4制造系统建模方法—库存系统模型

1、 现代企业的生产过程中，为保持连续生产，需现代企业的生产过程中，为保持连续生产，需要一定量的原材料、备品备件等的储备，形成物子要一定量的原材料、备品备件等的储备，形成物子的储存，以调节物资的供需矛盾。的储存，以调节物资的供需矛盾。 物资的物资的耗用耗用是经常性的、小批量的、或是零星分是经常性的、小批量的、或是零星分散的，有些还带有季节性、周期性，或表现为高峰散的，有些还带有季节性、周期性，或表现为高峰需求；而需求；而供应供应的物资一般是分期、大批进货。因此，的物资一般是分期、大批进货。因此，必须建立必须建立“存贮存贮”这一环节和手段来解决物资供需这一环节和手段来解决物资供需的连续平衡。的连续平

2、衡。 物资储备量过小，不能及时供应，生产停顿，物资储备量过小，不能及时供应，生产停顿，设备闲置，经济损失大大超过物资存贮所需的费用；设备闲置，经济损失大大超过物资存贮所需的费用；物资储备量过大，造成物资积压，过多地占用流动物资储备量过大，造成物资积压，过多地占用流动资金。资金。库存控制系统库存控制系统输入（供应）存贮输出（需求）信息反馈库存控制：要求管理者在满足需求的条件下，制定出合理的存库存控制：要求管理者在满足需求的条件下，制定出合理的存 贮策略，其内容有：贮策略，其内容有：1. 分析和建立合理的库存水平；分析和建立合理的库存水平；2. 在需要补充存贮时，每次定购的批量多大才合适？在需要补

3、充存贮时，每次定购的批量多大才合适？3. 存贮周期多长？费用为多少？存贮周期多长？费用为多少？4. 是否允许缺货？是否允许缺货？5. 订购物资需提前多少时间提出和办理订购手续？订购物资需提前多少时间提出和办理订购手续？ 1915年，哈里森提出最佳订购批量公式，而后威尔逊推广年，哈里森提出最佳订购批量公式，而后威尔逊推广应用。应用。20世纪世纪40年代后，人们日益重视库存问题，因为库存构年代后，人们日益重视库存问题，因为库存构成了企事业单位收支平衡中显著的部分，一些公司由于缺乏对成了企事业单位收支平衡中显著的部分，一些公司由于缺乏对库存量的控制而失败，从而促使存贮理论的发展，提出各种存库存量的控

4、制而失败，从而促使存贮理论的发展，提出各种存贮模型及其定量分析，运筹学增添了一个分支贮模型及其定量分析，运筹学增添了一个分支存贮论。存贮论。 存贮论是用库存总费用最小的原则来研究存贮模型，即着存贮论是用库存总费用最小的原则来研究存贮模型，即着眼于经济效益，因此其理论和思想对我国当前的现实具有积极眼于经济效益，因此其理论和思想对我国当前的现实具有积极的意义。的意义。 一般来说，货物保管一年所需的全部费用大约是或物价格一般来说，货物保管一年所需的全部费用大约是或物价格的的20%左右（包括资金利息），超量的库存占用大量的流动资左右（包括资金利息），超量的库存占用大量的流动资金，使流动资金冻结于停滞的

5、存贮环节，时现代管理一按立和金，使流动资金冻结于停滞的存贮环节，时现代管理一按立和企业家所忌讳的，现代企业管理追求企业家所忌讳的，现代企业管理追求“极限库存极限库存”,第第 一一 节节 库存控制系统及其基本概念库存控制系统及其基本概念1.1 存贮系统存贮系统 库存控制系统简称存贮系统，包括存贮、输入、输库存控制系统简称存贮系统，包括存贮、输入、输出三个基本环节。出三个基本环节。1.1.1 存贮环节存贮环节 把本单位生产经营需要而暂时未用的原料、工具、把本单位生产经营需要而暂时未用的原料、工具、设备等物资存放到原料、备品等仓库中，或把本单位生设备等物资存放到原料、备品等仓库中，或把本单位生产的称

6、成品或半成品暂时存放到成品或半成品仓库中以产的称成品或半成品暂时存放到成品或半成品仓库中以待发售，这种过程称为待发售，这种过程称为“存贮存贮”。 存贮：有形的仓库及其附属设备等的物流过程，还存贮：有形的仓库及其附属设备等的物流过程，还包括无形的信息积累等消耗时间、费用的过程。包括无形的信息积累等消耗时间、费用的过程。 存贮环节的内容多种多样，都需要存贮环节的内容多种多样，都需要“保管费用保管费用”。1.1.2 输入环节输入环节根据物资的来源，存贮物资的输入有以下两类不同根据物资的来源，存贮物资的输入有以下两类不同的方式：的方式：订购物资批量输入：物资的输入速率订购物资批量输入：物资的输入速率A

7、可视为无穷可视为无穷大，如下图。大，如下图。ttoQRRAA输入速率 A=输出速率 R=dQ/dt时间库存量通过生产均衡地存贮入库：生产物资通过生产均衡地存贮入库：生产物资(包括产品、半包括产品、半成品等）需要一定的时间成品等）需要一定的时间tp，所以输入物资量，所以输入物资量Q速率速率A=dQ/dtp可视为以正值，可视为以正值，tPtRoQRA输入速率 A=dQ/dtp输出速率 R=dQ/dtR时间库存量物资入库之前，订购入库-提前订货时间； 生产入库-生产准备时间。这段时间称为订购提前时间或生产前准备时间tL。 tL的大小：由货源及运输条件决定。可能是近似确定性的，也可能是随机性的。 物资

8、的输入由仓库的管理者控制，需要做出决策的因素有：库存物资消耗到什么程度必须提出补充要求库存物资消耗到什么程度必须提出补充要求(这个最低这个最低的库存量称为存贮水平的库存量称为存贮水平L）？）？什么时候需要提出订货或准备生产？什么时候需要提出订货或准备生产？每次订购或生产的物资批量要多大？每次订购或生产的物资批量要多大？订购时是否接受供方提供的大批量购买优惠条件？订购时是否接受供方提供的大批量购买优惠条件？ 上述库存控制因素要做到决策合理，必须结合输出需求及存贮的经济分析综合考虑。1.1.3 输出环节输出环节 存贮物资的输出是为了满足需求，需求或输出存贮物资的输出是为了满足需求，需求或输出的规律

9、大致有以下几种：的规律大致有以下几种： 连续均匀：连续均匀：ttoQRRAA输入速率 A=输出速率 R=dQ/dt时间库存量断续的：断续的：时间库存量QO需求来自存贮系统的变化，仓库管理者无法控制。需求来自存贮系统的变化，仓库管理者无法控制。需求量可能是随机性的：可以通过长期的统计，找需求量可能是随机性的：可以通过长期的统计，找到统计规律性，做出概率分布，建立存贮模型。到统计规律性，做出概率分布，建立存贮模型。280 10 20 30 40 50 60 70 8048202218需求量概率%1.2 存贮模型的分类存贮模型的分类 根据需求量是随机性的或确定性的，存贮模型分为根据需求量是随机性的或

10、确定性的，存贮模型分为两大类：两大类： 1. 确定性存贮模型确定性存贮模型 2.随机性存贮模型随机性存贮模型 当存贮系统的输入、输出具有多个随机变量时，当存贮系统的输入、输出具有多个随机变量时，库存的最优决策借助计算机仿真模型。库存的最优决策借助计算机仿真模型。 实际的库存系统多是动态的实际的库存系统多是动态的,输入和输出量不仅是输入和输出量不仅是时间的函数时间的函数,还有风险因素还有风险因素. 1.3 存贮费用存贮费用存贮系统的费用有：存贮系统的费用有： （1）存贮费）存贮费Fh:用于物资的保管，货物变质的损失，用于物资的保管，货物变质的损失，购买物资占用的资金利息、保险费等。库存物资越多，

11、购买物资占用的资金利息、保险费等。库存物资越多，时间越长，这笔费用越大，以每件物品存放单位时间时间越长，这笔费用越大，以每件物品存放单位时间所需的费用所需的费用ch（费用（费用/件件.时）作为计量单位，称存贮费时）作为计量单位，称存贮费率。率。 （2 ）订购费或生产准备费）订购费或生产准备费Fo或或FP:物资入库前发生物资入库前发生的一次性费用。采购员的差旅费、各种手续与通讯费，的一次性费用。采购员的差旅费、各种手续与通讯费，到货验收入库费；生产物资存贮时，用于更换模具、到货验收入库费；生产物资存贮时，用于更换模具、改装添置设备等生产前固定费用。改装添置设备等生产前固定费用。 与订货或生产的数

12、量多少无关。与订货或生产的数量多少无关。 定购量或生产量越大，分摊到单位物资的费用越定购量或生产量越大，分摊到单位物资的费用越小。订购费或生产准备费与订购或生产的批次成正比。小。订购费或生产准备费与订购或生产的批次成正比。每次订购费用记为每次订购费用记为Co（费用（费用/次），每次生产前的准备次），每次生产前的准备费用记为费用记为Cp（费用（费用/次）。次）。Co与与Cp分别称为订购费率与分别称为订购费率与生产前准备费率。生产前准备费率。 （3）缺货费）缺货费FS：库存物资消耗完，发生供不应求：库存物资消耗完，发生供不应求时的损失费用，如停工待料损失、失去销售机会损失、时的损失费用，如停工待料

13、损失、失去销售机会损失、未能履行合同的罚款等。单位时间内缺货一件支付的未能履行合同的罚款等。单位时间内缺货一件支付的损失费用记为损失费用记为Cs（费用（费用/件件.时）。时）。Cs称为缺货费率。称为缺货费率。 物资本身的费用由需求方负担，从存贮系统的输入物资本身的费用由需求方负担，从存贮系统的输入转移到输出，在分析模型的经济数量指标是不计入。在转移到输出，在分析模型的经济数量指标是不计入。在仓库单独经营核算、物资在存贮其间发生价格变动、决仓库单独经营核算、物资在存贮其间发生价格变动、决定是否接受优惠批发价格时，需考虑物资的购入定是否接受优惠批发价格时，需考虑物资的购入 成本。成本。1.4 存贮

14、策略存贮策略 存贮系统明确了决策环境（输入方式、需求性存贮系统明确了决策环境（输入方式、需求性质、数量规律、是否允许缺货、以及可供选择的条质、数量规律、是否允许缺货、以及可供选择的条件等），需决策：什么时候应补充库存物资？每次件等），需决策：什么时候应补充库存物资？每次订购（或生产）多少？最低库存量水平与提前订购订购（或生产）多少？最低库存量水平与提前订购期的关系？在计划期内需外出定购的次数多少？期的关系？在计划期内需外出定购的次数多少？ 常用的库存量控制策略：常用的库存量控制策略： （1）循环策略：每经过一确定的循环时间）循环策略：每经过一确定的循环时间t检查检查库存，补充数量库存，补充数量

15、Q 的物资，是定期控制法。的物资，是定期控制法。 （2 ）订货点法：以订购期内的平均需求量为库）订货点法：以订购期内的平均需求量为库存最低量订货点，实际库存量下降到最低订货点时，存最低量订货点，实际库存量下降到最低订货点时，进行规定数量的订货，时定量控制法。优点：不会进行规定数量的订货，时定量控制法。优点：不会发生缺货脱销，能保证生产的正常进行。发生缺货脱销，能保证生产的正常进行。 定量控制法的另一种形式是限量补充策略，称为定量控制法的另一种形式是限量补充策略，称为(s,S)策略：策略： 固定一个库存的最高限额固定一个库存的最高限额S（如库房容积限制等）（如库房容积限制等）以及一个库存最低标准

16、以及一个库存最低标准s，通过经常检查实际库存量，通过经常检查实际库存量，当当Xs时即发出订单，补充库存到最高限额时即发出订单，补充库存到最高限额S。发出。发出订货弹道货物入库这段时间订货弹道货物入库这段时间tL内要继续消耗库存，设内要继续消耗库存，设单位时间内的平均消耗量（需求量）为单位时间内的平均消耗量（需求量）为R，订购批量，订购批量为为Q=S-X+RtL。 （3 ）混合式策略）混合式策略:定期检查库存量，当实际库存定期检查库存量，当实际库存量量Xs时发出订单。优点：避免了订货点法需要经常时发出订单。优点：避免了订货点法需要经常检查的麻烦，并且能减少订购次数，订货费用也低。检查的麻烦，并且

17、能减少订购次数，订货费用也低。缺点：需求波动大时可能发生缺货。为避免缺货，缩缺点：需求波动大时可能发生缺货。为避免缺货，缩短检查周期短检查周期-订货点法。订货点法。不缩短检查周期，为了保证不缺货，要考虑保险储备。不缩短检查周期，为了保证不缺货，要考虑保险储备。 上述库存控制策略，对库存量限额、检查周期，上述库存控制策略，对库存量限额、检查周期，往往是凭仓库工作经验给出，因而订购批量、订货周往往是凭仓库工作经验给出，因而订购批量、订货周期和订购次数都不一定是最优的。评价一种库存控制期和订购次数都不一定是最优的。评价一种库存控制方法，要看该方法所花费的总费用是多少方法，要看该方法所花费的总费用是多

18、少-建立存贮建立存贮的数学模型，进行定量优化，辅助管理。的数学模型，进行定量优化，辅助管理。第第 二二 节节 确确 定定 性性 存存 贮贮 模模 型型2.1 订购物资存贮模型订购物资存贮模型 确定性的定购物资存贮模型：输入物资从货源采确定性的定购物资存贮模型：输入物资从货源采购而来，输入速率购而来，输入速率A，每一周期订购一次且数量不，每一周期订购一次且数量不变，提前订购时间确定；存贮费率一定，没有安全存变，提前订购时间确定；存贮费率一定，没有安全存贮量的要求；需求率是确定性的。贮量的要求；需求率是确定性的。2.1.1 不允许出现物资短缺的情形不允许出现物资短缺的情形 短缺损失费用率短缺损失费

19、用率Cs为无限大。每批订货物资量为无限大。每批订货物资量Q到达后立即入库，然后以每单位时间（天、周、月等）到达后立即入库，然后以每单位时间（天、周、月等）耗用耗用R的速率输出，库存量逐渐减少，经过一个周期用的速率输出，库存量逐渐减少，经过一个周期用完，这时第二批货物恰好补充入库，不会出现短缺现完，这时第二批货物恰好补充入库，不会出现短缺现象，由此开始第二周期的循环。订购物资需提前一定象，由此开始第二周期的循环。订购物资需提前一定时间时间tL，当存贮水平到达，当存贮水平到达L时就应开始订货。时就应开始订货。ttL0QR时间库存量LQ订购点 每周期订购一次，每次的定购费为每周期订购一次，每次的定购

20、费为C0,(费用费用/次）；次）；存贮费率为存贮费率为Ch费用费用/件件.时）；时）； 输出速率输出速率R为单位时间为单位时间内的库存耗用量内的库存耗用量,在耗用率为常数的情况下可写为在耗用率为常数的情况下可写为R=dQ/dt，再不缺货模型中，一个周期，再不缺货模型中，一个周期t内的耗用量内的耗用量Rt数值上等于周期开始时的库存量数值上等于周期开始时的库存量Q，即，即Q=Rt。16tQR 设设t时刻的库存量为时刻的库存量为Q ，有，有Q =Q-Rt ，则一，则一个周期个周期t内的总库存量为内的总库存量为262121212200QtRtRtQttRQt dQttttL0QR时间库存量LQ订购点一

21、个周期内的平均库存量为：一个周期内的平均库存量为：3621210QRtttdQt一个周期内的存储总费用为一个周期内的存储总费用为46210000QtCCt dQCCFFFhthh单位时间内的总存储费率为：单位时间内的总存储费率为：562121000hhhffQCQRCQCtCtFf令令02120hCQRCdQdf得总存贮费率最小的经济订货得总存贮费率最小的经济订货批量批量Q*(EOQ)6620h*CRCQ哈里森最优批量平方根哈里森最优批量平方根公式（威尔逊公式）。公式（威尔逊公式）。Qff*f0*f0fh最优存贮周期最优存贮周期7620h*RCCRQt最优存贮费用率最优存贮费用率8622220

22、0000hhhh*h*CRCCRCCRC*QC*QRCff*f如果按最优的经济订购批量如果按最优的经济订购批量Q*作最大库存量，作最大库存量， f0*= fh*=1/2f*最优订购次数最优订购次数 研究期研究期T内，需求率内，需求率R不变，总需求物资量为不变，总需求物资量为RT，则，则T时期内的最优订购次数为：时期内的最优订购次数为：96*QRT*n存贮水平存贮水平 设提前订购时间设提前订购时间tL为已知，为了不缺货及时补进为已知，为了不缺货及时补进Q*，此时存贮水平为：此时存贮水平为：106LRtL依此数确定订购点。依此数确定订购点。 【例例6-1】某厂需用工业燃料每月某厂需用工业燃料每月2

23、00吨，其单价吨，其单价为为60元元/吨，该厂不允许短缺此燃料，故必须有一定吨，该厂不允许短缺此燃料，故必须有一定储存量以保证每天的需求。若以月计，一个月的存贮储存量以保证每天的需求。若以月计，一个月的存贮费为燃料价格的费为燃料价格的5%，每一次的定购费为，每一次的定购费为5元。试作出元。试作出经济定购存贮决策。经济定购存贮决策。 解：按经济订购批量。依题义有：解：按经济订购批量。依题义有： 存贮费率存贮费率 Ch=600.05=3 (元元/吨吨月），月）， R=200（吨（吨/月），月），C0=5（元（元/次）次）则经济订购批量为则经济订购批量为82535200220.CRCQh*（吨（吨/

24、次）次）每月需订购次数为每月需订购次数为75278251200.QRTn*(次次/月月) T =1个月个月订购订购(存贮存贮)周期为周期为129032005220.RCCth*(月月) 3873（天）（天）总存贮费用率为总存贮费用率为 47735200220.CRC*fh(元元/月月)设提前订购时间需设提前订购时间需2天，则存贮水平为天，则存贮水平为 L=RtL=2002/30=13.3（吨）（吨）当库存量下降到当库存量下降到 13.3吨时，应立即订货。吨时，应立即订货。Q*=25.8L=13.33.87天1月订购点经济订购批量耗用 如果仅从保证供应的角度考虑，每个月的需求量如果仅从保证供应的

25、角度考虑，每个月的需求量R=200(吨吨/月），在月初一次购入，到月末用完，绝月），在月初一次购入，到月末用完，绝不会短缺燃料。设每天燃料消耗均衡（即不会短缺燃料。设每天燃料消耗均衡（即R为常数），为常数），月初入库量月初入库量Q=R=200（吨）可作出当月库存量变化图（吨）可作出当月库存量变化图的一次订购直线。此时存贮总费用率为：的一次订购直线。此时存贮总费用率为：305200321521000QCtCfffh（元（元/月）月）=4f* 可见，一次购进从经济方面看是极为浪费的，其可见，一次购进从经济方面看是极为浪费的，其原因请自行分析。原因请自行分析。 本例说明了这样一种库存策略思想：当订购

26、费较本例说明了这样一种库存策略思想：当订购费较之存贮费为很小时，为了节省存贮费用，宁可多采购之存贮费为很小时，为了节省存贮费用，宁可多采购几次，而不应盲目的去大批量一次购进全部需求量。几次，而不应盲目的去大批量一次购进全部需求量。2. 1. 2 允许出现物资短缺的情形允许出现物资短缺的情形 允许出现物资短缺的库存和需求如图：开始时库存为允许出现物资短缺的库存和需求如图：开始时库存为H，需求速率需求速率R为常数，经过时间为常数，经过时间t1 物资消耗完，要等待一定时间物资消耗完，要等待一定时间t2 才能进货，此时短缺物资量为才能进货，此时短缺物资量为S=Rt2，当，当 下一批订货到达下一批订货到

27、达时，立即弥补时，立即弥补 短缺量短缺量S ，故对仓库来说，最大库存量就减少，故对仓库来说，最大库存量就减少到到 H=QS-S ，此时，此时S=QS-H。t2t1tLtSHSQSLR时间库存量定购点 设每周期订购一次，每次订购费为设每周期订购一次，每次订购费为C0（费用（费用/次）；存贮费率为次）；存贮费率为 Ch(费用费用/件件时时);输出速率输出速率R为单位为单位时间内的库存耗用量，在耗用率为常数的情况下有：时间内的库存耗用量，在耗用率为常数的情况下有：短缺损失费率短缺损失费率CS（费用（费用/件件时时)。 由于物资短缺造成附加缺货费，所以存贮总费用由于物资短缺造成附加缺货费，所以存贮总费

28、用FS是订货费是订货费F0、存贮费、存贮费Fh、缺货费、缺货费FS之和：之和：1262121212121116212211222221000RHRtCRHQCRsCRssCtsCFRHCRHHCHtCFCCFsssssssshhhh一个周期一个周期一个周期内的总存贮费用为：一个周期内的总存贮费用为shshCRHRtRHCCFFFF单位时间内的总费用率为：单位时间内的总费用率为：1462121220RCtHRtRHtCtCtFfssshs令令00ssstfHf得得166021562202ssshsssshstRCRCCCHRtKRtCCCH 式中式中 Ks=Cs/（Ch

29、+Cs） 称为缺货费系数。解上称为缺货费系数。解上面方程组，得面方程组，得不缺货库不缺货库存模型中存模型中的最优量的最优量s*hssshh*s*shsshshKtRCCKCCCRCCtQKCRCKCCCCRC*H000021222因而有因而有*sshsh*s*sshsh*ss*sshhshsh*s*s*sshh*s*sfKCCCCRCfQKCCCCQKQCCCCCCCRCHQSKQCCCCRCRtQ000222（6-17） 在时期在时期T内内,需求率需求率R不变不变,总需求物资量为总需求物资量为RT,则在则在T时期内的最优订货次数为时期内的最优订货次数为186*nKQRTns*s*s 设提前订

30、货时间为已知，存贮水平为：设提前订货时间为已知，存贮水平为：196*QKCCRtSRtLsshLL 对上述公式的进一步分析，还可以得出以下结论：对上述公式的进一步分析，还可以得出以下结论： 由于缺货费系数由于缺货费系数1shssCCCK 实际的最大库存量实际的最大库存量H*比不缺货模型的经济订购批比不缺货模型的经济订购批量量Q*要小，即要小，即*QKHs*Q平均库存量小，平均库存量小，用于存贮的保管用于存贮的保管费用等也小费用等也小 最优存贮周期最优存贮周期 ts*比不允许缺货模型的最优存贮比不允许缺货模型的最优存贮周期周期 t*要长，即要长，即ssKtt*t 另外，前者多个缺货时间另外，前者

31、多个缺货时间 t2，导致（，导致（6-18）式的）式的结果，即在相同的总需求量结果，即在相同的总需求量 RT 条件下，订购次数条件下，订购次数*nnKnss 相比之下订货次数减少了，于是订购费用下降。相比之下订货次数减少了，于是订购费用下降。 本缺货模型的总费用中虽然增加了一项缺货费本缺货模型的总费用中虽然增加了一项缺货费Fs，但由于上述、两条原因，总费用率下降，即：但由于上述、两条原因，总费用率下降，即：*ffKfss*sf.f980 总费用率总费用率 ，下降不算太多，此时就可，下降不算太多，此时就可近似看成是一种不允许缺货模型；如果缺货费率不大，近似看成是一种不允许缺货模型；如果缺货费率不

32、大，例如，例如，Cs=Ch,则则*s*sf.fKf70总费用率下降明显。总费用率下降明显。下降的幅度取决于缺货系数下降的幅度取决于缺货系数hshsshssC/CC/CCCCK1KsCs/Ch 1 2 3 4 5 6766554433221 当（当（Cs/Ch）25 时时,即即缺货费缺货费Cs 大到存贮费率大到存贮费率Ch 的的25倍时，倍时，980.Ks缺货模型如能实现缺货模型如能实现,是是一种费用少一种费用少,且订购次且订购次数也少的较优模型数也少的较优模型. 缺货模型一次订购量缺货模型一次订购量Qs*大与不缺货模型的经济订购大与不缺货模型的经济订购批量批量Q*，其作用是用于弥补缺货量，其作

33、用是用于弥补缺货量S*，或补充动用的物，或补充动用的物资保险储备。资保险储备。 “极限库存极限库存”的概念：的概念： 不缺货模型中作为最大库存量的经济订购批量不缺货模型中作为最大库存量的经济订购批量h*CRCQ02依赖比值依赖比值C0/ChC0呈下降趋势呈下降趋势:通讯技术发达、定购手续简化；通讯技术发达、定购手续简化；Ch呈上升趋势：仓库基建费用高、保管费用和工人工呈上升趋势：仓库基建费用高、保管费用和工人工 资高、占用流动资金的利率提高。资高、占用流动资金的利率提高。现代最优库存控制：尽量以极低的库存量，维持低水现代最优库存控制：尽量以极低的库存量，维持低水 平库存，节省费用，释放占用资金

34、。平库存，节省费用，释放占用资金。缺货模型的最大库存量缺货模型的最大库存量*shs*s*QQCCCQKH正比于正比于Ks的开方的开方 当缺货费率当缺货费率Cs 很小时（即缺货造成的损失极微），很小时（即缺货造成的损失极微），最大库存量最大库存量H*就能降到一个极小水平。当缺货对生产就能降到一个极小水平。当缺货对生产经营活动影响不大时，就应该实现经营活动影响不大时，就应该实现“极限库存极限库存”。 “极限库存极限库存”的确定是一个多因素、多目标的决的确定是一个多因素、多目标的决策策问题，要根据生产经营的环境动态地综合考虑。问题，要根据生产经营的环境动态地综合考虑。 【例例6-2】 某厂每月需某物

35、品某厂每月需某物品300件，订购费率件，订购费率C0=10元元/次，存贮费率次，存贮费率Ch=0.1元元/件件月。缺货损失费率月。缺货损失费率Cs=0.3元元/件件月。试作出订购存贮决策。月。试作出订购存贮决策。解：缺货费系数解：缺货费系数75043301030.CCCKsshs经济订购批量为经济订购批量为2833030101010300220.CCCCRCKQQsshhs*s（件（件/次）次）定购（存贮）周期为定购（存贮）周期为94303030101030010220.CCCRCCkttsshhs*s（月）（月）29（天）（天）每月需订购次数为每月需订购次数为0612831300.QRTn*

36、s*s（次（次/月），（月），（T=1个月）个月）允许短缺的物品量为允许短缺的物品量为71283301010.QCCCS*sshh*（件（件/月）月）最大库存量为最大库存量为21271283*SQHs（件（件/月）月）存贮总费用率为存贮总费用率为22.213 . 01 . 03 . 01 . 01030022*shshOsCCCCRCf（元（元/月）月）设运输时间为设运输时间为tL= 0.3月。则当库存量下降到月。则当库存量下降到 L=Rt-S*=3000.3 71=19（件）时。（件）时。 应立即订货。应立即订货。2.2 批量生产存贮模型批量生产存贮模型 确定性的批量生产存贮模型：输入物资是

37、通过生确定性的批量生产存贮模型：输入物资是通过生产提供的，边生产边入库，输入的速率产提供的，边生产边入库，输入的速率A为一定值，输为一定值，输入同时存在输出；输出速率入同时存在输出；输出速率R为一定值，为保持批量生为一定值，为保持批量生产停止后仍有足够库存量产停止后仍有足够库存量H以满足需求，输入速率以满足需求，输入速率A应应大于输出速率大于输出速率R，即，即AR；存贮费率；存贮费率Ch一定。一定。2.2.1 不允许缺货情形不允许缺货情形生产存贮和需求过程如图：开始时，以生产存贮和需求过程如图：开始时，以A的速率生产的速率生产.开始时，以开始时，以A的速率生产入库，同时以的速率生产入库，同时以

38、R 的速率输出，的速率输出，故净输入率为故净输入率为 A R。在批量。在批量QA的生产时间的生产时间tP内，实内，实际的最大库存量际的最大库存量H=（A-R）tPQA=Atp。批量生产停。批量生产停止后，继续以止后，继续以R速率耗用库存，经速率耗用库存，经t R时间物资耗完，时间物资耗完，应及时生产入库。应提前应及时生产入库。应提前t L时间准备生产。时间准备生产。tAtRtPHQARAA-RA-RR生产准备点RpAdtdHRdtdQA净输入率为A-RL时间库存量 为了不至造成缺货，在一个周期为了不至造成缺货，在一个周期tA时间内必须保时间内必须保证符合关系证符合关系Atp=RtA，即生产总量

39、等于耗用总量。并，即生产总量等于耗用总量。并且，最大库存量可表示为且，最大库存量可表示为206AApQARAAQRAtRAH 引入生产纯输入速率系数引入生产纯输入速率系数,ARAKA1则则AAQKH 设每周期设每周期tA 准备一次生产，每次生产前准备费为准备一次生产，每次生产前准备费为Cp（费用（费用/次）；存贮费率为次）；存贮费率为Ch（费用（费用/件件时）；输出时）；输出速率速率R为单位时间内的库存耗用量，在耗用率为常数为单位时间内的库存耗用量，在耗用率为常数的情况下的情况下R=QA/tA=H/tR。 一个周期一个周期tA内的存贮费为内的存贮费为2162211AAhpAhphpAtQARA

40、CCHtCCFFF单位时间内的总存贮费率为单位时间内的总存贮费率为226222AhApAhApAhApAAAQARACQRCQARACR/QCQARACtCtFf令令022ARACQRCdQdfhApAA得使得使fA 最小的经济最小的经济生产批量生产批量QA*为为:2362A*php*AKQARACRCQ最优生产（存贮）周期为最优生产（存贮）周期为A*php*A*AKtARARCCRQt2最大库存量最大库存量hp*pAA*pA*AA*CRCARAQKKQKQKH2最优总存贮费率最优总存贮费率*pAhp*AfKARACRCf2时期时期T内，需求率内，需求率R不变，总需求量为不变，总需求量为RT，

41、则在，则在T时期内最优生产次数为时期内最优生产次数为*A*AQRTn设提前时间设提前时间tL为已知，则存贮水平为为已知，则存贮水平为LRtL 上面的上面的Qp * 、tp*、fp*表达式与公式（表达式与公式（6-6）、）、（6-7）、（）、（6-8）相比，差异仅在于用）相比，差异仅在于用Cp取代取代C0；上；上面以组公式与（面以组公式与（6-17）相比，差异仅在于用系数）相比，差异仅在于用系数KA取取代代Ks。且当。且当A时，生产批量模型就成为订购批量时，生产批量模型就成为订购批量模型。模型。 实际最大库存量实际最大库存量H*小于经济生产批量小于经济生产批量QA*，即，即H*=KAQA*QA*

42、，因为产品存贮期间，因为产品存贮期间tp内存在需求的内存在需求的耗用量。耗用量。 【例例6-3】设对某物需求量为设对某物需求量为3件件/小时，而其生产小时，而其生产速率为速率为18件件/小时，存贮费率为小时，存贮费率为0.004元元/件件小时，批量小时，批量生产前准备费为生产前准备费为50元元/次，生产前准备时间为次，生产前准备时间为12小时。小时。试作出生产存贮决策。试作出生产存贮决策。解：解：R=3（件（件/小时），小时），A=18（件（件/小时），小时），Ch= 0.004（元（元/件件小时），小时）， Cp=50（元（元/次），次），tL=12（小时），（小时），35000405032

43、26518318.CRCQ,ARAKhp*pA从而经济生产批量为：从而经济生产批量为：300653050/KQQA*p*A（件）（件）最优生产（存贮）周期最优生产（存贮）周期10065004035022/.K/RCCKttAhpA*P*A（小时）（小时）最大库存量最大库存量H*25030065*AA*pA*QKQKH（件）（件）最优总存贮费用率最优总存贮费用率100405032652.CRCKfKfhpA*pA*A（元（元/小时）小时）存贮水平存贮水平 L=RtL=312=36（件）（件）2.2.2 允许缺货的情形允许缺货的情形时间t3t1t2tst3tptAsSAMHAA-RRADtLL库存

44、量周期周期每次生产前准备费用每次生产前准备费用Cp;存贮费率存贮费率Ch；输出速率；输出速率R,在耗用率为常数情况下，在耗用率为常数情况下，R=QAs/tAs=HA/t3=SA/ts缺货损失费率缺货损失费率Cs（费用（费用/件件时），存贮总费用时），存贮总费用FAs是是生产前准备费生产前准备费Fp、存贮费、存贮费Fh、缺货费、缺货费Fs之和。之和。最优存贮周期：最优存贮周期：sA*psshhp*AsKtRAACCCRCCt2 允许缺货的批量生产模型的建模、求解过程与前允许缺货的批量生产模型的建模、求解过程与前面模型类似：先考虑一个周期内的总存贮费用，再转面模型类似：先考虑一个周期内的总存贮费用

45、，再转换为单位时间的总存贮费用率，然后求其最小值。即换为单位时间的总存贮费用率，然后求其最小值。即对单位时间的总存贮费用率求偏导数，令偏导数为对单位时间的总存贮费用率求偏导数，令偏导数为0，同时，令同时，令 ，可得：，可得：shssAAsCCCARAKKK最大库存量最大库存量*pAsshshp*AQKARACCCCRCH2最优生产批量最优生产批量As*pshshp*As*sAKQARACCCCRCtRQ2允许缺货量允许缺货量*pAsshhsshp*A*As*AQKCCARACCCCRCHAQRAS2总存贮费用率总存贮费用率*pAsshshp*AsfKARACCCCRCf22.3 确定性存贮模型

46、的讨论确定性存贮模型的讨论 2.3.1 经济批量灵敏度分析经济批量灵敏度分析h*CRCQ02公式中所含各项参数对批量有影公式中所含各项参数对批量有影响，因而对总存贮费用也有影响。响，因而对总存贮费用也有影响。（1）参数）参数R、C0、Ch对对Q*的影响的影响 无论无论R、C0、Ch是否估算有误，经修正代入，经是否估算有误，经修正代入，经济订购批量济订购批量Q*仅以平方根关系变动，影响并不显著，仅以平方根关系变动，影响并不显著，故故Q*计算式又称平方根公式。计算式又称平方根公式。 需求率由需求率由100件件/月增加到月增加到200件件/月时，经济订购月时，经济订购批量只增加到批量只增加到1.41

47、倍。倍。（2）Q偏离偏离Q*时对总存贮费用率时对总存贮费用率 f 的影响的影响QCQRCfh20当实际订购批量当实际订购批量Q偏离经偏离经济订购批量济订购批量Q*时，由图时，由图6-6可见：可见：当当Q Q*时，总费用率时，总费用率 f 将有所增大，但不太显著，将有所增大，但不太显著，即正偏差灵敏度低；即正偏差灵敏度低；当当Q Q*时，总费用率时，总费用率 f 增大较明显，增大较明显， 即负偏差即负偏差 灵灵 敏度较高。因而，敏度较高。因而， Q偏离偏离Q*对对 f 的影响随的影响随Q值减值减 小而增强小而增强 。Qff*f0*f0fh2.3.2 物资价格变动时订购策略讨论物资价格变动时订购策

48、略讨论（1）在市场采购物资时，经常会遇到如一次超量采购）在市场采购物资时，经常会遇到如一次超量采购（采购批量（采购批量Q大大超过大大超过Q*），可获得价格上的优惠条），可获得价格上的优惠条件，接受这种优惠条件就意味着总存贮费用增大，并件，接受这种优惠条件就意味着总存贮费用增大，并占用大量的流动资金。占用大量的流动资金。 接受或不接受这种优惠条件，必须计算采购物资接受或不接受这种优惠条件，必须计算采购物资单价变化条件下的总费用（包括购货款），并与按单价变化条件下的总费用（包括购货款），并与按Q*值订购时的总费用比较后才能做出正确决策。值订购时的总费用比较后才能做出正确决策。 【例例6-5】某工厂

49、耗用钻头某工厂耗用钻头2000件件/年，钻头单价为年，钻头单价为15元元/件，每年存贮费为单价的件，每年存贮费为单价的20%，每次订购费，每次订购费C0=50元元/次。现供货单位提出：若一次购买次。现供货单位提出：若一次购买2000件以件以上，则单价可优惠上，则单价可优惠3%。问：是否应接受供货单位的。问：是否应接受供货单位的优惠条件？优惠条件？解：先不考虑优惠条件采用经济订购批量定购解：先不考虑优惠条件采用经济订购批量定购 依题意有依题意有R=2000（件（件/年），年），Ch=1520%（元（元/件件年），年），C0=50（元（元/次），则经济订购批量为：次），则经济订购批量为：25820

50CRC*Qh件件/次次一年内的订购次数为：一年内的订购次数为：875725812000.QRTn*（次）（次）（次）（次）年支付总费用（包括购货款在内）为：年支付总费用（包括购货款在内）为：F1=购货费购货费+存贮总费用（存贮总费用（F） =购货费购货费+订购费（订购费（F0）+存贮费（存贮费（Fh） =200015+C0n*+Ch1/2Q*t =200015+508+（150.2）1/22581=30787元元接受优惠条件，一次采购接受优惠条件，一次采购2000件，则年支付总费件，则年支付总费 用用（包括购物款项）为：（包括购物款项）为：F2 =购货费购货费+订购费（

51、订购费（F0）+存贮费（存贮费（Fh） =20001597%+C0n+Ch1/2Qt =2000 1597%+501+ （1597%0.2）1/220001=32060（元）（元）一次购进一次购进2000件，件，占用大量占用大量流动资金流动资金故不应接故不应接受优惠条受优惠条件件（2）卖主采用区段优惠价格。）卖主采用区段优惠价格。 【例例6-6】设某厂需用一机件设某厂需用一机件R=10（件（件/月），订月），订购费购费C0=16（元（元/次），存贮费率次），存贮费率Ch=0.3（元（元/件件月）。月）。机件单价为机件单价为试决定经济试决定经济订购批量。订购批量。解解:采用经济订购批量订购采用经

52、济订购批量订购33301610220.CRC*Qh（件（件/次）次）一年内订购次数为：一年内订购次数为：6433311210.QRTn*（次（次/年）年）年总支付费用为：年总支付费用为： F1 =购货费购货费+订购费（订购费（C0）+存贮费（存贮费（Ch） =（ 1012 ）5.2+164+（0.312）1/2331 =747.4（元（元/年）年）如果接受一次订购如果接受一次订购60件，订购件，订购2次，单价为次，单价为4.9元元/件件（优惠价），则年总支付费用为：（优惠价），则年总支付费用为： F2=购货费购货费+订购费（订购费（F0）+存贮费（存贮费（Fh） =（1012）4.9+C0n+

53、Ch1/2Qt =（10 12）4.9 +162+（0.312）1/2601 =728（元（元/年）年）因因 F2F1，故可接受此优惠条件。，故可接受此优惠条件。如果接受一次订购如果接受一次订购120件。订购一次，单价为件。订购一次，单价为4 . 6元元/件（优惠价），则年总支付费用为：件（优惠价），则年总支付费用为： F3=购货费购货费+订购费（订购费（F0）+存贮费（存贮费（Fh） =（1012）4.6+C0n+Ch1/2Qt =（10 12）4.6 +161+（0.312）1/21201 =784（元（元/年）年）因因 F3F2， F3F1 ，故不应接受此优惠条件。故不应接受此优惠条件。

54、经济订购批量为经济订购批量为60（件（件/次）。次）。实际存贮问题：需求是时间的函数，订购批量（生实际存贮问题：需求是时间的函数，订购批量（生产批量）受仓库容量、可用流动资金的限制等。线产批量）受仓库容量、可用流动资金的限制等。线性或离散性关系下性或离散性关系下线性规划或动态规划处理。更线性规划或动态规划处理。更复杂情况复杂情况非线性规划或泛函分析。非线性规划或泛函分析。3. 随随 机机 性性 存存 贮贮 模模 型型 在实际生产和经营活动中，往往会出现一些偶然在实际生产和经营活动中，往往会出现一些偶然因素，它们影响某种物品的供应量、需求量、提前期因素，它们影响某种物品的供应量、需求量、提前期等

55、，其中特别是需求量较多的表现为随机性。这种随等，其中特别是需求量较多的表现为随机性。这种随机性，从过去的历史统计资料总可以找到其概率分布。机性，从过去的历史统计资料总可以找到其概率分布。随机变量可能是离散型的，也可能是连续型的，故分随机变量可能是离散型的，也可能是连续型的，故分离散型随机存贮模型和连续型随机存贮模型进行讨论。离散型随机存贮模型和连续型随机存贮模型进行讨论。3.1 需求量为离散型的随机存贮模型需求量为离散型的随机存贮模型3.1.1 引论引论 “卖报童模型卖报童模型”:报童卖报，每天卖出去的报纸报童卖报，每天卖出去的报纸份数是需求量份数是需求量-离散型随机变量。报童向邮局订购报离散

56、型随机变量。报童向邮局订购报纸：若订购过多，余下的退回邮局要赔偿损失费；若纸：若订购过多，余下的退回邮局要赔偿损失费；若订购过少，则所得的收益会减少。于是产生问题：究订购过少，则所得的收益会减少。于是产生问题：究竟订购多少份报纸为好？竟订购多少份报纸为好？ 类似的问题：工厂需要某种原料或机械零件，由类似的问题：工厂需要某种原料或机械零件，由于管理不善，生产过程不稳定或其它原因致使对它的于管理不善，生产过程不稳定或其它原因致使对它的需求率是离散随机变量，存贮多了要付出过多的存贮需求率是离散随机变量，存贮多了要付出过多的存贮费，存贮少了则要付出缺货停工的损失费，求解总的费，存贮少了则要付出缺货停工

57、的损失费，求解总的费用达到最小的订购量。费用达到最小的订购量。 3.1.1 这类模型的求解方法有两种：这类模型的求解方法有两种： 获利期望值最大；损失期望值最小。获利期望值最大；损失期望值最小。【例例6-7】设报童每日出售报纸的分数为设报童每日出售报纸的分数为X，根据过，根据过去历史纪录统计售出去历史纪录统计售出X的概率分布为的概率分布为P（x），如表），如表所示。又设订购份数为所示。又设订购份数为Q百份，售出百份，售出1百份赚百份赚 元，元，退回退回1百份赔百份赔 元，为使收益最佳，试求元，为使收益最佳，试求Q的最佳值。的最佳值。解：（解：（1）用获利期望值最大法：）用获利期望值最大法： 1

58、0286QxQxxQPxPxQxQCE 供过于求时（供过于求时（xQ），这时报纸只能售出），这时报纸只能售出x，共赚，共赚 x元，未售出的报纸，每份赔元，未售出的报纸，每份赔 元，损失为元，损失为 （ Q - x ），盈利的），盈利的期望值为：期望值为：供不应求时（供不应求时（xQ），这时因缺少报纸而少赚钱），这时因缺少报纸而少赚钱损失，只有损失，只有Q份报纸可供销售，误滞销损失盈利的份报纸可供销售，误滞销损失盈利的 期望值为：期望值为： xPxQxQx0 1QxxQP 10286QxQxxQPxPxQxQCE当当 =1， =1时，有时，有 2 . 9, 1 .10,7 .10, 5 .10,

59、 9 . 9, 9*QCQ* 最佳订购份数最佳订购份数Q*=12（百份），最大获利期望值（百份），最大获利期望值 : 7 .1012*CE元元当当 =1， =3时，有时，有 4 . 4, 2 . 7, 4 . 9*,0 .10, 8 . 9, 9QCQ* 最佳订购份数最佳订购份数Q*=11（百份），最大获利期望值（百份），最大获利期望值 : 0 .1011*CE元元 显然显然,因赔偿费大因赔偿费大,报童订购的份数小于概率报童订购的份数小于概率P（x）最大值（最大值（0.4）对应的需求份数（）对应的需求份数（x=12），以避免风险），以避免风险

60、损失。损失。 由上例可知：当由上例可知：当 接近接近 值时，由于值时，由于P（x） 的分布的分布明显呈单峰特性，因此，对表明显呈单峰特性，因此，对表6-2可省去小概率对应的可省去小概率对应的定购量定购量Q行的计算，即行的计算，即 Q =9， Q =14这两行可不必列这两行可不必列于表中，计算结果不会漏掉获利期望最大值。这样，于表中，计算结果不会漏掉获利期望最大值。这样，当当Q的离散值较多时，计算总量并不会由此而增大很多。的离散值较多时，计算总量并不会由此而增大很多。（2）用损失期望值最小值法：）用损失期望值最小值法： 损失分赔偿损失和失去销售机会收益损失两种。损失分赔偿损失和失去销售机会收益损