22二次函数复习解析

1、第第22章章 二次函数二次函数主题主题1 1 二次函数二次函数的的定义定义【主题训练主题训练1 1】( ( 1.y 1.y=-x=-x，y=2x-2/xy=2x-2/x，y=100-5 xy=100-5 x，y=3 x-2x+5,y=3 x-2x+5,其其中是二次函数的有中是二次函数的有_个个。 2. 2.当当m_m_时时, ,函数函数y=(m+1) - 2+1 y=(m+1) - 2+1 是二次函数？是二次函数？【自主解答自主解答】1. 21. 2个个 2 m=22 m=2定义：定义： y=axy=ax2 2bxbxc c （ a a、b b、c c 是常数，是常数， a 0 a 0 ） 定

2、义要点：定义要点：a 0 a 0 最高次数为最高次数为2 2 代数式一定是整式代数式一定是整式 mm 2主题主题2 2 二次函数的平移二次函数的平移【主题训练主题训练2 2】(2013(2013枣庄中考枣庄中考) )将抛物线将抛物线y=3xy=3x2 2向上平移向上平移3 3个单位个单位, ,再向左平移再向左平移2 2个单位个单位, ,那么得到的抛物线的解析那么得到的抛物线的解析式为式为( () )A.yA.y=3(x+2)=3(x+2)2 2+3+3 B.yB.y=3(x-2)=3(x-2)2 2+3+3C.yC.y=3(x+2)=3(x+2)2 2-3-3 D.yD.y=3(x-2)=3(

3、x-2)2 2-3-3【自主解答自主解答】选选A.A.由由“上加下减上加下减”的平移规律可知的平移规律可知, ,将抛将抛物线物线y=3xy=3x2 2向上平移向上平移3 3个单位所得抛物线的解析式个单位所得抛物线的解析式为为:y=3x:y=3x2 2+3;+3;由由“左加右减左加右减”的平移规律可知的平移规律可知, ,将抛物线将抛物线y=3xy=3x2 2+3+3向左平移向左平移2 2个单位所得抛物线的解析式个单位所得抛物线的解析式为为:y=3(x+2):y=3(x+2)2 2+3.+3.【主题升华主题升华】二次函数平移的两种方法二次函数平移的两种方法1.1.确定顶点坐标平移确定顶点坐标平移:

4、 :根据两抛物线前后顶点坐标的位置根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离确定平移的方向与距离. .2.2.利用规律平移利用规律平移:y=a(:y=a(x+hx+h) )2 2+k+k是由是由y=axy=ax2 2经过适当的平移经过适当的平移得到的得到的, ,其平移规律是其平移规律是“h h左加右减左加右减,k,k上加下减上加下减”. .即自变即自变量加减左右移量加减左右移, ,函数值加减上下移函数值加减上下移. .1.(20131.(2013茂名中考茂名中考) )下列二次函数的图象下列二次函数的图象, ,不能通过函数不能通过函数y=3xy=3x2 2的图象平移得到的是的图象平移得到

5、的是( () )A.yA.y=3x=3x2 2+2+2B.yB.y=3(x-1)=3(x-1)2 2C.yC.y=3(x-1)=3(x-1)2 2+2+2D.yD.y=2x=2x2 2【解析解析】选选D.D.函数函数y=3xy=3x2 2的图象平移后的图象平移后, ,二次项系数仍然是二次项系数仍然是3,3,不可能变为不可能变为2,2,所以所以D D选项中二次函数的图象不能通过函选项中二次函数的图象不能通过函数数y=3xy=3x2 2的图象平移得到的图象平移得到. .2.(20132.(2013衢州中考衢州中考) )抛物线抛物线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c的图象先向右平移的图象先向右平

6、移2 2个单位个单位, ,再向下平移再向下平移3 3个单位个单位, ,所得图象的函数解析式为所得图象的函数解析式为y=(x-1)y=(x-1)2 2-4,-4,则则b,cb,c的值为的值为( () )A.bA.b=2,c=-6=2,c=-6B.bB.b=2,c=0=2,c=0C.bC.b=-6,c=8=-6,c=8D.bD.b=-6,c=2=-6,c=2【解析解析】选选B.B.平移后的顶点为平移后的顶点为(1,-4),(1,-4),根据平移前后是相根据平移前后是相反的过程可知反的过程可知(1,-4)(1,-4)向左平移向左平移2 2个单位个单位, ,再向上平移再向上平移3 3个单个单位得到位得

7、到y=xy=x2 2+bx+c+bx+c的顶点为的顶点为(-1,-1),(-1,-1),所以原抛物线的解析所以原抛物线的解析式式y=(x+1)y=(x+1)2 2-1,-1,化成一般形式为化成一般形式为y=xy=x2 2+2x,+2x,故故b=2,c=0.b=2,c=0.【知识归纳知识归纳】二次函数之间的平移关系二次函数之间的平移关系1.1.二次函数二次函数y=axy=ax2 2先向右平移先向右平移h(hh(h0)0)个单位个单位, ,再向上平移再向上平移k(k0)k(k0)个单位得二次函数个单位得二次函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k.+k.2.2.二次函数二次函数y=a(x-h

8、)y=a(x-h)2 2+k+k先向下平移先向下平移k(kk(k0)0)个单位个单位, ,再向再向左平移左平移h(hh(h0)0)个单位得二次函数个单位得二次函数y=axy=ax2 2. .主题主题3 3 二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质【主题训练主题训练3 3】(2013(2013十堰中考十堰中考) )如图如图, ,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c (a0)+bx+c (a0)的图象的顶点在第一象限的图象的顶点在第一象限, ,且过点且过点(0,1)(0,1)和和(-1,0),(-1,0),下列结论下列结论: :abab0;0;b b2 24a;4a;0 0 a+b+c

9、a+b+c 2;2;0 0b b1;1;当当x x-1-1时时,y,y0.0.其中正确结论的个数是其中正确结论的个数是( () )A.5A.5个个 B.4B.4个个C.3C.3个个D.2D.2个个b2ab2a【自主解答自主解答】选选B.B.对称轴在对称轴在y y轴右侧轴右侧, - , - 0, 0, 0,0,a,ba,b异号异号,abab0,0,正确正确; ;把把x=0,y=1x=0,y=1代入代入y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c得得c=1,c=1,所以二次函数为所以二次函数为y=axy=ax2 2+bx+1; +bx+1; 又又图象与图象与x x轴有两个交点轴有两个交点, ,bb2

10、 2-4ac-4ac0,b0,b2 24a,4a,正确正确; ;当当x=1x=1时时, ,图象在图象在x x轴上方轴上方, ,a+b+ca+b+c0;0;把把x=-1,y=0 x=-1,y=0代入代入y=axy=ax2 2+bx+1,+bx+1,得得b=a+1,b=a+1,图象的开口图象的开口向下向下,a,a0,a+b+c= a+a+1+1=2a+20,a+b+c= a+a+1+1=2a+22,02,0a+b+ca+b+c2,2,正确正确; ;b=a+1,a=b-1,0b=a+1,a=b-1,0a+b+ca+b+c2,c=1,02,c=1,0b-1+b+1b-1+b+12,2,即即0 02b2

11、b2,02,0b b1,1,正确正确; ;当当x x-1-1时时, ,函数图象有部分函数图象有部分在在x x轴上方轴上方, ,与与x x轴有交点轴有交点, ,有部分在有部分在x x轴下方轴下方, ,所以所以y y0,y=0,y0,y=0,y0 0都有可能都有可能. .所以正确的共有所以正确的共有4 4个个, ,选选B.B.【主题升华主题升华】图象形状图象形状 抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)顶点坐标顶点坐标 开口及最开口及最值值a0a0向上向上最小值最小值 a0a0,-4ac0,抛物线与抛物线与x x轴有两个交点轴有两个交点;b;b2 2- -4ac=0,

12、4ac=0,抛物线与抛物线与x x轴有一个交点轴有一个交点;b;b2 2- -4ac0,4ac0a0B B当当x=0 x=0时时,y=c,y=c,抛物线与抛物线与y y轴的交轴的交点在正半轴上点在正半轴上, ,故故c0c0C C抛物线与抛物线与x x轴有两个交点轴有两个交点, ,即即axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有两个不相等的实有两个不相等的实数根数根, ,故故b b2 2-4ac0-4ac0D D由图象知由图象知, ,当当x=1x=1时时,y=a+b+c0,y=a+b+c0,-4ac0,即即b b2 24ac,4ac,是正确的是正确的. .抛物线的开口方向向上抛物线的开口方向向上

13、,a0;,a0;抛物线与抛物线与y y轴的交点在轴的交点在y y轴的负半轴轴的负半轴,c0;,c0,ax= =10,a与与b b异号异号, ,则则b0.b0,0,是正确的是正确的.抛物线的对称轴抛物线的对称轴x= =1,x= =1,b=-2a,2a+b=0,b=-2a,2a+b=0,是错误的是错误的. .b2ab2a当当x=-2x=-2时时,y=4a-2b+c0,y=4a-2b+c0,又又b=-2a,b=-2a,4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c0,4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c0,是错误的是错误的. .抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线x=1,x=1,在

14、在x=-1x=-1与与x=3x=3时函数值相时函数值相等等, ,由函数图象可知由函数图象可知x=-1x=-1的函数值为负数的函数值为负数,x=3,x=3时的函数时的函数值值y=9a+3b+c0,y=9a+3b+c0;+bx+c0;抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c在在x x轴下方部分轴下方部分的横坐标满足的横坐标满足axax2 2+bx+c0.+bx+c00B.3B.3是方程是方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的一个根的一个根C.a+b+cC.a+b+c=0=0D.D.当当x1x1时时,y,y随随x x的增大而减小的增大而减小【解析解析】选选B.B.抛物线开口向

15、下抛物线开口向下,a0,a0,0,所以所以C C选项错误选项错误; ;当当x1x1时时,y,y随随x x的增大而增大的增大而增大, ,所以所以D D选项错误选项错误. .2.(20132.(2013宁波中考宁波中考) )如图如图, ,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+ +bx+cbx+c的图象开口向上的图象开口向上, ,对称轴为直线对称轴为直线x=1,x=1,图象经过图象经过(3,0),(3,0),下列结论中下列结论中, ,正确的一项正确的一项是是( () )A.abcA.abc00B.2a+b0B.2a+b0C.a-b+cC.a-b+c00D.4ac-bD.4ac-b2 200.a0.

16、抛物线的对称轴抛物线的对称轴x= =10,x= =10,则则b0.b0.抛物线与抛物线与y y轴交于负半轴轴交于负半轴, ,则则c0,c0.0.故本选项错误故本选项错误; ;B B、x= =1,b=-2a,2a+b=0.x= =1,b=-2a,2a+b=0.故本选项错误故本选项错误; ;C C、对称轴为直线对称轴为直线x=1,x=1,图象经过图象经过(3,0),(3,0),该抛物线与该抛物线与x x轴的另一交点的坐标是轴的另一交点的坐标是(-1,0),(-1,0),当当x=-1x=-1时时,y=0,y=0,即即a-b+ca-b+c=0.=0.故本选项错误故本选项错误; ;D D、根据图象可知、

17、根据图象可知, ,该抛物线与该抛物线与x x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点, ,则则=b b2 2-4ac0,-4ac0,则则4ac-b4ac-b2 20.0.故本选项正确故本选项正确. .b2ab2a主题主题5 5 二次函数的应用二次函数的应用【主题训练主题训练5 5】(2013(2013武汉中考武汉中考) )科幻小说科幻小说实验室的故实验室的故事事中中, ,有这样一个情节有这样一个情节: :科学家把一种珍奇的植物分别科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中放在不同温度的环境中, ,经过一天后经过一天后, ,测试出这种植物高测试出这种植物高度的增长情况度的增长情况( (如表如表)

18、.).温度温度x()x() -4-4 -2-20 02 24 44.54.5植物每天植物每天高度增长高度增长量量y(mm)y(mm)4141 4949 4949 4141 252519.719.75 5由这些数据由这些数据, ,科学家推测出植物每天高度增长量科学家推测出植物每天高度增长量y y是温度是温度x x的函数的函数, ,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种中的一种. .(1)(1)请你选择一种适当的函数请你选择一种适当的函数, ,求出它的函数关系式求出它的函数关系式, ,并简并简要说明不选择另外两种函数的理由要说明不选择另外两种函

19、数的理由. .(2)(2)温度为多少时温度为多少时, ,这种植物每天高度增长量最大这种植物每天高度增长量最大? ?(3)(3)如果实验室温度保持不变如果实验室温度保持不变, ,在在1010天内要使该植物高度天内要使该植物高度增长量的总和超过增长量的总和超过250mm,250mm,那么实验室的温度那么实验室的温度x x应该在哪个应该在哪个范围内选择范围内选择? ?直接写出结果直接写出结果. .【自主解答自主解答】(1)(1)选择二次函数选择二次函数. .设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=axy=ax2 2+bx+c,+bx+c,根据题意根据题意, ,得得 y y关于关于x x的函数解析式为

20、的函数解析式为y=-xy=-x2 2-2x+49.-2x+49.不选另外两个函数的理由不选另外两个函数的理由: :点点(0,49)(0,49)不可能在任何反比例不可能在任何反比例函数图象上函数图象上, ,所以所以y y不是不是x x的反比例函数的反比例函数; ;点点(-4,41),(-(-4,41),(-2,49),(2,41)2,49),(2,41)不在同一直线上不在同一直线上, ,所以所以y y不是不是x x的一次函数的一次函数. .4a 2b c 49,a1,4a 2b c 41,b2,c 49,c 49 解得，(2)(2)由由(1)(1)得得y=-xy=-x2 2-2x+49,y=-(

21、x+1)-2x+49,y=-(x+1)2 2+50.+50.a=-10,a=-10,当当x=-1x=-1时时y y的最大值为的最大值为50.50.即当温度为即当温度为-1-1时时, ,这种植物每天高度增长量最大这种植物每天高度增长量最大. .(3)-6x4.(3)-6x4.【主题升华主题升华】 解决二次函数应用题的两步骤解决二次函数应用题的两步骤1.1.建模建模: :根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象 的形状建模的形状建模. .2.2.应用应用: :利用二次函数的性质解决问题利用二次函数的性质解决问题. .1.(20131.(2013仙桃中考仙

22、桃中考)2013)2013年年5 5月月2626日日, ,中国羽毛球队蝉联苏迪中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军曼杯团体赛冠军, ,成就了首个五连冠霸业成就了首个五连冠霸业. .比赛中羽毛球的某比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线次运动路线可以看作是一条抛物线( (如图如图).).若不考虑外力因若不考虑外力因素素, ,羽毛球行进高度羽毛球行进高度y(m)y(m)与水平距离与水平距离x(m)x(m)之间满足关系之间满足关系 则羽毛球飞出的水平距离为则羽毛球飞出的水平距离为m.m.22810yxx999，【解析解析】令令y=0y=0，得：，得： 解得：解得：x x1 1=5=5，x x2

23、 2=-1(=-1(不合题意，舍去不合题意，舍去) )，所以羽毛球飞出，所以羽毛球飞出的水平距离为的水平距离为5 m.5 m.答案：答案：5 522810 xx0999，2.(20132.(2013鞍山中考鞍山中考) )某商场购进一批单价为某商场购进一批单价为4 4元的日用品元的日用品. .若按每件若按每件5 5元的价格销售元的价格销售, ,每月能卖出每月能卖出3 3万件万件; ;若按每件若按每件6 6元元的价格销售的价格销售, ,每月能卖出每月能卖出2 2万件万件, ,假定每月销售件数假定每月销售件数y(y(件件) )与价格与价格x(x(元元/ /件件) )之间满足一次函数关系之间满足一次函

24、数关系. .(1)(1)试求试求y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式. .(2)(2)当销售价格定为多少时当销售价格定为多少时, ,才能使每月的利润最大才能使每月的利润最大? ?每月每月的最大利润是多少的最大利润是多少? ?【解析解析】(1)(1)由题意由题意, ,可设可设y=y=kx+bkx+b(k0),(k0),把把(5,30000),(6,20000)(5,30000),(6,20000)代入得代入得所以所以y y与与x x之间的关系式为之间的关系式为:y=-10000 x+80000.:y=-10000 x+80000.(2)(2)设每月的利润为设每月的利润为W,W,则则W

25、=(x-4)(-10000 x+80000)W=(x-4)(-10000 x+80000)=-10000(x-4)(x-8)=-10000(x=-10000(x-4)(x-8)=-10000(x2 2-12x+32)-12x+32)=-10000(x-6)=-10000(x-6)2 2-4=-10000(x-6)-4=-10000(x-6)2 2+40000.+40000.所以当所以当x=6x=6时时,W,W取得最大值取得最大值, ,最大值为最大值为4000040000元元. .答答: :当销售价格定为每件当销售价格定为每件6 6元时元时, ,每月的利润最大每月的利润最大, ,每月的每月的最大

26、利润为最大利润为4000040000元元. .30 000 5k b,k10 000,20 000 6k bb 80 000,解得， 某公司生产的商品的市场指导价为每件某公司生产的商品的市场指导价为每件150150元，公司的实际销售元，公司的实际销售价格可以浮动价格可以浮动x x个百分点（即销售价格个百分点（即销售价格=150=150（1+x%1+x%）元），经过）元），经过市场调研发现，这种商品的日销售量市场调研发现，这种商品的日销售量y y（件）与销售价格浮动的（件）与销售价格浮动的百分点百分点x x之间的函数关系为之间的函数关系为y=-2x+24.y=-2x+24.若该公司按浮动若该公司按浮动-12-12个百分个百分点的价格出售，每件商品仍可获利点的价格出售，每件商品仍可获利10%.10%. (1) (1)求该公司生产销售每件商品的成本为多少元；求该公司生产销售每件商品的成本为多少元； (2)(2)当该公司的商品定价为每件多少元时，日销售利润为当该公司的商品定价为每件多少元时，日销售利润为660