与巩固(基础)知识讲解

1、 让更多的孩子得到更好的教育?二元一次方程组?全章复习与稳固根底知识讲解责编：赵炜【学习目标】1.了解二元一次方程组的有关概念，会解简单的数字系数；能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性.毛2.二元一次方程组的图像解法，初步体会方程与函数的关系.3.了解解二元一次方程组的“消元思想，从而初步理解化“未知为“和化复杂问题为简单问题的划归思想.【知识网络】【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数和，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点诠释：1在方程中“元是指未知数，“二元就是

2、指方程中有且只有两个未知数.2“未知数的次数为1”是指含有未知数的项单项式的次数是1.3二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.要点诠释：1它的一般形式为其中，不同时为零2更一般地，如果两个一次方程合

3、起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组3符号“表示同时满足，相当于“且的意思4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：1方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，假设两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.2方程组的解要用大括号联立；3一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的根本方法：代入消元法、加减消

4、元法和图像法1用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：从方程组中选定一个系数比拟简单的方程进行变形，用含有或的代数式表示或，即变成或的形式；将或代入另一个方程不能代入原变形方程中，消去或，得到一个关于或的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出或的值；把或的值代入或中，求或的值；用“联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释： (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比拟简单或代入后化简比拟容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另

5、一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.2用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：根据“等式的两边都乘以或除以同一个不等于0的数，等式仍然成立的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；根据“等式两边加上或减去同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程的性质，将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；把求得的未知数的值代入原方程组中比拟简单的一个方程中，求出另一个未知数的值

6、；将两个未知数的值用“联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.3图像法解二元一次方程组的一般过程：把二元一次方程化成一次函数的形式 在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点交点坐标就是方程组的解要点诠释：二元一次方程组无解<=>一次函数的图像平行无交点 二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像相交有一个交点 二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图像重合有无数个交点利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相

7、反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、实际问题与二元一次方程组要点诠释：1解实际应用问题必须写“答，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；2“设、“答两步，都要写清单位名称；3一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.要点四、二元一次方程组与一次函数1.二元一次方程与一次函数的关系 1任何一个二元一次方程都可以变形为即为一个一次函数，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.2我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程我们列举出它的几组整数解有，我们发现以这些整数解为坐标的

8、点0，5，5，0，2，3恰好在一次函数y的图像上，反过来，在一次函数的图像上任取一点，它的坐标也适合方程.要点诠释：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.2. 二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.3.用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据

9、所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件, 列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.要点五、三元一次方程组1定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组.要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：1方程组中的每一个方程都是一次方程；2如果三个一元一次方程合起来共有

10、三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.2三元一次方程组的解法解三元一次方程组的根本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数解三元一次方程组的一般步骤是： 1利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； 2解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； 3将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比拟简单的方程，得到一个一元一次方程； 4解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； 5将求得的三个未知数的值

11、用“合写在一起要点诠释：1有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比拟简单的解法2要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，假设相等，那么是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：1弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4解这个方程组，求出未知数的值；5写出

12、答案(包括单位名称)要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去(2)“设、“答两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组【典型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念1.以下方程组中，不是二元一次方程组的是 .A. B. C. D.【思路点拨】利用二元一次方程组的定义一一进行判断.【答案】B.【解析】二元一次方程组中只含有两个未知数，并且含有未知数的次数都是1，方程组中，可以整理为.【总结升华】准确理解二元一次方程组和二元一次方程的定义是解此题的关键.举一反三

13、：【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例12】【变式】假设是二元一次方程，那么a= ，b= 【答案】1, 02.以 为解的二元一次方程组是 .A. B. C. D.【答案】C.【解析】通过观察四个选项可知，每个选项的第一个二元一次方程都是，第二个方程的左边都是，而右边不同，根据二元一次方程的解的意义可知，当 时，.【总结升华】不满足或不全部满足方程组中的各方程的选项都不是方程组的解.举一反三：【变式】2021绵阳假设+|2ab+1|=0，那么ba2021=A1 B1 C52021 D52021【答案】解：+|2ab+1|=0，解得：，那么ba2021=3+22021=1应选：A类型

14、二、二元一次方程组的解法  3.解方程组【思路点拨】由于此题结构比拟复杂，不能直接消元，应先将方程组化为一般形式，再看如何消元，即用加减或代入消元法【答案与解析】解：将原方程组化简得得：-3y3，得y-1，将y-1代入中，x9-54故原方程组的解为【总结升华】消元法是解方程组的根本方法，消元的目的是把多元一次方程组逐步转化为一元一次方程，从而使问题获解举一反三：【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例22】【变式】方程组的解是二元一次方程m(x+1)=3(x-y)的一个解，那么m= 【答案】3类型三、实际问题与二元一次方程组4.2021佛山某景点的门票价格如表：购票人数/人

15上每人门票价/元12108某校七年级1、2两班方案去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，那么一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，那么只需花费816元1两个班各有多少名学生？2团体购票与单独购票相比拟，两个班各节约了多少钱？【思路点拨】1设七年级1班有x人、七年级2班有y人，根据如果两班都以班为单位单独购票，那么一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，那么只需花费816元建立方程组求出其解即可；2用一张票节省的费用×该班人数即可求解【答案与解析】解：1设七年级1班有x

16、人、七年级2班有y人，由题意，得，解得：答：七年级1班有49人、七年级2班有53人；2七年级1班节省的费用为：128×49=196元，七年级2班节省的费用为：108×53=106元【总结升华】此题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时建立方程组求出各班的人数是关键举一反三：【变式】(山东济南)如下图，教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格相同，请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花的价格【答案】解：设康乃馨每

17、支x元，水仙花每支y元根据题意，可列方程组，解得所以第三束鲜花的价格是x+3y5+3×417(元)答：第三束鲜花的价格是17元类型四、二元一次方程组与一次函数5. 如下图，直线L1，L2相交于A点，请根据图象写出以交点坐标为解的二元一次方程组，并求出它的解【思路点拨】由图知：直线l1、l2相交于A点，那么以两个函数的解析式为方程组的二元一次方程组的解即为两个函数图象的交点坐标【答案与解析】解：设直线l1的解析式是y=kx+b，直线l1经过1，3和0，4，根据题意，得：解得：那么直线l1的函数解析式是y=-x+4；同理得直线l2的函数解析式是y=2x+1那么所求的方程组是两个函数图象的

18、交点坐标为1，3，所以方程组的解为：【总结升华】一般地，每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，也就是两条直线从“数的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值从“形的角度看，解方程组就是相当于确定两条直线的交点坐标6. 甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城由于墨迹遮盖，图中提供的只是两车距B城的路程s甲千米、s乙千米与行驶时间t时的函数图象的一局部1乙车的速度为千米/时；2分别求出s甲、s乙与t的函数关系式不必写出t的取值范围；3求出两城之间的路程，及t为何值时两车相遇；4当两车相距300千米时，求t的值【答案与解析】解：1120÷1=120千米/时，故答案为120；2设s甲与t的函数关系为s甲=k1t+b，图象过点3，60与1，420，解得s甲与t的函数关系式为s甲=180t+600 设s乙与t的函数关系式为s乙=k2t，图象过点1，120，k2=120s乙与t的函数关系式为s乙=120t 3当t=0，s甲=600，两城之间的路程为600千米 s甲=s乙，即180t+600=120t，解得t=2当t=2时，两车相遇 4当相遇前两车相距300千米时，s甲s乙=300，即180t+600120t=300，解得t=1